Dízima Periódica


As dízimas periódicas são números decimais periódicos, ou seja, apresentam um ou mais algarismos que se repetem na mesma ordem infinitamente. O algarismo que se repete é chamado de período.

Os números decimais periódicos pertencem ao conjunto dos números racionais (reto números racionais), pois podem ser escritos na forma de fração. Por exemplo, o número 0,444... também pode ser escrito como 4 sobre 9.

Quando um número é decimal infinito, mas não apresenta algarismos que se repetem, ou seja, não possui um período, ele não será um dízima periódica e sim um número irracional.

Dízimas periódicas simples e compostas

A dízimas são chamadas de simples quando apresentam a parte inteira e após a vírgula apenas algarismos que se repetem.

São exemplos de dízimas periódicas simples:

  • 0,34343434... → parte inteira igual a 0 e período igual a 34
  • 1,222222... → parte inteira igual a 1 e período igual a 2
  • 234,193193193... → parte inteira igual a 234 e período igual a 193

Já as dízimas periódicas compostas possuem a parte inteira e depois da vírgula algarismos que não se repetem, além dos algarismos que se repetem.

São exemplos de dízimas compostas:

  • 3,125555... → parte inteira igual a 3, parte não periódica igual a 12 e período igual a 5.
  • 1,7863333... → parte inteira igual a 1, parte não periódica igual a 786 e período igual a 3.
  • 11,2350505050... → parte inteira igual a 11, parte não periódica igual a 23 e período igual a 50.

Representação das dízimas periódicas

As dízimas podem estar escritas na forma de fração geratriz ou na forma de número decimal. Quando estiver escrita na forma decimal, colocamos três pontinhos no final para indicar que os algarismos se repetem infinitamente.

Podemos ainda representar esse tipo de número colocando um traço horizontal apenas em cima do seu período.

Exemplos

a parêntese direito espaço 1 vírgula 666... igual a 1 vírgula 6 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo p e r í o d o espaço i g u a l espaço a espaço 6 parêntese direito b parêntese direito espaço 23 vírgula 3787878... igual a 23 vírgula 3 78 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo p e r í o d o espaço i g u a l espaço a espaço 78 parêntese direito

Fração geratriz

Como vimos, as dízimas periódicas são números racionais e para encontrar a fração geratriz de uma dízima podemos aplicar um método prático.

Se o número for uma dízima simples, devemos colocar no numerador um número formado pelos algarismos inteiros e o período, menos os algarismos inteiros, sem a vírgula. Já no denominador, colocamos um número formado por "noves".

A quantidade de "noves" dependerá de quantos algarismos formam o período da dízima. Por exemplo, na dízima 3,1717... o período é composto por 2 algarismos (17), assim, o denominador será igual a 99.

Se a dízima for composta, o numerador será encontrado fazendo a subtração do número formado pelos algarismos da parte inteira, os algarismos que não se repetem e o período (sem a vírgula) e o número formado pela parte inteira e a que não se repete, também sem a vírgula.

No denominador, também colocamos tantos noves quanto forem os algarismos do período, entretanto, temos que adicionar zeros de acordo com o número de algarismos que não se repetem na parte decimal.

Exemplo

Encontre a fração geratriz das dízimas indicadas abaixo:

a) 4,5555...
b) 7,38282...

Solução

a) O número 4,555... é uma dízima periódica simples. Neste caso, no denominador teremos apenas um algarismo nove, pois o seu período apresenta um único algarismo (5). Assim, fração será igual a:

4 vírgula 555... igual a numerador 45 menos 4 sobre denominador 9 fim da fração igual a 41 sobre 9

b) Como 7,38282... é uma dízima periódica composta, teremos no denominador o número 990, pois o período é formado por 2 algarismos (82) e temos apenas 1 algarismo que não se repete na parte decimal (3).

7 vírgula 38282... igual a numerador 7382 menos 73 sobre denominador 990 fim da fração igual a 7309 sobre 990

Vídeo

Existem várias maneiras de representar um mesmo número. Podemos, por exemplo, escrever o número 1 como 0,9999....

Você acredita que esses dois números são realmente iguais? Não? Então assista ao vídeo e tire suas próprias conclusões.

Exercícios Resolvidos

1) Enem (PPL) - 2014

Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212...

O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são

a) 103 em cada 330.
b) 104 em cada 333.
c) 104 em cada 3 333.
d) 139 em cada 330.
e) 1 039 em cada 3 330.

Para encontrar as quantidades relativas de admiradores e pessoas que visitaram o perfil do estudante, precisamos conhecer a fração geratriz da dízima periódica composta indicada.

Usando a regra prática, temos:

0 vírgula 31212... igual a numerador 312 menos 3 sobre denominador 990 fim da fração igual a 309 sobre 990 igual a 103 sobre 330

Alternativa: a) 103 sobre 330

2) PUC/RJ - 2003

A soma 1,3333... + 0,16666... é igual a:

a parêntese direito espaço 1 meio b parêntese direito espaço 5 sobre 2 c parêntese direito espaço 4 sobre 3 d parêntese direito espaço 5 sobre 3 e parêntese direito espaço 3 sobre 2

Para efetuar a soma, vamos transformar os números dados em fração. É importante observar que 1,333... é uma dízima periódica simples e 0,1666... é uma dízima periódica composta.

Aplicando a regra prática, temos:

1 vírgula 333... igual a numerador 13 menos 1 sobre denominador 9 fim da fração igual a 12 sobre 9 igual a 4 sobre 3 0 vírgula 166... igual a numerador 16 menos 1 sobre denominador 90 fim da fração igual a 15 sobre 90 igual a 1 sobre 6

Agora que conhecemos as frações geratrizes, vamos efetuar a soma:

4 sobre 3 mais 1 sobre 6 igual a numerador 8 mais 1 sobre denominador 6 fim da fração igual a 9 sobre 6 igual a 3 sobre 2

Alternativa: e)3 sobre 2

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.