Produtos Notáveis - Exercícios

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem regras definidas. Como aparecem com frequência, a sua aplicação facilita a determinação dos resultados.

Os principais produtos notáveis são: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos, produto da soma pela diferença de dois termos, cubo da soma de dois termos e cubo da diferença de dois termos.

Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse conteúdo relacionado com as expressões algébricas.

Questões Resolvidas

1) Faetec - 2017

Ao entrar na sua sala de aula, Pedro encontrou as seguintes anotações no quadro:

questão faetec 2017 produtos notáveis

Usando seus conhecimentos sobre produtos notáveis, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a2 + b2. Esse valor é:

a) 26
b) 28
c) 32
d)36

Para encontrar o valor da expressão, vamos usar o quadrado da soma de dois termos, ou seja:

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

Como queremos encontrar o valor a a2 + b2, isolaremos esses termos na expressão anterior, então temos:

a2 + b2 = (a + b)2 - 2.a.b

Substituindo os valores dados:

a2 + b2 = 62 - 2.4
a2 + b2 = 36 - 8
a2 + b2 = 28

Alternativa: b) 28

2) Cefet/MG - 2017

Se x e y são dois números reais positivos, então a expressão

M espaço igual a espaço abre parênteses x raiz quadrada de y sobre x fim da raiz mais y raiz quadrada de x sobre y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado espaço é espaço e q u i v a l e n t e espaço a

a) √xy.
b) 2xy.
c) 4xy.
d) 2√xy.

Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos, temos:

M igual a abre parênteses x raiz quadrada de y sobre x fim da raiz mais y raiz quadrada de x sobre y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado M igual a abre parênteses x raiz quadrada de y sobre x fim da raiz fecha parênteses ao quadrado mais 2. x raiz quadrada de y sobre x fim da raiz. y raiz quadrada de x sobre y fim da raiz mais abre parênteses y raiz quadrada de x sobre y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado M igual a x ao quadrado. y sobre x mais 2. x. y raiz quadrada de numerador y espaço sobre denominador x espaço fim da fração. x sobre y fim da raiz mais y ao quadrado. x sobre y M igual a x riscado diagonal para cima sobre espaço em branco ao quadrado fim do riscado. numerador y sobre denominador diagonal para cima risco x fim da fração mais 2. x. y raiz quadrada de numerador diagonal para cima risco y espaço sobre denominador diagonal para cima risco x espaço fim da fração. numerador diagonal para cima risco x sobre denominador diagonal para cima risco y fim da fração fim da raiz mais y à potência de diagonal para cima risco 2 fim do exponencial. numerador diagonal para cima risco x sobre denominador diagonal para cima risco y fim da fração M igual a x. y mais 2 x. y mais x. y M igual a 4 x y

Alternativa: c) 4xy

3) Cefet/RJ - 2016

Considere p e q números reais não nulos e não simétricos. A seguir são descritas seis afirmações envolvendo esses números e cada uma delas está associada a um valor informado entre parênteses.

I menos parêntese esquerdo p mais q parêntese direito ao quadrado igual a p ao quadrado mais q à potência de 2 espaço fim do exponencial espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 10 parêntese direito I I menos cúbica raiz de p. q fim da raiz igual a cúbica raiz de p. cúbica raiz de q espaço fim da raiz espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 20 parêntese direito I I I menos raiz quadrada de p ao quadrado mais q ao quadrado fim da raiz igual a p mais q espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 30 parêntese direito I V menos numerador 1 mais p. q sobre denominador q fim da fração igual a 1 mais p espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 40 parêntese direito V menos numerador 1 sobre denominador p mais q fim da fração igual a 1 sobre p mais 1 sobre q espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 50 parêntese direito V I menos numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre p fim do estilo mais começar estilo mostrar 1 sobre q fim do estilo fim da fração igual a numerador p. q sobre denominador p mais q fim da fração espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 60 parêntese direito espaço

A opção que representa a soma dos valores referentes às afirmações verdadeiras é:

a) 190
b) 110
c) 80
d) 20

I) Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos temos:

(p + q) 2 = p2 + 2.p.q + q2, portanto, a afirmação I é falsa

II) Pela propriedade da radiciação da multiplicação de raízes de mesmo índice, a afirmação é verdadeira.

III) Neste caso, como a operação entre os termos é uma soma, não podemos tirar da raiz. Primeiro, precisamos efetuar a potenciação, somar os resultados para depois tirar da raiz. Portanto, essa afirmação também é falsa.

IV) Como entre os termos temos uma soma, não podemos simplificar o q. Para poder fazer a simplificação, é necessário desmembrar a fração:

1 sobre q mais numerador p diagonal para cima risco q sobre denominador diagonal para cima risco q fim da fração igual a 1 sobre q mais p sobre q igual a numerador 1 mais p sobre denominador q fim da fração

Assim, essa alternativa é falsa.

V) Como temos uma soma entre os denominadores, não podemos separar as frações, tendo que resolver primeiro essa soma. Logo, esta afirmação também é falsa.

VI) Escrevendo as frações com um único denominador, temos:
numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre p mais 1 sobre q fim do estilo fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar numerador q mais p sobre denominador p. q fim da fração fim do estilo fim da fração

Como temos uma fração de fração, resolvemos repetindo a primeira, passado para multiplicação e invertendo a segunda fração, assim:

numerador p. q sobre denominador p mais q fim da fração, portanto, essa afirmação é verdadeira.

Somando as alternativas corretas, temos: 20 + 60 = 80

Alternativa: c) 80

4) UFRGS - 2016

Se x + y = 13 e x . y = 1, então x2 + y2 é

a) 166
b) 167
c) 168
d) 169
e) 170

Lembrando do desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos, temos:

(x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2

Como queremos encontrar o valor a x2 + y2, isolaremos esses termos na expressão anterior, então temos:

x2 + y2 = (x + y)2 - 2.x.y

Substituindo os valores dados:

x2 + y2 = 132 - 2.1
x2 + y2 = 169 - 2
x2 + y2 = 167

Alternativa: b) 167

5) EPCAR - 2016

O valor da expressão abre parênteses numerador x à potência de menos 2 fim do exponencial menos y à potência de menos 2 fim do exponencial sobre denominador x à potência de menos 1 fim do exponencial mais y à potência de menos 1 fim do exponencial fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses , em que x e y ∈ R* e x ≠ y e x ≠ −y , é

a) −1
b) −2
c) 1
d) 2

Vamos começar reescrevendo a expressão e transformando os termos com expoentes negativos em frações:

abre parênteses numerador começar estilo mostrar 1 sobre x ao quadrado menos 1 sobre y ao quadrado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre x mais 1 sobre y fim do estilo fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses

Agora vamos resolver as somas das frações, reduzindo a um mesmo denominador:

abre parênteses numerador começar estilo mostrar numerador y ao quadrado menos x ao quadrado sobre denominador parêntese esquerdo x. y parêntese direito ao quadrado fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador y mais x sobre denominador x. y fim da fração fim do estilo fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses

Transformando a fração de fração em multiplicação:

abre parênteses numerador começar estilo mostrar y ao quadrado menos x ao quadrado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar parêntese esquerdo x. y parêntese direito ao quadrado fim do estilo fim da fração. numerador x. y sobre denominador y mais x fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses

Aplicando o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos e colocando em evidência os termos comuns:

numerador abre parênteses y mais x fecha parênteses. abre parênteses y menos x fecha parênteses sobre denominador abre parênteses x. y fecha parênteses ao quadrado fim da fração. numerador x. y sobre denominador y mais x fim da fração. numerador x. y. parêntese esquerdo x mais y parêntese direito sobre denominador abre parênteses x mais y fecha parênteses começar estilo mostrar. fim do estilo começar estilo mostrar abre parênteses x menos y fecha parênteses fim do estilo fim da fração

Podemos agora simplificar a expressão, "cortando" os termos semelhantes:

numerador abre parênteses riscado diagonal para cima sobre y mais x fim do riscado fecha parênteses. abre parênteses y menos x fecha parênteses sobre denominador riscado diagonal para cima sobre abre parênteses x. y fecha parênteses ao quadrado fim do riscado fim da fração. numerador riscado diagonal para cima sobre x. y fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre abre parênteses y mais x fecha parênteses fim do riscado fim da fração. numerador riscado diagonal para cima sobre x. y fim do riscado começar estilo mostrar abre parênteses riscado diagonal para cima sobre x mais y fim do riscado fecha parênteses fim do estilo sobre denominador abre parênteses riscado diagonal para cima sobre x mais y fim do riscado fecha parênteses começar estilo mostrar. fim do estilo começar estilo mostrar abre parênteses x menos y fecha parênteses fim do estilo fim da fração igual a numerador parêntese esquerdo y menos x parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim da fração

Como (y - x) = - (x - y), podemos substituir esse fator na expressão acima. Assim:

numerador parêntese esquerdo y menos x parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim da fração igual a numerador menos riscado diagonal para cima sobre parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim do riscado fim da fração igual a menos 1

Alternativa: a) - 1

6) Aprendiz de Marinheiro - 2015

O produto abre parênteses raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 fecha parênteses é igual a

a) 6
b) 1
c) 0
d) - 1
e) - 6

Para resolver esse produto, podemos aplicar o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, ou seja:

(a + b) . (a - b) = a2 - b2

Assim:

abre parênteses raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 fecha parênteses igual a abre parênteses raiz quadrada de 3 fecha parênteses ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 2 fecha parênteses ao quadrado igual a 3 menos 2 igual a 1

Alternativa: b) 1

7) Cefet/MG - 2014

O valor numérico da expressão começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de 68 ao quadrado menos 32 ao quadrado fim da raiz fim do estiloestá compreendido no intervalo

a) [30,40[
b) [40,50[
c) [50,60[
d) [60,70[

Como a operação entre os termos da radiciação é uma subtração, não podemos tirar os números de dentro do radical.

Devemos primeiro resolver a potenciação, depois subtrair e tirar a raiz do resultado. A questão é que calcular essas potências não é muito rápido.

Para facilitar os cálculos, podemos aplicar o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, assim temos:

raiz quadrada de abre parênteses 68 menos 32 fecha parênteses. abre parênteses 68 mais 32 fecha parênteses fim da raiz raiz quadrada de 36.100 fim da raiz raiz quadrada de 36. raiz quadrada de 100 6.10 espaço igual a espaço 60

Como é pedido em qual intervalo o número está compreendido, devemos notar que o 60 aparece em duas alternativas.

Entretanto, na alternativa c o colchete após o 60 está aberto, logo, esse número não pertence ao intervalo. Já na alternativa d o colchete está fechado e indica que o número pertence a esses intervalo.

Alternativa: d) [60, 70[

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.