Retas Perpendiculares

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Retas perpendiculares são as que formam um ângulo de 90º ao se cruzarem. Essa definição é suficiente para a geometria plana, mas ao avançar para a geometria analítica, de coordenadas, é preciso definir ângulos e localizações.

Utilizamos o símbolo $perpendicular$ para indicar que duas retas são perpendiculares e podemos identificá-las analisando a relação entre seus coeficientes angulares.

A reta r de coeficiente angular m₁e a reta s de coeficiente angular m₂, serão perpendiculares se:

$m com 2 subscrito igual a menos 1 sobre m com 1 subscrito espaço espaço espaço espaço espaço espaço o u espaço espaço espaço espaço espaço espaço m com 2 subscrito sinal de multiplicação m com 1 subscrito igual a menos 1$

Assim, para duas retas serem perpendiculares é necessário que o coeficiente angular de uma seja igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Oposto de um número é quando seu sinal é trocado, inverso, é quando fazemos uma fração e colocamos esse número no denominador.

Exemplo

Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (1,4) e é perpendicular à reta r cuja equação é x - y -1 = 0.

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta r isolando y do lado esquerdo.

y = x -1

Com a equação na forma reduzida, o coeficiente angular é o número que multiplica o x, portanto, $m com r subscrito$ = 1.

Como s é perpendicular a reta r, vamos considerar a condição de perpendicularismo.

$m com s subscrito igual a menos 1 sobre m com r subscrito igual a menos 1$

Como s passa pelo ponto (1,4), podemos escrever:

$y menos 4 igual a menos 1 parêntese esquerdo x menos 1 parêntese direito seta dupla para a direita y menos 4 igual a menos x mais 1 seta dupla para a direita y igual a menos x mais 5$

Assim, a equação da reta s na forma geral, perpendicular a reta r e que passa pelo ponto P é:

$x mais y menos 5 igual a 0$

Para saber mais, leia também Equação da Reta.

Método Prático

Quando conhecemos as equações gerais de duas retas, podemos verificar se são perpendiculares através dos coeficientes (a, b e c) de x e de y.

Assim, dadas as retas:

r: a_rx + b_ry + c_r = 0 e

s: a_s x + b_s y + c_s = 0

Elas serão perpendiculares se:

$a com r subscrito. a com s subscrito espaço mais espaço b com r subscrito. b com s subscrito espaço igual a espaço 0$

Exemplo

Reta r: -2x + y + 2 = 0

Reta s: x + 2y - 3 = 0

-2.1 + 1.2 = 0

Portanto, r⊥s (A reta r é perpendicular a reta s).

Demonstração

Para chegar a essa condição, consideramos que a inclinação das retas r e s são respectivamente $alfa com 1 subscrito espaço e espaço alfa com 2 subscrito$ , conforme a figura abaixo:

No triângulo ABC da figura identificamos a seguinte relação:

$alfa com 2 subscrito igual a alfa com 1 subscrito mais 90 º$

Calculando a tangente dos dois lados da equação, temos:

$t g espaço alfa com 2 subscrito igual a t g espaço parêntese esquerdo alfa com 1 subscrito mais 90 º parêntese direito$

Lembrando que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo, então:

$t g espaço alfa com 2 subscrito igual a numerador s e n parêntese esquerdo alfa com 1 subscrito mais 90 º parêntese direito sobre denominador cos parêntese esquerdo alfa com 1 subscrito mais 90 º parêntese direito fim da fração$

Usando as relações de soma de arcos:

$t g espaço alfa com 2 subscrito igual a numerador s e n espaço alfa com 1 subscrito. cos espaço 90 º mais s e n espaço 90 º. cos espaço alfa com 1 subscrito sobre denominador cos espaço alfa com 1 subscrito. cos espaço 90 º menos s e n espaço alfa com 1 subscrito. s e n espaço 90 º fim da fração$

Sendo sen 90º = 1 e cos 90º = 0 e substituindo esses valores na equação acima, encontramos:

$t g espaço alfa com 2 subscrito igual a numerador cos espaço alfa com 1 subscrito sobre denominador menos s e n espaço alfa com 1 subscrito fim da fração$

Considerando

$numerador cos espaço alfa com 1 subscrito sobre denominador menos s e n espaço alfa com 1 subscrito fim da fração igual a menos espaço numerador 1 sobre denominador t g espaço alfa com 1 subscrito fim da fração$

e que

$t g espaço alfa com 1 subscrito igual a m com 1 subscrito espaço e espaço t g espaço alfa com 2 subscrito igual a m com 2 subscrito$

temos:

$m com 2 subscrito igual a menos 1 sobre m com 1 subscrito espaço o u espaço m com 1 subscrito. m com 2 subscrito igual a menos 1$

Conforme queríamos demonstrar.

Exercícios Resolvidos

Questão 1

São dados os pontos A(3,4) e B(1,2). Determine a equação da mediatriz de $pilha A B com barra acima$ .

Ver Resposta

A mediatriz é uma reta perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.
Calculando esse ponto temos:

$M abre parênteses numerador x com a subscrito mais x com b subscrito sobre denominador 2 fim da fração vírgula numerador y com a subscrito mais y com b subscrito sobre denominador 2 fim da fração fecha parênteses$

$M abre parênteses numerador 3 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração vírgula numerador 4 mais 2 sobre denominador 2 fim da fração fecha parênteses seta dupla para a direita M abre parênteses 2 vírgula 3 fecha parênteses$

Calculando o coeficiente angular da reta $A B em moldura superior fecha moldura$ :

$m com 1 subscrito igual a numerador 2 menos 4 sobre denominador 1 menos 3 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1$

Como a mediatriz é perpendicular, temos:

$m com 2 subscrito igual a menos 1 sobre 1 igual a menos 1$

Assim, a equação da mediatriz será:

y-3 = -1 (x-2) = x +y - 5 = 0

Questão 2

Determine a equação da reta s, perpendicular a reta r de equação 3x + 2y - 4 = 0, no ponto em que esta intersecta o eixo das abscissas.

Ver Resposta

O coeficiente angular da reta r é m_r= $menos 3 sobre 2$

Quando a reta intersecta o eixo das abscissas, y = 0, assim

3x+2.0-4=0

x= $4 sobre 3$

$P parêntese esquerdo 4 sobre 3 vírgula 0 parêntese direito$

O coeficiente angular da reta perpendicular, será:

$m com s subscrito igual a menos numerador 1 sobre denominador menos começar estilo mostrar 3 sobre 2 fim do estilo fim da fração igual a 2 sobre 3$

Assim, a equação da reta perpendicular é:

$y menos 0 igual a 2 sobre 3 parêntese esquerdo x menos 4 sobre 3 parêntese direito seta dupla para a direita 3 y igual a 2 x menos 8 sobre 3 seta dupla para a direita 2 x menos 3 y menos 8 sobre 3 igual a 0$

Para saber mais, leia também

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.