Retas Perpendiculares

Rosimar Gouveia

Duas retas são perpendiculares quando ao se cruzarem formam um ângulo de 90º. Utilizamos o símbolo perpendicularpara indicar que duas retas são perpendiculares.

Podemos identificar se duas retas são perpendiculares analisando a relação entre seus coeficientes angulares.

Condição de Perpendicularismo

A reta r de coeficiente angular m1 e a reta s de coeficiente angular m2, serão perpendiculares se:

r perpendicular s seta dupla para a esquerda e para a direita m com 2 subscrito igual a menos espaço 1 sobre m com 1 subscrito

Assim, para duas retas serem perpendiculares é necessário que o coeficiente angular de uma seja igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Para chegar a essa condição, consideramos que a inclinação das retas r e s são respectivamente alfa com 1 subscrito espaço e espaço alfa com 2 subscrito, conforme a figura abaixo:

Retas perpendiculares

No triângulo ABC da figura identificamos a seguinte relação:

alfa com 2 subscrito igual a alfa com 1 subscrito mais 90 º

Calculando a tangente dos dois lados da equação, temos:

t g espaço alfa com 2 subscrito igual a t g espaço parêntese esquerdo alfa com 1 subscrito mais 90 º parêntese direito

Lembrando que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo, então:

t g espaço alfa com 2 subscrito igual a numerador s e n parêntese esquerdo alfa com 1 subscrito mais 90 º parêntese direito sobre denominador cos parêntese esquerdo alfa com 1 subscrito mais 90 º parêntese direito fim da fração

Usando as relações de soma de arcos:

t g espaço alfa com 2 subscrito igual a numerador s e n espaço alfa com 1 subscrito. cos espaço 90 º mais s e n espaço 90 º. cos espaço alfa com 1 subscrito sobre denominador cos espaço alfa com 1 subscrito. cos espaço 90 º menos s e n espaço alfa com 1 subscrito. s e n espaço 90 º fim da fração

Sendo sen 90º = 1 e cos 90º = 0 e substituindo esses valores na equação acima, encontramos:

t g espaço alfa com 2 subscrito igual a numerador cos espaço alfa com 1 subscrito sobre denominador menos s e n espaço alfa com 1 subscrito fim da fração

Considerando

numerador cos espaço alfa com 1 subscrito sobre denominador menos s e n espaço alfa com 1 subscrito fim da fração igual a menos espaço numerador 1 sobre denominador t g espaço alfa com 1 subscrito fim da fração

e que

t g espaço alfa com 1 subscrito igual a m com 1 subscrito espaço e espaço t g espaço alfa com 2 subscrito igual a m com 2 subscrito

temos:

m com 2 subscrito igual a menos 1 sobre m com 1 subscrito espaço o u espaço m com 1 subscrito. m com 2 subscrito igual a menos 1

Conforme queríamos demonstrar.

Exemplo

Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (1,4) e é perpendicular à reta r cuja equação é x - y -1 = 0.

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta s. Como ela é perpendicular a reta r, vamos considerar a condição de perpendicularismo.

r perpendicular s seta dupla para a esquerda e para a direita m com s subscrito igual a menos 1 sobre m com r subscrito igual a menos 1

Como s passa pelo ponto (1,4), podemos escrever:

y menos 4 igual a menos 1 parêntese esquerdo x menos 1 parêntese direito seta dupla para a direita y menos 4 igual a menos x mais 1 seta dupla para a direita y igual a menos x mais 5

Assim, a equação da reta s, perpendicular a reta r e que passa pelo ponto P é:

x mais y menos 5 igual a 0

Para saber mais, leia também Equação da Reta.

Método Prático

Quando conhecemos a equação geral de duas retas, podemos verificar se são perpendiculares através dos coeficientes de x e de y.

Assim, dadas as retas r: ar x + br y + cr = 0 e s: as x + bs y + cs = 0, elas serão perpendiculares se:

ar.as + br.bs = 0

Exercícios Resolvidos

1) São dados os pontos A(3,4) e B(1,2). Determine a equação da mediatriz de pilha A B com barra acima.

A mediatriz é uma reta perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.
Calculando esse ponto temos:

M abre parênteses numerador x com a subscrito mais x com b subscrito sobre denominador 2 fim da fração vírgula numerador y com a subscrito mais y com b subscrito sobre denominador 2 fim da fração fecha parênteses

M abre parênteses numerador 3 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração vírgula numerador 4 mais 2 sobre denominador 2 fim da fração fecha parênteses seta dupla para a direita M abre parênteses 2 vírgula 3 fecha parênteses

Calculando o coeficiente angular da reta:

m com 1 subscrito igual a numerador 2 menos 4 sobre denominador 1 menos 3 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1

Como a mediatriz é perpendicular, temos:

m com 2 subscrito igual a menos 1 sobre 1 igual a menos 1

Assim, a equação da mediatriz será:

y-3 = -1 (x-2) = x +y - 5 = 0

2) Determine a equação da reta s, perpendicular a reta r de equação 3x + 2y - 4 = 0, no ponto em que esta intersecta o eixo das abscissas.

O coeficiente angular da reta r é mr = menos 3 sobre 2

Quando a reta intersecta o eixo das abscissas, y = 0, assim

3x+2.0-4=0

x=4 sobre 3

P parêntese esquerdo 4 sobre 3 vírgula 0 parêntese direito

O coeficiente angular da reta perpendicular, será:

m com s subscrito igual a menos numerador 1 sobre denominador menos começar estilo mostrar 3 sobre 2 fim do estilo fim da fração igual a 2 sobre 3

Assim, a equação da reta perpendicular é:

y menos 0 igual a 2 sobre 3 parêntese esquerdo x menos 4 sobre 3 parêntese direito seta dupla para a direita 3 y igual a 2 x menos 8 sobre 3 seta dupla para a direita 2 x menos 3 y menos 8 sobre 3 igual a 0

Para saber mais, leia também

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.