MMC e MDC

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem ser calculados simultaneamente através da decomposição em fatores primos.

Por meio da fatoração, o MMC de dois ou mais números é determinado pela multiplicação dos fatores. Já o MDC é obtido pela multiplicação dos números que os dividem ao mesmo tempo.

1º passo: fatoração dos números

A fatoração consiste na representação em números primos, chamados fatores. Por exemplo, 2 x 2 é a forma fatorada de 4.

A forma fatorada de um número é obtida seguindo a sequência:

Inicia-se com a divisão pelo menor número primo possível;
O quociente da divisão anterior também é dividido pelo menor número primo possível;
Repete-se a divisão até que o resultado seja o número 1.

Exemplo: fatoração do número 40.

Exemplo de fatoração

Portanto, a forma fatorada do número 40 é 2 x 2 x 2 x 5, que é o mesmo que 2³ x 5.

2º passo: cálculo do MMC

A decomposição de dois números simultaneamente terá como resultado a forma fatorada do mínimo múltiplo comum entre eles.

Exemplo: fatoração dos números 40 e 60.

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A multiplicação dos fatores primos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 tem como forma fatorada 2³ x 3 x 5.

Portanto, o MMC de 40 e 60 é: 2³ x 3 x 5 = 120.

Vale lembrar que as divisões sempre serão feitas pelo menor número primo possível, mesmo que esse número divida apenas um dos componentes.

Saiba mais sobre o Mínimo Múltiplo Comum.

3º passo: cálculo do MDC

O máximo divisor comum é encontrado quando multiplicamos os fatores que dividem simultaneamente os números fatorados.

Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir duas vezes o quociente da divisão e o número 5 uma vez.

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Portanto, o MDC de 40 e 60 é: 2² x 5 = 20.

Saiba mais sobre o Máximo Divisor Comum.

Exercícios de MMC e MDC resolvidos

Exercício 1

Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre 10, 20 e 30.

Ver Resposta

Resposta correta: MMC = 60 e MDC = 10.

1º passo: decomposição em fatores primos.

Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis.

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2º passo: cálculo do MMC.

Multiplique os fatores encontrados anteriormente.

MMC: 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5 = 60

3º passo: cálculo do MDC.

Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo.

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MDC: 2 x 5 = 10

Exercício 2

Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre15, 25 e 45.

Ver Resposta

Resposta correta: MMC = 225 e MDC = 5.

1º passo: decomposição em fatores primos.

Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis.

$tabela linha com 15 25 45 linha com 5 25 15 linha com 5 25 5 linha com 1 5 1 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com 5 linha com 5 linha com blank fim da tabela$

2º passo: cálculo do MMC.

Multiplique os fatores encontrados anteriormente.

MMC: 3 x 3 x 5 x 5 = 3² x 5² = 225

3º passo: cálculo do MDC

Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo.

$tabela linha com 15 25 45 linha com 5 25 15 linha com negrito 5 negrito 25 negrito 5 linha com 1 5 1 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com negrito 5 linha com 5 linha com blank fim da tabela$

MDC: 5

Veja também: Múltiplos e Divisores

Exercício 3

Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre 40, 60 e 80.

Ver Resposta

Resposta correta: MMC = 240 e MDC = 20.

1º passo: decomposição em fatores primos.

Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis.

$tabela linha com 40 60 80 linha com 20 30 40 linha com 10 15 20 linha com 5 15 10 linha com 5 15 5 linha com 5 5 5 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 5 linha com blank fim da tabela$

2º passo: cálculo do MMC.

Multiplique os fatores encontrados anteriormente.

MMC: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2⁴x 3 x 5 = 240

3º passo: cálculo do MDC.

Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo.

$tabela linha com negrito 40 negrito 60 negrito 80 linha com negrito 20 negrito 30 negrito 40 linha com 10 15 20 linha com 5 15 10 linha com 5 15 5 linha com negrito 5 negrito 5 negrito 5 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com negrito 2 linha com negrito 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com negrito 5 linha com blank fim da tabela$

MDC: 2 x 2 x 5 = 2² x 5 = 20

Para mais questões com resolução comentada, veja também:

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.