MMC e MDC - Exercícios

Rosimar Gouveia

O mmc e o mdc representam, respectivamente, o menor múltiplo comum e o maior divisor comum entre dois ou mais números.

O cálculo do mmc é muito usado nas operações de soma de frações. Nos problemas que envolvem a noção de repartir em partes iguais e com a maior tamanho possível, usamos o mdc.

Já o mmc, normalmente é aplicado quando a questão apresenta a ideia de coincidência de tempo, ou seja, quando dois ou mais eventos irão acontecer simultaneamente.

Não perca a oportunidade de tirar todas as suas dúvidas através dos exercícios comentados e resolvidos que apresentamos abaixo.

Questões Resolvidas

1) Aprendiz de Marinheiro - 2016

Seja A = 120, B = 160, x = mmc (A,B) e y = mdc (A,B), então o valor de x + y é igual a:

a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540

Para encontrar o valor da soma de x com y, é necessário primeiro encontrar esses valores.

Desta forma, vamos fatorar os números em fatores primos e depois calcular o mmc e o mdc entre os números dados.

Questão aprendiz de marinheiro 2016 mmc

Agora que já conhecemos o valor de x (mmc) e de y (mdc), podemos encontrar a soma:

x + y = 480 + 40 = 520

Alternativa: d) 520


2) Unicamp - 2015

A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a mesma quantidade de dois alimentos, A e B.

Questão Unicamp 2015 MMC

Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor energético) dos alimentos A e B. A razão entre a quantidade de proteína em A e a quantidade de proteína em B é igual a

a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.

Para encontrar porções isocalóricas dos alimentos A e B, vamos calcular o mmc entre os valores energéticos respectivos.

Questão unicamp 2015 mmc

Então, devemos considerar a quantidade necessária de cada alimento para obter o valor calórico.

Considerando o alimento A, para ter um valor calórico de 240 Kcal é necessário multiplicar as calorias iniciais por 4 ( 60 . 4 = 240). Já para o alimento B, é necessário multiplicar por 3 (80 . 3 = 240).

Assim, a quantidade de proteína do alimento A será multiplicada por 4 e a do alimento B por 3:

Alimento A : 6 . 4 = 24 g
Alimento B : 1 . 3 = 3 g

Desta forma, temos que a razão entre essas quantidades será dada por:

24 sobre 3 igual a 8 espaço g

Alternativa: c) 8

3) UERJ - 2015

Na tabela abaixo, estão indicadas três possibilidades de arrumar n cadernos em pacotes:

Questão UERJ 2025 MMC

Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de n é:

a) 12
b) 17
c) 21
d) 26

Considerando os valores informados na tabela, temos as seguintes relações:

n = 12 . x + 11
n = 20 . y + 19
n = 18 . z + 17

Note que se somássemos 1 livro ao valor de n, deixaríamos de ter resto nas três situações, pois formaríamos mais um pacote:

n+ 1 = 12 . x + 12
n+ 1 = 20 . x + 20
n+ 1 = 18 . x + 18

Sendo assim, n + 1 é múltiplo comum de 12, 18 e 20, então, se encontrarmos o mmc (que é o menor múltiplo comum), podemos, a partir daí, encontrar o valor de n+1.

Calculando o mmc:

Questão Uerj 2015 mmc

Então, o menor valor de n + 1 será 180. Entretanto, queremos encontrar o maior valor de n menor que 1200. Assim, vamos procurar um múltiplo que satisfaça essas condições.

Para isso, vamos multiplicar o 180 até encontrar o valor desejado:

180 . 2 = 360
180 . 3 = 540
180 . 4 = 720
180 . 5 = 900
180 . 6 = 1 080
180 . 7 = 1 260 (esse valor é maior que 1 200)

Portanto, podemos calcular o valor de n:

n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079

Sendo que a soma dos seus algarismos será dada por:

1 + 0 + 7 + 9 = 17

Alternativa: b) 17

4) Enem - 2015

Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

a) 105 peças.
b) 120 peças.
c) 210 peças.
d) 243 peças.
e) 420 peças.

Como é pedido que as peças tenham o mesmo comprimento e o maior tamanho possível, vamos calcular o mdc (máximo divisor comum).

Vamos calcular o mdc entre 540, 810 e 1080:

Questão Enem 2015 mdc

Entretanto, o valor encontrado não poderá ser usado, pois existe a restrição do comprimento ser menor que 2 m.

Assim, vamos dividir 2,7 por 2, pois o valor encontrado também será um divisor comum de 540, 810 e 1080, visto que o 2 é o menor fator primo em comum desses números.

Então, o comprimento de cada peça será igual a 1,35 m (2,7 : 2). Agora, precisamos calcular quantas peças teremos de cada tábua. Para isso, faremos:

5,40 : 1,35 = 4 peças
8,10 : 1,35 = 6 peças
10,80 : 1,35 = 8 peças

Considerando a quantidade de cada tábua e somando, temos:

40 . 4 + 30 . 6 + 10 . 8 = 160 + 180 + 80 = 420 peças

Alternativa: e) 420 peças

5) Enem - 2015

O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

  1. cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
  2. todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
  3. não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é

a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.

Para descobrir o número mínimo de escolas, precisamos conhecer o número máximo de ingressos que cada escola poderá receber, considerando que este número deverá ser igual nas duas sessões.

Desta maneira, iremos calcular o mdc entre 400 e 320:

Questão enem 2015 mdc

O valor do mdc encontrado representa o maior número de ingressos que cada escola irá receber, de modo que não haja sobras.

Para calcular o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas, devemos ainda dividir a quantidade de ingressos de cada sessão pelo número de ingressos que cada escola receberá, assim temos:

400 : 80 = 5
320 : 80 = 4

Portanto, o número mínimo de escolas será igual a 9 (5 + 4).

Alternativa: c) 9.

6) Cefet/RJ - 2012

Qual é o valor da expressão numérica 1 quinto mais 1 sobre 50 mais 1 sobre 500 mais 1 sobre 5000?

a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222

Para encontrar o valor da expressão numérica, o primeiro passo é calcular o mmc entre os denominadores. Assim:

Questão CEFET/RJ 2012 mmc

O mmc encontrado será o novo denominador das frações.

Entretanto, para não mudar o valor da fração, devemos multiplicar o valor de cada numerador pelo resultado da divisão do mmc por cada denominador:

numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar tipográfico 5 sobre 1000 fim do estilo fim da fração mais numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar tipográfico 50 sobre 100 fim do estilo fim da fração mais numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar tipográfico 500 sobre 10 fim do estilo fim da fração mais numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar tipográfico 5000 sobre 1 fim do estilo fim da fração igual a numerador 1000 mais 100 mais 10 mais 1 sobre denominador 5000 fim da fração

Resolvendo a adição e a divisão, temos:

1111 sobre 5000 igual a 0 vírgula 2222

Alternativa: a) 0,2222

7) EPCAR - 2010

Um agricultor fará uma plantação de feijão em canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar os locais onde plantaria as sementes. A figura abaixo indica os pontos já marcados pelo agricultor e as distâncias, em cm, entre eles.

Questão Epcar 2010 MDC

Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já existentes, de modo que a distância d entre todos eles fosse a mesma e a maior possível. Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo agricultor, então x é um número divisível por

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Para resolver a questão, precisamos encontrar um número que divide ao mesmo tempo os números apresentados. Como é pedido que a distância seja a maior possível, vamos calcular o mdc entre eles.

Questão EPCAR 2010 mdc

Desta forma, a distância entre cada ponto será igual a 5 cm.

Para encontrar o número de vezes que essa distância foi repetida, vamos dividir cada segmento original por 5 e somar os valores encontrados:

15 : 5 = 3
70 : 5 = 14
150 : 5 = 30
500 : 5 = 100

x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147

O número encontrado é divisível por 7, pois 21.7 = 147

Alternativa: d) 7

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.