Retas Concorrentes

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Duas retas distintas que estão em um mesmo plano são concorrentes quando possuem um único ponto em comum.

As retas concorrentes formam entre si 4 ângulos e de acordo com as medidas desses ângulos, elas podem ser perpendiculares ou oblíquas.

Quando os 4 ângulos formados por elas são iguais a 90º, elas são chamadas perpendiculares.

Na figura abaixo as retas r e s são concorrentes perpendiculares.

Já se os ângulos formados forem diferentes de 90º, elas são chamadas concorrentes oblíquas. Na figura abaixo representamos as retas u e v oblíquas.

Posição Relativa de Duas Retas

Conhecendo as equações de duas retas podemos verificar suas posições relativas. Para isso devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Assim temos:

Retas concorrentes: o sistema é possível e determinado (um único ponto em comum).
Retas coincidentes: o sistema é possível e determinado (infinitos ponto em comum).
Retas paralelas: o sistema é impossível (nenhum ponto em comum).

Exemplo:

Determine a posição relativa entre a reta r: x - 2y - 5 = 0 e a reta s: 2x - 4y - 2 = 0.

Solução:

Para encontrar a posição relativa entre as retas dadas, devemos calcular o sistema de equações formado por suas retas, assim temos:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x menos 2 y menos 5 igual a 0 fim da célula linha com célula com 2 x menos 4 y menos 2 igual a 0 espaço fim da célula fim da tabela fecha$

Ao resolver o sistema por adição encontramos a seguinte equação 0y = - 8, como não existe solução para essa equação, ele é impossível. Desta forma, as duas retas são paralelas.

Ângulos Opostos pelo Vértice

Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos. Estes ângulos possuem um ponto em comum que é chamado de vértice.

Os pares de ângulos que são opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Na figura abaixo, representamos os ângulos AÔB e CÔD que são opostos pelo vértice, assim como os ângulos AÔC e BÔD.

Ponto de Intersecção entre Duas Retas Concorrentes

O ponto de intersecção entre duas retas concorrentes pertence às equações das duas retas. Desta forma, podemos encontrar as coordenadas desse ponto em comum, resolvendo o sistema formado pelas equações dessas retas.

Exemplo:

Determine as coordenadas de um ponto P comum as retas r e s, cujas equações são x + 3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0, respectivamente.

Solução:

Para encontrar as coordenadas do ponto, devemos resolver o sistema com as equações dadas. Assim temos:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 3 y mais 4 igual a 0 fim da célula linha com célula com 2 x menos 5 y menos 2 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Resolvendo o sistema, temos:

$menos 11 y menos 10 igual a 0 seta dupla para a direita y igual a menos 10 sobre 11 igual a$

Substituindo esse valor na primeira equação encontramos:

$x menos 30 sobre 11 mais 4 igual a 0 seta dupla para a direita x igual a numerador menos 44 mais 30 sobre denominador 11 fim da fração igual a menos 14 sobre 11$

Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são $menos 14 sobre 11 espaço e espaço menos 10 sobre 11$ , ou seja $P abre parênteses menos 14 sobre 11 vírgula menos 10 sobre 11 fecha parênteses$ .

Retas Concorrentes, Coincidentes e Paralelas

Duas retas que pertençam a um mesmo plano podem ser concorrentes, coincidentes ou paralelas.

Enquanto as retas concorrentes apresentam um único ponto de intersecção, as retas coincidentes possuem pelo menos dois pontos em comum e as retas paralelas não possuem pontos em comum.

Saiba mais, lendo também:

Exercícios Resolvidos

1) Em um sistema de eixos ortogonais, - 2x + y + 5 = 0 e 2x + 5y - 11 = 0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r com s.

Ver Resposta

O sistema das duas equações é:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 2 reto x mais reto y mais 5 igual a 0 fim da célula linha com célula com 2 reto x mais 5 reto y menos 11 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Fazendo a primeira equação mais a segunda, temos:

$6 reto y menos 6 igual a 0 6 reto y igual a 6 reto y igual a 6 sobre 6 igual a 1$

Substituindo o valor de y na segunda equação

$2 x mais 5.1 menos 11 igual a 0 2 x mais 5 menos 11 igual a 0 2 x menos 6 igual a 0 2 x igual a 6 x igual a 6 sobre 2 igual a 3$

Assim, o ponto de intersecção entre as retas r e s é P (3, 1).

2) Quais as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que as equações das retas-suporte de seus lados são: - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 e 3x + 2y - 5 = 0 ?

Ver Resposta

Como os vértices são os pontos de intersecção entre as retas, resolvemos os sistemas entre as retas, duas a duas.

Ponto de intersecção entre a primiera e a segunda:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos reto x mais 4 reto y menos 3 igual a 0 fim da célula linha com célula com menos 2 reto x mais reto y mais 8 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Multiplicando a primeira equação por -2

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 reto x menos 8 reto y mais 6 igual a 0 fim da célula linha com célula com menos 2 reto x mais reto y mais 8 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Somando a primeira equação mais a segunda

$menos 7 y mais 14 igual a 0 14 igual a 7 y 14 sobre 7 igual a 2 igual a y$

Substituindo o valor de y na primeira equação

$2 x menos 8.2 mais 6 igual a 0 2 x menos 16 mais 6 igual a 0 2 x menos 10 igual a 0 2 x igual a 10 x igual a 10 sobre 2 igual a 5$

Dessa forma, temos que um vértice do triângulo tem coordenada (5,2).

Repetindo o processo e resolvendo os sistemas entre a primeira e a terceira equação e, entre a segunda e a terceira, encontramos os vértices:

A (3, - 2 )
B (1, 1)
C (5, 2)

3) Determine a posição relativa das retas r: 3x - y -10 = 0 e s: 2x + 5y - 1 = 0.

Ver Resposta

Para determinar a posição relativa entre duas retas resolvemos o sistema de equações.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 reto x menos reto y menos 10 igual a 0 fim da célula linha com célula com 2 reto x mais 5 reto y menos 1 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Multiplicando a primeira equação por 5 e somando com a segunda, temos:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 15 reto x menos 5 reto y menos 50 igual a 0 fim da célula linha com célula com 2 reto x mais 5 reto y menos 1 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha 17 x menos 51 igual a 0 x igual a 51 sobre 17 igual a 3$

Substituindo este valor na segunda equação

$2.3 mais 5 y menos 1 igual a 0 6 mais 5 y menos 1 igual a 0 5 y igual a 1 menos 6 5 y igual a menos 5 y igual a numerador menos 5 sobre denominador 5 fim da fração igual a menos 1$

Como o sistema possui uma única solução, ele é determinado, por isso, as retas são concorrentes e se cruzam no ponto (3,-1).

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.