Matemática Financeira

Rosimar Gouveia

A matemática financeira é a área da matemática que estuda a equivalência de capitais no tempo, ou seja, como se comporta o valor do dinheiro no decorrer do tempo.

Sendo um área aplicada da Matemática, estuda diversas operações ligadas ao dia a dia das pessoas. Por esse motivo, conhecer suas aplicações é fundamental.

Como exemplos dessas operações podemos citar as aplicações financeiras, empréstimos, renegociação de dívidas, ou mesmo, tarefas simples, como calcular o valor de desconto num determinado produto.

Conceitos Básicos da Matemática Financeira

Conceitos básicos de matemática financeira

Capital (C)

Representa o valor do dinheiro no momento atual. Este valor pode ser de um investimento, dívida ou empréstimo.

Juros (J)

Representam os valores obtidos pela remuneração de um capital. Os juros representam, por exemplo, o custo do dinheiro tomado emprestado.

Ele pode também ser obtido pelo retorno de uma aplicação ou ainda pela diferença entre o valor à vista e a prazo em uma transação comercial.

Montante (M)

Corresponde ao valor futuro, ou seja, é o capital mais os juros acrescidos ao valor.

Assim, M = C + J.

Taxa de Juros (i)

É o percentual do custo ou remuneração paga pelo uso do dinheiro. A taxa de juros está sempre associada a um certo prazo, que pode ser por exemplo ao dia, ao mês ou ao ano.

Cálculos Básicos da Matemática Financeira

Cálculos básico matemática financeira

Porcentagem

A porcentagem (%) significa por cento, ou seja, uma determinada parte de cada 100 partes. Como representa uma razão entre números, pode ser escrita na forma de fração ou como número decimal.

Por exemplo:

30 sinal de percentagem igual a 30 sobre 100 igual a 0 vírgula 3

Muitas vezes utilizamos a porcentagem para indicar aumentos e descontos. Para exemplificar, vamos pensar que uma roupa que custava 120 reais está, nesse período do ano, com 50% de desconto.

Como já estamos familiarizados com esse conceito, sabemos que esse número corresponde à metade do valor inicial.

Então, essa roupa no momento está com custo final de 60 reais. Vejamos assim, como trabalhar a porcentagem:

50% pode ser escrito 50/100 (ou seja, 50 por cem)

Assim, podemos concluir que 50% equivale a ½ ou 0,5, em número decimal. Mas afinal o que isso significa?

Bem, a roupa está com 50% de desconto e, portanto, ela custa metade (½ ou 0,5) de seu valor inicial. Logo, a metade de 120 é 60.

Mas vamos pensar noutro caso, em que ela está com 23% de desconto. Para tanto, temos que calcular quanto é 23/100 de 120 reais. Lógico que por aproximação podemos fazer esse cálculo. Mas aqui a ideia não é essa.

Logo,

Transformamos o número percentual em número fracionário e multiplicamos pelo número total que queremos identificar o desconto:

23/100 . 120/1 - dividindo o 100 e 120 por 2, temos:

23/50 . 60/1 = 1380/50 = 27,6 reais

Portanto, o desconto de 23% numa roupa que custa 120 reais será de 27,6. Assim, o valor que você irá pagar é de 92,4 reais.

Agora vamos pensar no conceito de aumento, ao invés de desconto. No exemplo acima, temos que a comida subiu 30%. Para isso, vamos exemplificar que o preço do feijão que custava 8 reais teve um aumento de 30%.

Aqui, temos que saber quanto é 30% de 8 reais. Da mesma forma que fizemos acima, vamos calcular a porcentagem e, por fim, agregar o valor no preço final.

30/100 . 8/1 - dividindo o 100 e 8 por 2, temos:

30/50 . 4/1 = 120/50 = 2,4

Assim, podemos concluir que o feijão nesse caso está custando mais 2,40 reais. Ou seja, de 8 reais seu valor foi para 10,40 reais.

Variação Percentual

Outro conceito associado ao de porcentagem é o de variação percentual, ou seja, a variação das taxas percentuais de acréscimo ou decréscimo.

Exemplo:

No início do mês, o preço do quilo da carne era de 25 reais. No final do mês a carne era vendida por 28 reais o quilo.

Assim, podemos concluir que houve uma variação percentual relacionada com o aumento desse produto. Podemos constatar que o aumento foi de 3 reais. Pela razão dos valores temos:

3/25 = 0,12 = 12%

Sendo assim, podemos concluir que a variação percentual do preço da carne foi de 12%.

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Juros

O cálculo de juros pode ser simples ou composto. No regime de capitalização simples, a correção é feita sempre sobre o valor do capital inicial.

Já nos juros compostos, a taxa de juros é aplicada sempre sobre o montante do período anterior. Note que esse último é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras.

Juros Simples

Os juros simples são calculados levando em consideração um determinado período. Ele é calculado pela fórmula:

J = C . i . n

Onde:

C: capital aplicado
i: taxa de juros
n: período que corresponde os juros

Logo, o montante dessa aplicação será:

M = C + J
M = C + C . i . n
M = C . (1 + i . n)

Juros Compostos

O sistema de juros compostos é chamado de capitalização acumulada, pois, ao final de cada período os juros que incidem sobre o capital inicial são incorporados.

Para calcular o montante em uma capitalização a juros compostos, usamos a seguinte fórmula:

Mn = C (1+i)n

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Exercícios com Gabarito

1. (FGV) Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de vencimento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do desconto simples será igual a

a) R$ 7,00.
b) R$ 7,50.
c) R$ 7,52.
d) R$ 10,00.
e) R$ 12,50.

Alternativa b: R$ 7,50.

2. (Vunesp) Um investidor aplicou a quantia de R$ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 4% a.m.; o montante que esse capital irá gerar em 12 meses pode ser calculado por

a) M = 8000(1 + 12 x 4)
b) M = 8000(1 + 0,04)12
c) M = 8000(1 + 4)12
d) M = 8000 + 8000(1 + 0,04)12
e) M = 8000(1 + 12 x 0,04)

Alternativa b: M = 8000(1 + 0,04)12

3. (Cesgranrio) Um banco cobrou R$ 360,00 por seis meses de atraso em uma dívida de R$ 600,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada por esse banco, calculada a juros simples?

a) 8%
b) 10%
c) 12%
d) 15%
e) 20%

Alternativa b: 10%

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.