Exercícios sobre Máximo Divisor Comum (MDC)

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
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Estude com os exercícios sobre Máximo Divisor Comum (MDC) e tire suas dúvidas com as resoluções detalhadas passo a passo.

Questão 1

Calcule o MDC entre 180 e 150.

Para calcular o MDC entre 180 e 150, devemos realizar a decomposição em fatores primos e multiplicar os que dividem, simultaneamente, as duas colunas.

Repare que os números em vermelho representam os divisores que devem ser multiplicados para determinação do MDC. Estes dividiram números nas duas colunas, simultaneamente.

Portanto, o Maior Divisor Comum entre 180 e 150 é o 30.

Questão 2

Joana está preparando kits de doces para distribuir entre alguns convidados. Há 36 brigadeiros e 42 cajuzinhos. Ela quer separá-los em pratos de modo a ocupar a menor quantidade de pratos mas, que todos os pratos tenham a mesma quantidade de doces e sem misturá-los. A quantidade de doces que Joana deverá colocar em cada prato, será

a) 21.
b) 12.
c) 6.
d) 8.
e) 5.

Resposta correta: c) 6.

Para encontrar a menor quantidade de pratos a serem utilizados, será necessário colocar a maior quantidade de doces em cada prato, mas fazendo com que todos os pratos tenham a mesma quantidade de doces e, sem misturar brigadeiros e cajuzinhos.

Para isso, é necessário encontrar o maior divisor comum entre 36 e 42. Fazendo a fatoração:

A quantidade de doces em cada prato será de 6 doces.

Questão 3

Um evento de corrida de equipes irá acontecer no próximo final de semana e, o período para as inscrições de participantes terminou hoje. Ao total, 88 pessoas se inscreveram, sendo 60 mulheres e 28 homens. Para as duas modalidades, feminina e masculina, as equipes devem possuir sempre, o mesmo e o maior número e atletas possível sem misturar homens e mulheres em uma mesma equipe. Desta forma o número de atletas em cada equipe será de

a) 10.
b) 8.
c) 6.
d) 4.
e) 2.

Resposta correta: d) 4.

Para saber o maior número de atletas possível em cada equipe, de modo que todas tenham o mesmo número de atletas, sem misturar homens e mulheres em uma mesma equipe, devemos dividir a quantidade de inscritos, homens e mulheres, pelo Maior Divisor Comum entre os dois.

Para determinar o MDC(28,60), fazemos a fatoração.

Questões de vestibulares e concursos

Questão 4

(Correios – Cespe). O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.

Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir

a) mais de 30 cm.
b) menos de 15 cm.
c) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
d) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
e) mais de 25 cm e menos de 30 cm

Resposta correta: a) mais de 30 cm.

Note que os dados da questão estão em metros e as respostas em centímetros. Sendo assim, vamos passar os valores da questão para centímetros.

3,52 m = 352 cm
4,16 m = 416 cm

Como o piso é quadrado, todos os lados devem possuir a mesma medida. Por isso, a medida do lado deve ser um divisor comum para 352 e 416.

Vamos determinar o Maior Divisor Comum em 352 e 416.

Desta forma, a resposta é a letra a, o ladrilho deverá medir mais que 30 cm.

Questão 5

(Professor de Matemática da Educação Básica - 2019) Um ferreiro vai confeccionar pedaços de barras de ferro de mesma medida. Ele dispõe de 35 barras de 270 cm, 18 de 540 cm e 6 de 810 cm, todas de igual largura. Ele pretende cortar as barras em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, de modo que esses pedaços fiquem o maior possível, mas de comprimento menor que 1 m. Quantas pedaços de barra de ferro o ferreiro pode produzir?

a) 89.
b) 178.
c) 267.
d) 524.
e) 801.

Resposta correta: c) 267.

O comprimento dos novos pedaços devem dividir de forma exata as barras já disponíveis, de modo que todas tenham o mesmo e o maior comprimento mas, menores que 1 m.

Para isso, devemos fatorar as medidas.

O MDC é 270 cm. No entanto, é preciso que os novos pedaços sejam menores que 100 cm.

Se retirarmos o fator 2, e multiplicarmos os que restaram em destaque na fatoração, teríamos:

3.3.3.5 = 135 cm, ainda maior que 100 cm.

Retirando um fator 3, e multiplicarmos os que restaram em destaque na fatoração, teríamos:

2.3.3.5 = 90 cm

Sendo assim, os novos pedaços devem possuir 90 cm. Para saber a quantidade, devemos dividir cada medida de barra já disponível por 90 e multiplicar pelas quantidades de cada.

270 espaço c m espaço dividido por espaço 90 espaço c m espaço igual a espaço 3
Como há 35 barras de 270, fazemos a multiplicação:
35 sinal de multiplicação 3 igual a 105 espaço b a r r a s

540 espaço c m dividido por 90 espaço c m igual a 6
Como há 18 barras de 540, fazemos a multiplicação:
18 sinal de multiplicação 6 igual a 108 espaço b a r r a s

810 espaço c m espaço dividido por espaço 90 espaço c m igual a 9
Como há 18 barras de 540, fazemos a multiplicação:
6 sinal de multiplicação 9 igual a 54 espaço b a r r a s

Somando as quantidades individuais 105 + 108 + 54 = 267.

Portanto, ferro o ferreiro pode produzir 267 pedaços de barra de ferro.

Questão 6

(Prefeitura de Areial Professor B - Matemática 2021) O gerente de uma loja de aparelhos eletrônicos, apaixonado por matemática, propõe que o preço de um determinado celular seja dado em reais pela expressão mdc (36,42). mmc (36,42).
Neste caso, é CORRETO afirmar que o valor do celular, em reais, é igual a:

a) R$ 1,812,00
b) R$ 1,612,00
b) R$ 1,712,00
d) R$ 2,112,00
e) R$ 1,512,00

Resposta correta: e) R$ 1,512,00.

Primeiro vamos calcular o MDC(36,42).

Para isso, basta fatorar os números e multiplicar os fatores que dividem, simultaneamente, as duas colunas.

Para o cálculo do MMC, basta multiplicarmos todos os fatores.

Agora, basta multiplicar os dois resultados.

252 . 6 = 1512

O valor do celular, em reais, é igual a R$ 1512,00.

Questão 7

(Prefeitura de Irati - SC - Professor de Inglês) Em uma caixa, há 18 bolinhas azuis, 24 bolinhas verdes e 42 bolinhas vermelhas. Marta quer organizar as bolinhas em sacolas, de modo que cada sacola tenha o mesmo número de bolinhas e cada cor fique igualmente distribuídas nas sacolas e que possa usar a quantidade máxima de sacolas possíveis para isso. Qual a soma das bolinhas azuis, verdes e vermelhas que ficaram em cada sacola?

a) 7
b) 14
c) 12
d) 6

Resposta correta: b) 14.

Primeiramente, vamos determinar o maior divisor comum aos três números;

Agora, basta dividir a quantidade de bolinhas de cada cor por 6 e, somar o resultado.

18 dividido por 6 igual a 3 24 dividido por 6 igual a 4 42 dividido por 6 igual a 7  S o m a n d o espaço o s espaço r e s u l t a d o s 3 mais 4 mais 7 igual a 14

Questão 8

(USP-2019) A função E de Euler determina, para cada número natural ݊n, a quantidade de números naturais menores do que ݊n cujo máximo divisor comum com ݊n é igual a 1. Por exemplo, E (6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E (n), para ݊n de 20 a 25?

a) 19
b) 20
c) 22
d) 24
e) 25

Resposta correta: c) 22.

E (n) é uma função que fornece o número de vezes em que o MDC entre o número n, e um número natural menor que n, é igual a 1.

Devemos determinar para n entre 20 e 25, qual deles retorna E (n) maior.

Lembre-se que os números primos só são divisíveis por 1 e por eles próprios. Por isso, são os que apresentarão E (n) maiores.

Entre 20 e 25, apenas o 23 é número primo. Como E (n) compara o MDC entre n e um número menor que n, temos que E (23) = 22.

Portanto, o valor máximo de E (n), para ݊n de 20 a 25, ocorre para n=23, sendo: E(23) = 22.

Apenas para melhorar a compreensão:

MDC(1,23)=1
MDC(2,23)=1
.
.
.
MDC(22,23)=1

Questão 9

(PUC-PR Medicina 2015) Um estagiário recebeu a tarefa de organizar documentos em três arquivos. No primeiro arquivo, havia apenas 42 contratos de locação; no segundo arquivo, apenas 30 contratos de compra e venda; no terceiro arquivo, apenas 18 laudos de avaliação de imóveis. Ele foi orientado a colocar os documentos em pastas, de modo que todas as pastas devem conter a mesma quantidade de documentos. Além de não poder mudar algum documento do seu arquivo original, deveria colocar na menor quantidade possível de pastas. O número mínimo de pastas que ele pode usar é:

a) 13.
b) 15.
c) 26.
d) 28.
e) 30.

Resposta correta: b) 15.

Calculamos o MDC(18,30,42)

Agora, dividimos as quantidades de documentos em cada arquivo por 6 e, somamos o resultado.

18 dividido por 6 igual a 3 30 dividido por 6 igual a 5 42 dividido por 6 igual a 7

S o m a n d o espaço o s espaço r e s u l t a d o s 3 mais 5 mais 7 igual a 15

Desse modo, 15 é o número mínimo de pastas que ele pode usar.

Exercite mais com MMC e MDC - Exercícios.

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Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.