MMC - Mínimo Múltiplo Comum

O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C.) corresponde ao menor número inteiro positivo de dois ou mais números. Dessa forma, o MMC dos elementos x e y será múltiplo e comum desses dois números.

Lembre-se que o múltiplo de determinado número é quando este é divisível por ele, diferente de zero, por exemplo: 25 é múltiplo de 5 pois ele é divisível por 5.

Nesse sentido, podemos pensar na tabuada donde temos os múltiplos de determinado número, os quais são calculados pela multiplicação dele por outro número natural:

Exemplo

5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
5 x 8 = 40
5 x 9 = 45
5 x 10 = 50

Note que o zero (0) é múltiplo de todos os números naturais e que os múltiplos dos números são infinitos.

Obs: Além do MMC, temos o MDC que corresponde ao máximo divisor comum entre dois números inteiros.

Propriedades do MMC

  • Entre dois números primos, o MMC será o produto entre eles.
  • Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC será o maior deles.
  • Ao multiplicar ou dividir dois números por um outro diferente de zero, o MMC aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
  • Ao dividir o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.
  • Ao multiplicar o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.

Como Calcular o MMC?

Por meio de exemplos, confira abaixo passo a passo para calcular o MMC de alguns números:

Mínimo Múltiplo Comum de 2 e 3

Para saber o MMC de dois números podemos fazer de duas maneiras:

A primeira é pensar nos múltiplos desse número através da tabuada:

2 = 2, 4, 6, 8,10...
3 = 3, 6, 9, 12, 15...

Note que o menor múltiplo correspondente entre os dois é o número 6. Portanto, dizemos que o 6 é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 2 e 3.

A segunda maneira de encontrar o MMC de dois números é através da fatoração, ou seja, decompondo os números:

MMC - Mínimo Múltiplo Comum

Observe que nesse processo vamos dividindo os elementos da fatoração pelos números primos, ou seja, aqueles números naturais divisíveis por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19...

No final, multiplicam-se os números primos que foram utilizados na fatoração e encontramos o MMC.

Mínimo Múltiplo Comum de 2 e 4

Da mesma maneira, vamos encontrar o MMC de 2 e 4:

Pela tabuada temos:

2 = 2, 4, 6, 8, 10...
4 = 4, 8, 12, 16, 20...

Assim, podemos concluir que o mínimo múltiplo comum de 2 e 4 é 4.

Agora, vamos utilizar o processo de fatoração:

MMC - Mínimo Múltiplo Comum

Por fim, multiplicamos os números primos encontrados do lado direito da fatoração e temos que 2 x 2 = 4.

Mínimo Múltiplo Comum e Frações

Observe que o mínimo múltiplo comum (MMC) é também muito utilizado em operações com frações. Vejamos abaixo um exemplo:

MMC - Mínimo Múltiplo Comum

Sabemos que para somar ou subtrair frações é necessário que os denominadores sejam iguais. Assim, em casos como este, temos que fatorar os números para encontrar o MMC:

Pela tabuada temos:

5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30...
6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36...

Sabemos, portanto, que o MMC de 6 e 5 é 30. Para exercitar, vamos fatorar os dois:

MMC - Mínimo Múltiplo Comum

Por fim, multiplicamos os números primos e temos o mesmo valor: 30.

Agora que encontramos o MMC, podemos calcular a adição das frações dividindo o MMC pelo denominador e multiplicando pelo numerador:

MMC - Mínimo Múltiplo Comum

Note que há casos em que a fatoração é necessária, visto ser mais difícil pensar na tabuada de números grandes.

Saiba mais sobre o tema lendo os artigos:

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (VUNESP) Em uma floricultura, há menos de 65 botões de rosas e um funcionário está encarregado de fazer ramalhetes, todos com a mesma quantidade de botões. Ao iniciar o trabalho, esse funcionário percebeu que se colocasse em cada ramalhete 3, 5 ou 12 botões de rosas, sempre sobrariam 2 botões. O número de botões de rosas era:

a) 54
b) 56
c) 58
d) 60
e) 62

Alternativa e

2. (VUNESP) Para dividir os números 36 e 54 por respectivos menores números inteiros consecutivos de modo que se obtenham os mesmos quocientes em divisões exatas, esses números só podem ser, respectivamente:

a) 6 e 7
b) 5 e 6
c) 4 e 5
d) 3 e 4
e) 2 e 3

Alternativa e

3. (Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?

a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30

Alternativa a