Juros Compostos

Rosimar Gouveia

Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, o juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros).

Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).

Exemplo

Uma aplicação de R$10.000, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período?

MêsJurosValor
110% de 10000 = 100010000 + 1000 = 11000
210% de 11000 = 110011000 + 1100 = 12100
310% de 12100 = 121012100 + 1210 = 13310

Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período será resgatado o valor de R$13.310,00.

Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em matemática financeira. São eles:

  • Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento.
  • Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital.
  • Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, bimestre, trimestre ou ano.
  • Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros.

Fórmula: Como Calcular os Juros Compostos?

Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão:

M = C (1+i)t

Onde,

M: montante
C: capital
i: taxa fixa
t: período de tempo

Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.

Se pretendemos calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula:

J = M - C

Exemplos

Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros compostos.

1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$800, qual será o valor da taxa mensal de juros?

Sendo:

C = 500
M = 800
t = 4

Aplicando na fórmula, temos:

exemplo juros compostos

Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar o valor encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês.

2) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês?

Sendo:

C = 5000
i = 1% ao mês (0,01)
t = 1 semestre = 6 meses

Substituindo, temos:

M = 5000 (1 + 0,01)6
M = 5000 (1,01)6
M = 5000 . 1,061520150601
M = 5307,60

Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim:

J = 5307,60 - 5000 = 307,60
O juro recebido será de R$ 307,60.

3) Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$20 000,00 gere o montante de R$ 21 648,64, quando aplicado à taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos?

Sendo:

C = 20000
M = 21648,64
i = 2% ao mês (0,02)

Substituindo:

exemplo juros compostos

O tempo deverá ser de 4 meses.

Para saber mais, veja também:

Dica de Vídeo

Entenda melhor sobre o conceito de juros compostos no vídeo abaixo "Introdução aos Juros Compostos":

Juros Simples

Os juros simples é outro conceito utilizado em matemática financeira aplicado sobre um valor. Diferente dos juros compostos, eles são constantes por período. Nesse caso, ao final de t períodos temos a fórmula:

J = C . i . t

Onde,

J: juros
C: capital aplicado
i: taxa de juros
t: períodos

No tocante ao montante, utiliza-se a expressão: M = C. (1+i.n)

Exercícios Resolvidos

Para compreender melhor a aplicação dos juros compostos, confira abaixo dois exercícios resolvidos, sendo um deles do Enem:

1. Anita resolve aplicar R$300 num investimento que rende 2% ao mês no regime de juros compostos. Nesse caso, calcule o valor que ela terá de investimento ao final de três meses.

Ao aplicar a fórmula dos juros compostos teremos:

Mn= C (1+i)t
M3 = 300.(1+0,02)3
M3 = 300.1,023
M3 = 300.1,061208
M3 = 318,3624

Lembre-se que no sistema de juros compostos o valor de rendimento será aplicado ao montante acrescido por cada mês. Sendo assim:

1°mês: 300+0,02.300 = R$306
2°mês: 306+0,02.306 = R$312,12
3° mês: 312,12+0,02.312,12 = R$318,36

Ao final do terceiro mês Anita terá aproximadamente R$318,36.

2. (Enem 2011)

Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

n1,03n
31,093
61,194
91,305
121,426

Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá:

A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

Para encontrar a melhor forma de investimento, devemos calcular cada um dos investimentos no período de uma ano (12 meses):

Investimento A: 3% ao mês

1 ano = 12 meses

Rendimento de 12 meses = (1 + 0,03)12 − 1 = 1,0312 − 1 = 1,426 – 1 = 0,426 (aproximação fornecida na tabela)

Logo, o investimento de 12 meses (1 ano) será de 42,6%.

Investimento B: 36% ao ano

Nesse caso, já está dada a resposta, ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 36%.

Investimento C: 18% ao semestre

1 ano = 2 semestres

Rendimento nos 2 semestres = (1 + 0,18)2 − 1 = 1,182 − 1 = 1,3924 – 1 = 0,3924

Ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 39,24%

Logo, ao analisarmos os valores obtidos concluímos que a pessoa deverá: “escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C”.

Alternativa C: escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.