Juros Simples e Compostos

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo.

O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.

Diferença entre juros simples e compostos

Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.

Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que já foi corrigido.

Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.

Diferença entre juros simples e compostos com o passar do tempo.
Diferença entre juros simples e compostos com o passar do tempo.

A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as operações de curto período.

Fórmula de juros simples

Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:

bold italic J negrito igual a bold italic C negrito. bold italic i negrito. bold italic t

Sendo,

J: juros
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem)
t: período da transação

Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.

Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:

bold italic M negrito igual a bold italic C negrito mais bold italic J

Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:

bold italic M negrito igual a bold italic C negrito mais bold italic C negrito. bold italic i negrito. bold italic t bold italic M negrito igual a bold italic C negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais bold italic i negrito. bold italic t negrito parêntese direito

A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em função do tempo.

Exemplo

Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples?

Solução

Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.

C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?

Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:

J igual a C. i. t 25 igual a 1000. i.1 i igual a 25 sobre 1000 i igual a 0 vírgula 025 igual a 2 vírgula 5 sinal de percentagem

Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:

i = 2,5.12= 30% ao ano

Fórmula de juros compostos

O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:

bold italic M negrito igual a bold italic C negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais bold italic i negrito parêntese direito à potência de negrito t

Sendo,

M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo

Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.

Exemplo

Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.

Solução

Identificando as informações dadas, temos:

C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?

Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:

M igual a 2000 espaço parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 04 parêntese direito à potência de 4 M igual a 2000.1 vírgula 16985856 M aproximadamente igual 2339 vírgula 71

Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na potência.

Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71.

Exercícios Resolvidos

Questão 1

Cálculo do montante

Qual o montante de uma aplicação de R$500,00, a uma taxa de 3% ao mês, em um período de 1 ano e 6 meses, nos sistemas de juros simples e compostos?

Juros simples

Dados:

C = 500

i = 0,03

t = 18 meses (1ano + 6meses)

O montante será o capital inicial mais os juros.

M = C + J

Sendo o juro:

J = C.i.t

J = 500.0,03.18 = 270

Assim, o montante será:

M = C+J

M = 500+270

M = 770

Resposta: O montante dessa aplicação será de R$770,00.

Juros compostos

Aplicando os valores na fórmula, temos:

M igual a C parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de t espaço M igual a 500 parêntese esquerdo 1 vírgula 03 parêntese direito à potência de 18 M igual a 500.1 vírgula 70 M igual a 851 vírgula 21

Resposta: O montante do investimento no regime de juros compostos é de R$851,21.

Questão 2

Cálculo do capital

Um certo capital foi aplicado por um período de 6 meses. A taxa foi de 5% ao mês. Após esse período, o montante era de R$5000,00. Determine o capital.

Juros simples

Colocando C em evidência na fórmula de juros simples:

M = C + J

M = C + C.i.t

M = C(1+i.t)

Isolando C na equação:

C espaço igual a numerador espaço M espaço sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais i. t parêntese direito espaço fim da fração C espaço igual a espaço 3.846 vírgula 15

Juros compostos

Isolando C na fórmula dos juros compostos e substituindo os valores:

C igual a numerador M sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de t fim da fração C igual a numerador 5000 sobre denominador parêntese esquerdo 1 vírgula 03 parêntese direito à potência de 6 fim da fração C igual a numerador 5000 sobre denominador 1 vírgula 19 fim da fração C igual a 4201 vírgula 68

Resposta: O capital deve ser de R$4201,68.

Questão 3

Cálculo da taxa de juros

Qual seria a taxa mensal de juros de um investimento de R$1000,00 em um período de oito meses que obteve um montante de R$1600,00.

Juros simples

Aplicando a fórmula e colocando C em evidência:

M = C + J

M = C + C.i.t

M = C(1+i.t)

Substituindo os valores e fazendo os cálculos numéricos:

m sobre C espaço menos 1 espaço igual a espaço i. t espaço espaço 1 vírgula 6 espaço menos espaço 1 espaço igual a espaço i. t espaço espaço 0 vírgula 6 espaço igual a espaço i. t espaço espaço numerador 0 vírgula 6 sobre denominador 8 fim da fração espaço igual a espaço i espaço espaço 0 vírgula 075 espaço igual a espaço i

Em porcentagem

I = 7,5%

Juros compostos

Vamos usar a fórmula para juros compostos e dividir o montante pelo capital.

M sobre C igual a parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de t 1600 sobre 1000 igual a parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de 8 1 vírgula 6 igual a parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de 8 índice radical 8 de 1 vírgula 6 fim da raiz igual a 1 mais i 1 vírgula 06051 espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço i i espaço igual a espaço 0 vírgula 06051

Em porcentagem i = 6,051%

Questão 4

Cálculo do período da aplicação (tempo)

Um capital de R$8000,00 foi investido a juro mensal de 9%, obtendo um montante de R$10360,00.

Quanto tempo esse capital ficou investido?

Juros simples

Utilizando a fórmula

M espaço igual a espaço C espaço mais espaço J espaço espaço M espaço menos espaço C espaço igual a espaço C. i. t espaço numerador M espaço menos espaço C espaço espaço sobre denominador C. i fim da fração espaço igual a espaço t espaço espaço numerador 10360 espaço menos espaço 8000 espaço espaço sobre denominador 8000.0 vírgula 09 fim da fração espaço igual a espaço t espaço espaço 3 vírgula 27 espaço igual a espaço t

Portanto, o tempo é de, aproximadamente, 3,27 meses.

Juros compostos

M igual a C parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de t M sobre C igual a 1 vírgula 09 à potência de t 1 vírgula 295 igual a 1 vírgula 09 à potência de t

Nesta etapa, nos deparamos com uma equação exponencial.

Para resolvê-la, iremos utilizar o logaritmo, aplicando um logaritmo de mesma base, nos dois lados da equação.

l o g 1 vírgula 295 igual a l o g 1 vírgula 09 à potência de t

Usando uma propriedade dos logaritmos no lado direito da equação, temos:

log espaço 1 vírgula 295 espaço igual a espaço t espaço. espaço log espaço 1 vírgula 09 espaço t espaço igual a espaço numerador log espaço 1 vírgula 295 espaço sobre denominador log espaço 1 vírgula 09 fim da fração espaço espaço t espaço igual a espaço numerador 0 vírgula 1122 sobre denominador 0 vírgula 0374 fim da fração espaço espaço t espaço igual a espaço 3

Questão 5

UECE - 2018

Uma loja vende um aparelho de TV, com a seguintes condições de pagamento: entrada no valor de R$ 800,00 e um pagamento de R$ 450,00 dois meses depois. Se o preço do televisor à vista é de R$1.200,00, então, a taxa de juros simples mensal embutida no pagamento é
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.

Ao comparar o valor do televisor à vista (R$1.200,00) e o valor pago em duas parcelas, observamos que houve um acréscimo de R$ 50,00, pois o valor pago foi igual a R$1.250,00 (800 +450).

Para encontrar a taxa cobrada, podemos aplicar a fórmula de juros simples, considerando que os juros foram aplicados sobre o saldo devedor (valor da TV à vista menos o valor da entrada). Assim, temos:

C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 meses

J = C.i.t
50 = 400.i.2
i igual a numerador 50 sobre denominador 400.2 fim da fração i igual a 50 sobre 800 i igual a 0 vírgula 0625 igual a 6 vírgula 25 sinal de percentagem

Alternativa: a) 6,25%

Equivalência de capitais

Em Matemática financeira é fundamental termos em mente que as quantias envolvidas em uma transação serão deslocadas no tempo.

Diante deste fato, fazer uma análise financeira implica comparar valores presentes com os valores futuros. Assim, devemos ter uma forma de fazer a equivalência de capitais em diferentes momentos.

Quando calculamos o montante, na fórmula de juros compostos, estamos encontrando o valor futuro para t períodos de tempo, segundo uma taxa i, a partir de um valor presente.

Isto é feito através da multiplicação do termo (1+i)n pelo valor presente, ou seja:

negrito V com negrito F subscrito negrito igual a negrito V com negrito P subscrito negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais negrito i negrito parêntese direito à potência de negrito t

Ao contrário, se quisermos encontrar o valor presente conhecendo o valor futuro, iremos fazer uma divisão, isto é:

negrito V com negrito p subscrito negrito igual a negrito V com negrito F subscrito sobre negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais negrito i negrito parêntese direito à potência de negrito t

Exemplo:

Para comprar uma moto aproveitando um ótimo preço, uma pessoa pediu um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma financeira a juros mensais de 15%. Dois meses depois, pagou R$ 3 000,00 e liquidou a dívida no mês seguinte.

Qual foi o valor da última prestação pago pela pessoa?

Solução

Se a pessoa conseguiu liquidar o valor devido pelo empréstimo, então o valor pago na primeira parcela mais a segunda parcela são iguais ao valor devido.

Entretanto, as parcelas foram corrigidas ao longo do período por juros mensais. Sendo assim, para igualar essas quantias temos que conhecer seus valores equivalentes em uma mesma data.

Iremos fazer a equivalência considerando o momento do empréstimo, conforme o esquema abaixo:

Exemplo de equivalência em juros compostos

Usando a fórmula para dois e três meses:

V com p subscrito igual a V com F subscrito sobre parêntese esquerdo 1 mais i parêntese direito à potência de t 6000 igual a 3000 sobre parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 15 parêntese direito ao quadrado mais x sobre parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 15 parêntese direito ao cubo 6000 espaço igual a espaço numerador 3000 sobre denominador 1 vírgula 3225 fim da fração mais numerador reto x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração numerador reto x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração espaço igual a espaço 6000 espaço menos espaço numerador 3000 sobre denominador 1 vírgula 3225 fim da fração numerador reto x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração espaço igual a espaço 6000 espaço menos espaço 2268 vírgula 43 numerador reto x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração espaço igual a espaço 3731 vírgula 56 negrito x negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 5675 negrito vírgula negrito 25

Portanto, o último pagamento efetuado foi de R$ 5 675,25.

Exercício resolvido

Questão 6

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:

Questão Enem 2017 Juros compostos

Resposta: Letra a

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.