Exercícios de Juros Compostos

Rosimar Gouveia

Os juros compostos representam a correção aplicada a uma quantia que foi emprestada ou aplicada. Esse tipo de correção também é chamada de juros sobre juros.

Sendo um conteúdo de grande aplicabilidade, aparece com frequência em concursos, vestibulares e no Enem. Diante disso, aproveite as questões abaixo para verificar seus conhecimentos sobre este conteúdo.

Questões Comentadas

1) Enem - 2018

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Neste caso, paga-se o valor presente, que é o valor naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V igual a P. parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de n

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para ln abre parênteses 4 sobre 3 fecha parêntesese 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

a) 56ª
b) 55ª
c) 52ª
d) 51ª
e) 45ª

Na questão proposta, queremos descobrir qual a parcela que, aplicando a redução de juros ao pagar antecipadamente, o valor pago tenha um desconto superior 25%, ou seja:

P com a n t e c i p a d a subscrito fim do subscrito menor que 820 menos 25 sobre 100.820 C o l o c a n d o espaço o espaço 820 espaço e m espaço e v i d ê n c i a P com a n t e c i p a d a subscrito fim do subscrito menor que 820 parêntese esquerdo 1 menos 25 sobre 100 parêntese direito R e s o l v e n d o espaço a espaço s u b t r a ç ã o espaço d a s espaço f r a ç õ e s espaço d e n t r o espaço d o s espaço p a r ê n t e s e s P com a n t e c i p a d a subscrito fim do subscrito menor que 75 sobre 100.820

Simplificando a fração (dividindo em cima e embaixo por 25), descobrindo que o valor a ser pago pela parcela antecipada deve ser:

P com a n t e c i p a d a subscrito fim do subscrito menor que numerador diagonal para cima risco 75 sobre denominador diagonal para cima risco 100 fim da fração.820 P com a n t e c i p a d a subscrito fim do subscrito menor que 3 sobre 4.820

A parcela antecipada corresponde ao valor futuro corrigido para o valor presente, ou seja, descontado os juros de 1,32% ao pagar essa parcela antes do prazo, isto é:

P com a n t e c i p a d a subscrito fim do subscrito igual a numerador 820 sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 0132 parêntese direito à potência de n fim da fração

Onde n é igual ao período que será antecipado. Substituindo essa expressão na anterior, temos:

numerador 820 sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 0132 parêntese direito à potência de n fim da fração menor que 3 sobre 4.820

Como aparece 820 em ambos os lados da desigualdade, podemos simplificar, "cortando" esse valor:

numerador diagonal para cima risco 820 sobre denominador 1 vírgula 0132 à potência de n fim da fração menor que 3 sobre 4. diagonal para cima risco 820 numerador começar estilo mostrar 1 fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 1 vírgula 0132 à potência de n fim do estilo fim da fração menor que numerador começar estilo mostrar 3 fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 4 fim do estilo fim da fração

Podemos inverter as frações, tendo o cuidado de também inverter o sinal da desigualdade. Assim, nossa expressão fica:

1 vírgula 0132 à potência de n maior que 3 sobre 4

Observe que o valor que queremos descobrir está no expoente (n). Sendo assim, para resolver a inequação aplicaremos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da inequação, ou seja:

n. ln parêntese esquerdo 1 vírgula 0132 parêntese direito maior que ln abre parênteses 4 sobre 3 fecha parênteses

Agora, podemos substituir pelos valores indicados no enunciado e encontrar o valor do n:

n.0 vírgula 0131 maior que 0 vírgula 2877 n maior que numerador 0 vírgula 2877 sobre denominador 0 vírgula 0131 fim da fração n maior que 21 vírgula 9618

Como n deve ser maior que o valor encontrado, então teremos que antecipar 22 parcelas, ou seja, pagaremos a 30ª parcela junto com a 52ª ( 30 + 22 = 52).

Alternativa: c) 52ª

2) Enem - 2011

Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

questão Enem juros compostos 2011

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é

a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.

Para descobrir qual o melhor rendimento, vamos calcular quanto cada um renderá no final de um mês. Vamos então começar calculando o rendimento da poupança.

Considerando os dados do problema, temos:

c = R$500,00
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 mês
M = ?

Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:

M = C (1+i)t
Mpoupança = 500 (1 + 0,0056)1
Mpoupança = 500.1,0056
Mpoupança = R$ 502,80

Como neste tipo de aplicação não existe desconto do imposto de renda, então esse será o valor resgatado.

Agora, iremos calcular os valores para o CDB. Para esta aplicação, a taxa de juros é igual 0,876% (0,00876). Substituindo esses valores, temos:

MCDB = 500 (1+0,00876)1
MCDB = 500.1,00876
MCDB = R$ 504,38

Esse valor não será o valor recebido pelo investidor, pois nesta aplicação existe um desconto de 4%, relativo ao imposto de renda, que deverá ser aplicado sobre os juros recebidos, conforme indicado abaixo:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Precisamos calcular 4% deste valor, para isso basta fazer:

4,38.0,04 = 0,1752

Aplicando esse desconto ao valor, encontramos:

504,38 - 0,1752 = R$ 504,21

Alternativa: d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.

3) UERJ - 2017

Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.

Temos os seguintes dados no problema:

M = R$53240,00
i = 10% = 0,1 ao mês
t = 3 meses
C = ?

Substituindo esses dados na fórmula de juros compostos, temos:

M = C (1+i)t
53240 = C (1+0,1)3
53240 = 1,331 C
C igual a numerador 53240 sobre denominador 1 vírgula 331 fim da fração C igual a R $ 40 espaço 000 vírgula 00

4) Fuvest - 2018

Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?

a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1.485,20
d) 1.495,20
e) 1.490,20

Neste problema, temos que fazer a equivalência de valores, ou seja, conhecemos o valor futuro que deverá ser pago em cada parcela e queremos conhecer o valor presente (capital que será aplicado).

Para esta situação usamos a seguinte fórmula:

V com P subscrito igual a numerador V com F subscrito sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de t fim da fração

Considerando que a aplicação deverá render R$ 500,00 no momento do pagamento da segunda parcela, que será 1 mês após o pagamento da primeira parcela, temos:

V com P 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 500 sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 01 parêntese direito à potência de 1 fim da fração V com P 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 500 sobre denominador 1 vírgula 01 fim da fração V com P 2 subscrito fim do subscrito igual a 495 vírgula 05

Para pagar a terceira parcela também de R$500,00, o valor ficará aplicado por 2 meses, então o valor aplicado será igual a:

V com P 3 subscrito fim do subscrito igual a numerador 500 sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 01 parêntese direito ao quadrado fim da fração V com P 3 subscrito fim do subscrito igual a numerador 500 sobre denominador 1 vírgula 01 ao quadrado fim da fração V com P 3 subscrito fim do subscrito igual a 490 vírgula 15

Assim, o valor que Maria reservou para a compra é igual a soma dos valores aplicados com o valor da primeira parcela, ou seja:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = R$ 1.485,20

Alternativa: c) R$ 1.485,20

5) UNESP - 2005

Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de:

a) R$ 3.015,00.
b) R$ 3.820,00.
c) R$ 4.011,00.
d) R$ 5.011,00.
e) R$ 5.250,00.

Sabemos que o empréstimo foi liquidado em duas parcelas e que temos os seguintes dados:

VP = 8000
i = 5% = 0,05 a.m
VF1 = 5000
VF2 = x

Considerando os dados e fazendo a equivalência dos capitais, temos:

8000 espaço igual a numerador 5000 sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 05 parêntese direito ao quadrado fim da fração mais numerador x sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 05 parêntese direito ao cubo fim da fração 8000 espaço igual a espaço numerador 5000 sobre denominador 1 vírgula 05 ao quadrado fim da fração mais numerador x sobre denominador 1 vírgula 05 ao cubo fim da fração 8000 espaço igual a numerador 5000 sobre denominador 1 vírgula 1025 fim da fração mais numerador x sobre denominador 1 vírgula 1576 fim da fração 8000 menos 4535 vírgula 14 igual a numerador x sobre denominador 1 vírgula 1576 fim da fração x igual a 3464 vírgula 86.1 vírgula 1576 x igual a 4010 vírgula 92

Alternativa: c) R$ 4.011,00.

6) PUC/RJ - 2000

Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque especial a taxa de juros de 11% ao mês. Para cada 100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no primeiro mês, 123,21 no segundo, e assim por diante. Sobre um montante de 100 reais, ao final de um ano o banco irá cobrar aproximadamente:

a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.

Pelas informações dadas no problema, identificamos que a correção do valor cobrado pelo cheque especial é por juros compostos.

Note que o valor cobrado do segundo mês foi calculado considerando o valor já corrigido do primeiro mês, ou seja:

J = 111. 0,11 = R$ 12,21

M = 111 + 12,21 = R$ 123,21

Sendo assim, para encontrar o valor que o banco irá cobrar no final de um ano, vamos aplicar a fórmula de juros compostos, isto é:

M = C (1+i)t

Sendo:

C = R$100,00
i = 11% = 0,11 ao mês
t = 1 ano = 12 meses
M = 100 (1+0,11)12
M = 100.1,1112
M = 100.3,498
M espaço igual a espaço 349 vírgula 85 espaço aproximadamente igual 350

Alternativa: e) 350 reais

Para saber mais sobre este tema, leia também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.