Juros Simples e Compostos

Rosimar Gouveia

Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo.

O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.

Juros simples e compostos

Diferença entre juros simples e compostos

Enquanto nos juros simples a correção aplicada em todo o período leva em consideração apenas o valor inicial envolvido, nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.

Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que também já foi corrigido.

Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja bem maior que o valor inicialmente aplicado ou emprestado.

Gráfico juros simples e compostos

A grande maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as operações de curto período de tempo.

Fórmula de juros simples

Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:

bold italic J negrito igual a bold italic C negrito. bold italic i negrito. bold italic t

Sendo,

J: juros
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem)
t: período da transação

Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.

Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:

bold italic M negrito igual a bold italic C negrito mais bold italic J

Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:

bold italic M negrito igual a bold italic C negrito mais bold italic C negrito. bold italic i negrito. bold italic t bold italic M negrito igual a bold italic C negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais bold italic i negrito. bold italic t negrito parêntese direito

A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em função do tempo.

Exemplo

Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples?

Solução

Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.

C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?

Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:

J igual a C. i. t 25 igual a 1000. i.1 i igual a 25 sobre 1000 i igual a 0 vírgula 025 igual a 2 vírgula 5 sinal de percentagem

Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:

i = 2,5.12= 30% ao ano

Fórmula de juros compostos

O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:

bold italic M negrito igual a bold italic C negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais bold italic i negrito parêntese direito à potência de negrito t

Sendo,

M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo

Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.

Exemplo

Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.

Solução

Identificando as informações dadas, temos:

C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?

Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:

M igual a 2000 espaço parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 04 parêntese direito à potência de 4 M igual a 2000.1 vírgula 1698 M igual a 2339 vírgula 71

Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71.

Equivalência de capitais

Em Matemática financeira é fundamental termos em mente que as quantias envolvidas em uma transação serão deslocadas no tempo.

Diante deste fato, fazer uma análise financeira implica comparar valores presentes com os valores futuros. Assim, devemos ter uma forma de fazer a equivalência de capitais em diferentes momentos.

Quando calculamos o montante, na fórmula de juros compostos, estamos encontrando o valor futuro para períodos de tempo n, segundo uma taxa i, a partir de um valor presente.

Isto é feito através da multiplicação do termo (1+i)n pelo valor atual, ou seja:

bold italic V com negrito F subscrito negrito igual a bold italic V com negrito P subscrito negrito. negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais bold italic i negrito parêntese direito à potência de negrito n

Ao contrário, se quisermos encontrar o valor presente conhecendo o valor futuro, iremos fazer uma divisão, isto é:

bold italic V com negrito P subscrito negrito igual a numerador negrito V com negrito F subscrito sobre denominador negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito mais negrito i negrito parêntese direito à potência de negrito n fim da fração

Exemplo:

Para comprar uma moto aproveitando um ótimo preço, uma pessoa pediu um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma financeira a juros mensais de 15%. Dois meses depois, pagou R$ 3 000,00 e liquidou a dívida no mês seguinte.

Qual foi o valor da última prestação pago pela pessoa?

Solução

Se a pessoa conseguiu liquidar o valor devido pelo empréstimo, então o valor pago na primeira parcela mais a segunda parcela são iguais ao valor devido.

Entretanto, as parcelas foram corrigidas ao longo do período por juros mensais. Sendo assim, para igualar essas quantias temos que conhecer seus valores equivalentes em uma mesma data.

Iremos fazer a equivalência considerando o momento do empréstimo, conforme o esquema abaixo:

Exemplo de equivalência em juros compostos

6 espaço 000 igual a numerador 3 espaço 000 sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 15 parêntese direito ao quadrado fim da fração mais numerador x sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 15 parêntese direito ao cubo fim da fração 6 espaço 000 igual a numerador 3 espaço 000 sobre denominador 1 vírgula 3225 fim da fração mais numerador x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração numerador x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração igual a 6 espaço 000 menos numerador 3 espaço 000 sobre denominador 1 vírgula 3225 fim da fração numerador x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração igual a 6 espaço 000 menos 2 espaço 268 vírgula 43 numerador x sobre denominador 1 vírgula 520875 fim da fração igual a 3 espaço 731 vírgula 56 x igual a 5 espaço 675 vírgula 25

Portanto, o último pagamento efetuado foi de R$ 5 675,25.

Exercícios Resolvidos

1) UECE - 2018

Uma loja vende um aparelho de TV, com a seguintes condições de pagamento: entrada no valor de R$ 800,00 e um pagamento de R$ 450,00 dois meses depois. Se o preço do televisor à vista é de R$1.200,00, então, a taxa de juros simples mensal embutida no pagamento é
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.

Ao comparar o valor do televisor à vista (R$1.200,00) e o valor pago em duas parcelas, observamos que houve um acréscimo de R$ 50,00, pois o valor pago foi igual a R$1.250,00 (800 +450).

Para encontrar a taxa cobrada, podemos aplicar a fórmula de juros simples, considerando que os juros foram aplicados sobre o saldo devedor (valor da TV à vista menos o valor da entrada). Assim, temos:

C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 meses

J = C.i.t
50 = 400.i.2
i igual a numerador 50 sobre denominador 400.2 fim da fração i igual a 50 sobre 800 i igual a 0 vírgula 0625 igual a 6 vírgula 25 sinal de percentagem

Alternativa: a) 6,25%

2) Enem - 2017

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:

Questão Enem 2017 Juros compostos

Para ver a resolução desta questão, assista o vídeo abaixo.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.