MMC e MDC

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem ser calculados simultaneamente através da decomposição em fatores primos.

Por meio da fatoração, o MMC de dois ou mais números é determinado pela multiplicação dos fatores. Já o MDC é obtido pela multiplicação dos números que os dividem ao mesmo tempo.

1º passo: fatoração dos números

A fatoração consiste na representação em números primos, chamados fatores. Por exemplo, 2 x 2 é a forma fatorada de 4.

A forma fatorada de um número é obtida seguindo a sequência:

  • Inicia-se com a divisão pelo menor número primo possível;
  • O quociente da divisão anterior também é dividido pelo menor número primo possível;
  • Repete-se a divisão até que o resultado seja o número 1.

Exemplo: fatoração do número 40.

Exemplo de fatoração

Portanto, a forma fatorada do número 40 é 2 x 2 x 2 x 5, que é o mesmo que 23 x 5.

2º passo: cálculo do MMC

A decomposição de dois números simultaneamente terá como resultado a forma fatorada do mínimo múltiplo comum entre eles.

Exemplo: fatoração dos números 40 e 60.

tabela linha com 40 60 linha com 20 30 linha com 10 15 linha com 5 15 linha com 5 5 linha com 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 5 linha com blank fim da tabela

A multiplicação dos fatores primos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 tem como forma fatorada 23 x 3 x 5.

Portanto, o MMC de 40 e 60 é: 23 x 3 x 5 = 120.

Vale lembrar que as divisões sempre serão feitas pelo menor número primo possível, mesmo que esse número divida apenas um dos componentes.

Saiba mais sobre o Mínimo Múltiplo Comum.

3º passo: cálculo do MDC

O máximo divisor comum é encontrado quando multiplicamos os fatores que dividem simultaneamente os números fatorados.

Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir duas vezes o quociente da divisão e o número 5 uma vez.

tabela linha com negrito 40 negrito 60 linha com negrito 20 negrito 30 linha com 10 15 linha com 5 15 linha com negrito 5 negrito 5 linha com 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com negrito 2 linha com negrito 2 linha com 2 linha com 3 linha com negrito 5 linha com blank fim da tabela

Portanto, o MDC de 40 e 60 é: 22 x 5 = 20.

Saiba mais sobre o Máximo Divisor Comum.

Exercícios de MMC e MDC resolvidos

Exercício 1

Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre 10, 20 e 30.

Resposta correta: MMC = 60 e MDC = 10.

1º passo: decomposição em fatores primos.

Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis.

tabela linha com 10 20 30 linha com 5 10 15 linha com 5 5 15 linha com 5 5 5 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 5 linha com blank fim da tabela

2º passo: cálculo do MMC.

Multiplique os fatores encontrados anteriormente.

MMC: 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 = 60

3º passo: cálculo do MDC.

Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo.

tabela linha com negrito 10 negrito 20 negrito 30 linha com 5 10 15 linha com 5 5 15 linha com negrito 5 negrito 5 negrito 5 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com negrito 2 linha com 2 linha com 3 linha com negrito 5 linha com blank fim da tabela

MDC: 2 x 5 = 10

Exercício 2

Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre15, 25 e 45.

Resposta correta: MMC = 225 e MDC = 5.

1º passo: decomposição em fatores primos.

Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis.

tabela linha com 15 25 45 linha com 5 25 15 linha com 5 25 5 linha com 1 5 1 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com 5 linha com 5 linha com blank fim da tabela

2º passo: cálculo do MMC.

Multiplique os fatores encontrados anteriormente.

MMC: 3 x 3 x 5 x 5 = 32 x 52 = 225

3º passo: cálculo do MDC

Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo.

tabela linha com 15 25 45 linha com 5 25 15 linha com negrito 5 negrito 25 negrito 5 linha com 1 5 1 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com negrito 5 linha com 5 linha com blank fim da tabela

MDC: 5

Veja também: Múltiplos e Divisores

Exercício 3

Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre 40, 60 e 80.

Resposta correta: MMC = 240 e MDC = 20.

1º passo: decomposição em fatores primos.

Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis.

tabela linha com 40 60 80 linha com 20 30 40 linha com 10 15 20 linha com 5 15 10 linha com 5 15 5 linha com 5 5 5 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 5 linha com blank fim da tabela

2º passo: cálculo do MMC.

Multiplique os fatores encontrados anteriormente.

MMC: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 24 x 3 x 5 = 240

3º passo: cálculo do MDC.

Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo.

tabela linha com negrito 40 negrito 60 negrito 80 linha com negrito 20 negrito 30 negrito 40 linha com 10 15 20 linha com 5 15 10 linha com 5 15 5 linha com negrito 5 negrito 5 negrito 5 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com negrito 2 linha com negrito 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com negrito 5 linha com blank fim da tabela

MDC: 2 x 2 x 5 = 22 x 5 = 20

Para mais questões com resolução comentada, veja também:

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.