Retas Concorrentes


Duas retas distintas que estão em um mesmo plano são concorrentes quando possuem um único ponto em comum.

As retas concorrentes formam entre si 4 ângulos e de acordo com as medidas desses ângulos, elas podem ser perpendiculares ou oblíquas.

Quando os 4 ângulos formados por elas são iguais a 90º, elas são chamadas de perpendiculares.

Na figura abaixo as retas r e s são perpendiculares.

Retas perpendiculares
Retas perpendiculares

Já se os ângulos formados forem diferentes de 90º, elas são chamadas de concorrentes oblíquas. Na figura abaixo representamos as retas u e v oblíquas.

Retas oblíquas
Retas Oblíquas

Retas Concorrentes, Coincidentes e Paralelas

Duas retas que pertençam a um mesmo plano podem ser concorrentes, coincidentes ou paralelas.

Enquanto as retas concorrentes apresentam um único ponto de intersecção, as retas coincidentes possuem pelo menos dois pontos em comum e as retas paralelas não possuem pontos em comum.

retas

Posição Relativa de Duas Retas

Conhecendo as equações de duas retas podemos verificar suas posições relativas. Para isso devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Assim temos:

  • Retas concorrentes: o sistema é possível e determinado (um único ponto em comum).
  • Retas coincidentes: o sistema é possível e determinado (infinitos ponto em comum).
  • Retas paralelas: o sistema é impossível (nenhum ponto em comum).

Exemplo:

Determine a posição relativa entre a reta r: x - 2y - 5 = 0 e a reta s: 2x - 4y - 2 = 0.

Solução:

Para encontrar a posição relativa entre as retas dadas, devemos calcular o sistema de equações formado por suas retas, assim temos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x menos 2 y menos 5 igual a 0 fim da célula linha com célula com 2 x menos 4 y menos 2 igual a 0 espaço fim da célula fim da tabela fecha

Ao resolver o sistema por adição encontramos a seguinte equação 0y = - 8, como não existe solução para essa equação, ele é impossível. Desta forma, as duas retas são paralelas.

Ângulos Opostos pelo Vértice

Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos. Estes ângulos possuem um ponto em comum que é chamado de vértice.

Os pares de ângulos que são opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Na figura abaixo, representamos os ângulos AÔB e CÔD que são opostos pelo vértice, assim como os ângulos AÔC e BÔD.

ângulos opostos pelo vértice

Ponto de Intersecção entre Duas Retas Concorrentes

O ponto de intersecção entre duas retas concorrentes pertence às equações das duas retas. Desta forma, podemos encontrar as coordenadas desse ponto em comum, resolvendo o sistema formado pelas equações dessas retas.

Exemplo:

Determine as coordenadas de um ponto P comum as retas r e s, cujas equações são x + 3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0, respectivamente.

Solução:

Para encontrar as coordenadas do ponto, devemos resolver o sistema com as equações dadas. Assim temos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 3 y mais 4 igual a 0 fim da célula linha com célula com 2 x menos 5 y menos 2 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha

Resolvendo o sistema, temos:

menos 11 y menos 10 igual a 0 seta dupla para a direita y igual a menos 10 sobre 11 igual a

Substituindo esse valor na primeira equação encontramos:

x menos 30 sobre 11 mais 4 igual a 0 seta dupla para a direita x igual a numerador menos 44 mais 30 sobre denominador 11 fim da fração igual a menos 14 sobre 11

Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são menos 14 sobre 11 espaço e espaço menos 10 sobre 11, ou seja P abre parênteses menos 14 sobre 11 vírgula menos 10 sobre 11 fecha parênteses.

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Exercícios Resolvidos

1) Em um sistema de eixo ortogonais, - 2x + y + 5 = 0 e 2x + 5y - 11 = 0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r com s.

P (3, 1)

2) Quais as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que as equações das retas-suporte de seus lados são - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 e 3x + 2y - 5 = 0 ?

A (3, - 2 )
B (1, 1)
C (5, 2)

3) Determine a posição relativa das retas r: 3x - y -10 = 0 e 2x + 5y - 1 = 0.

As retas são concorrentes, sendo o ponto de intersecção (3, - 1).