Progressão Geométrica - Exercícios

Rosimar Gouveia

A progressão geométrica (PG) representa uma sequência numérica onde a divisão entre dois números consecutivos resulta sempre em um valor constante. Esse valor é chamado de razão da PG.

Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo inclusive aparecer associado a outros assuntos de Matemática.

Portanto, aproveite as resoluções dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas sobre PG.

Exercícios Resolvidos

1) UFRGS - 2018

Considere a função real f definida por f (x) = 2 - x . O valor da expressão S = f (0) + f (1) + f (2) +...+ f (100) é

a) S = 2 - 2-101 .
b) S = 250 + 2-50.
c) S = 2 + 2-101 .
d) S = 2 + 2-100 .
e) S = 2 - 2-100 .

Considerando a lei de formação da função, podemos calcular alguns valores das funções. Assim, temos:

f parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a 2 à potência de 0 igual a 1 f parêntese esquerdo 1 parêntese direito igual a 2 à potência de menos 1 fim do exponencial igual a 1 meio f parêntese esquerdo 2 parêntese direito igual a 2 à potência de menos 2 fim do exponencial igual a 1 sobre 2 ao quadrado igual a 1 quarto f parêntese esquerdo 3 parêntese direito espaço igual a 2 à potência de menos 3 fim do exponencial igual a 1 sobre 2 ao cubo igual a 1 sobre 8

Observamos que esses valores formam uma PG de quociente igual a 1 meio. Portanto, para encontrar o valor de S podemos utilizar a fórmula da soma finita de uma PG , ou seja:

S com n subscrito igual a numerador a com 1 subscrito parêntese esquerdo q à potência de n menos 1 parêntese direito sobre denominador q menos 1 fim da fração

O número de termos da PG será igual a 101, pois queremos somar os resultados das funções partindo de x=0 até x=100. Substituindo os valores na fórmula, temos:

S com 101 subscrito igual a numerador 1 parêntese esquerdo parêntese esquerdo começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo parêntese direito à potência de 101 menos 1 parêntese direito sobre denominador começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo menos 1 fim da fração S com 101 subscrito igual a numerador começar estilo mostrar 1 sobre 2 à potência de 101 fim do estilo menos 1 sobre denominador começar estilo mostrar numerador menos 1 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração S com 101 subscrito igual a abre parênteses 1 sobre 2 à potência de 101 menos 1 fecha parênteses. abre parênteses menos 2 fecha parênteses S com 101 subscrito igual a numerador menos 2 sobre denominador 2 à potência de 101 fim da fração mais 2 S com 101 subscrito igual a 2 menos 2 à potência de menos 100 fim do exponencial

Alternativa: e) S = 2 - 2-100

2) PUC/RJ - 2017

Os termos da soma S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048 estão em progressão geométrica.

Assinale o valor de S.

a) 4092
b) 4100
c) 8192
d) 65536
e) 196883

Para encontrar o valor, aplicaremos a fórmula da soma finita dos termos de uma PG, ou seja:

S com n subscrito igual a numerador a com 1 subscrito parêntese esquerdo q à potência de n menos 1 parêntese direito sobre denominador q menos 1 fim da fração

Identificamos que a1 = 4 e q = 2. Entretanto, precisamos descobrir o valor de n, ou seja, quantos termos formam essa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral da PG:

an = a1.qn - 1
2048 igual a 4.2 à potência de n menos 1 fim do exponencial 2048 sobre 4 igual a 2 à potência de n sobre 2 2 à potência de n igual a 1024 2 à potência de n igual a 2 à potência de 10 n igual a 10

Agora que já temos todos os valores necessários, vamos calcular a soma:

S com 10 subscrito igual a numerador 4 espaço parêntese esquerdo 2 à potência de 10 menos 1 parêntese direito sobre denominador 2 menos 1 fim da fração S com 10 subscrito igual a 4 parêntese esquerdo 1024 menos 1 parêntese direito S com 10 subscrito igual a 4.1023 S com 10 subscrito igual a 4092

Alternativa: a) 4092

3) PUC/SP - 2017

Considere a progressão aritmética (3, a2 , a3 ,...) crescente, de razão r, e a progressão geométrica ( b1 , b2 , b3 , 3,...) decrescente, de razão q, de modo que a3 = b3 e r = 3q. O valor de b2 é igual a

a) a6
b) a7
c) a8
d) a9

Vamos aplicar a fórmula do termo geral da PG, para encontrar a expressão do 3º termo, partindo do valor do 4º termo (b4 = 3):

b com n subscrito igual a b com 1 subscrito. q à potência de parêntese esquerdo n menos 1 parêntese direito fim do exponencial b com 4 subscrito igual a b com 1 subscrito. q à potência de parêntese esquerdo 4 menos 1 parêntese direito fim do exponencial seta dupla para a direita 3 igual a b com 1 subscrito. q ao cubo seta dupla para a direita b com 1 subscrito igual a 3 sobre q ao cubo b com 3 subscrito igual a b com 1 subscrito. q à potência de parêntese esquerdo 3 menos 1 parêntese direito fim do exponencial seta dupla para a direita b com 3 subscrito igual a 3 sobre q ao cubo. q ao quadrado seta dupla para a direita b com 3 subscrito igual a 3 sobre q

Pela fórmula do termo geral da PA podemos encontrar a expressão de a3. Sendo a3 = a1+(n - 1) r , então temos que a3 = 3 + 2r. Considerando essa expressão e que a3 = b3, encontramos:

3 mais 2 r igual a 3 sobre q

O enunciado da questão indica que r = 3q. Substituindo esse valor na expressão anterior, temos:

3 mais 2.3 q igual a 3 sobre q seta dupla para a direita 3 q mais seta dupla para a direita 6 q ao quadrado menos 3 igual a 0

Podemos simplificar a equação do 2º grau, dividindo por 2. Assim, vamos calcular as raízes da equação 2q2 + q - 1 = 0. Para isso, usaremos a fórmula de Bhaskara:

Iremos desconsiderar o valor de q = -1, pois quando a razão é negativa, a PG é alternante, o que não é o caso.

Agora que conhecemos o valor da razão da PG, podemos também calcular o valor da razão da PA fazendo:

r igual a 3 q seta dupla para a direita r igual a 3.1 meio seta dupla para a direita r igual a 3 sobre 2

Com os valores das razões, vamos calcular o valor de b2. Assim, temos:

b com 2 subscrito igual a 3 sobre abre parênteses começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo fecha parênteses ao quadrado seta dupla para a direita b com 2 subscrito igual a 3.4 seta dupla para a direita b com 2 subscrito igual a 12

Para encontrar o termo da PA, que é igual a b2, devemos fazer:

a com n subscrito igual a b com 2 subscrito seta dupla para a direita a com n subscrito igual a 12 a com n subscrito igual a a com 1 subscrito mais parêntese esquerdo n menos 1 parêntese direito. r 12 igual a 3 mais parêntese esquerdo n menos 1 parêntese direito.3 sobre 2 12 menos 3 igual a 3 sobre 2 parêntese esquerdo n menos 1 parêntese direito 9.2 sobre 3 igual a n menos 1 n igual a 6 mais 1 seta dupla para a direita n igual a 7

Assim, o termo a7 é igual ao termo b2.

Alternativa: b) a7

4) Fuvest - 2015

Dadas as sequências ܽa com n subscrito igual a n ao quadrado mais 4 n mais 4 vírgula espaço b com n subscrito igual a 2 à potência de n ao quadrado fim do exponencial vírgula espaço c com n subscrito igual a a com n mais 1 subscrito fim do subscrito menos a com n subscrito espaço e espaço d com n subscrito igual a b com n mais 1 subscrito fim do subscrito sobre b com n subscrito vírgula espaçodefinidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:

I. ܽan é uma progressão geométrica;
II. ܾbn é uma progressão geométrica;
III. ܿcn é uma progressão aritmética;
IV. ݀dn é uma progressão geométrica.

São verdadeiras apenas

a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.

Sendo os valores de n inteiros e positivos, podemos encontrar os primeiros termos de cada sequência e assim verificar quais afirmações são verdadeiras.

I. an = n2 + 4n + 4 é uma progressão geométrica.
a1 = 12 + 4.1 + 4 = 9
a2 = 22 + 4.2 + 4 = 16
a3 = 32 + 4.3 + 4 = 25
a4 = 42 + 4.4 +4 = 36

Como 16:9 = 1,7 e 25:16 = 1,5 são valores diferentes, então essa sequência não é uma PG. Logo, este item é falso.

II. b com n subscrito igual a 2 à potência de n ao quadrado fim do exponencial é uma progressão geométrica.

b com 1 subscrito igual a 2 à potência de 1 ao quadrado fim do exponencial igual a 2 b com 2 subscrito igual a 2 à potência de 2 ao quadrado fim do exponencial igual a 2 à potência de 4 igual a 16 b com 3 subscrito igual a 2 à potência de 3 ao quadrado fim do exponencial igual a 2 à potência de 9 igual a 32 b com 4 subscrito igual a 2 à potência de 4 ao quadrado fim do exponencial igual a 2 à potência de 16 igual a 65 espaço 536

Sendo 16:2 = 8 e 32:16 = 2 valores diferentes, temos que essa sequência também não é uma PG. Desta forma, este item é falso.

III. cn = an+1 - an é uma progressão aritmética

Note que para encontrar os valores desta sequência, basta diminuir os termos consecutivos da primeira sequência. Assim, temos:

c1 = 16 - 9 = 7
c2 = 25 -16 = 9
c3 = 36 -25 = 11

Como 9 - 7 = 2 e 11 -9 = 2, temos uma PA de razão igual a 2. Portanto, a afirmação é verdadeira.

IV. d com n subscrito igual a numerador b com n subscrito mais 1 sobre denominador b com n subscrito fim da fração é uma progressão geométrica

Para encontrar o valor dessa sequência, basta dividir valores consecutivos da segunda sequência. Desta forma:

d com 1 subscrito igual a 16 sobre 2 igual a 8 d com 2 subscrito igual a 516 sobre 16 igual a 32 d com 3 subscrito igual a numerador 65 espaço 536 sobre denominador 512 fim da fração igual a 126

Dividindo 32 por 8 e 126 por 32 encontramos o mesmo valor. Sendo assim, essa sequência é uma PG de razão igual a 8. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Alternativa: e) III e IV

5) Fuvest - 2008

Sabe-se sobre a progressão geométrica a1 , a2 , a3 , ... que a1 > 0 e a com 6 subscrito igual a menos 9 raiz quadrada de 3 . Além disso, a progressão geométrica a1 , a5 , a9 ,... tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a2 a7 vale

a parêntese direito espaço menos 27 raiz quadrada de 3 b parêntese direito espaço menos 3 raiz quadrada de 3 c parêntese direito espaço menos raiz quadrada de 3 d parêntese direito espaço 3 raiz quadrada de 3 e parêntese direito espaço 27 raiz quadrada de 3

Para resolver a questão é importante notar que temos a indicação de duas progressões geométricas. Chamaremos a razão da primeira PG de q1 e o da segunda de q2.

Sendo que q2 = 9 e como a1 é positivo e a6 é negativo, a razão q1 deverá ser negativa. Considerando essas duas progressões, temos as seguintes relações:

a6 = a5 . q1
a5 = a1 . q2

Substituindo os valores e igualando os valores de a5 , temos:

a com 5 subscrito. q com 1 subscrito igual a menos 9 raiz quadrada de 3 seta dupla para a direita a com 5 subscrito igual a numerador menos 9 raiz quadrada de 3 sobre denominador q com 1 subscrito fim da fração a com 5 subscrito igual a 9. a com 1 subscrito 9 a com 1 subscrito igual a numerador menos 9 raiz quadrada de 3 sobre denominador q com 1 subscrito fim da fração a com 1 subscrito igual a numerador riscado diagonal para cima sobre menos 9 fim do riscado raiz quadrada de 3 sobre denominador diagonal para cima risco 9 q com 1 subscrito fim da fração a com 1 subscrito igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador q com 1 subscrito fim da fração

Podemos encontrar o valor de a2 fazendo:

a com 2 subscrito igual a a com 1 subscrito. q com 1 subscrito a com 2 subscrito igual a numerador menos raiz quadrada de 3 sobre denominador riscado diagonal para cima sobre q com 1 subscrito fim do riscado fim da fração. riscado diagonal para cima sobre q com 1 subscrito fim do riscado a com 2 subscrito igual a menos raiz quadrada de 3

Agora que conhecemos o valor de a2 podemos escrever a6 utilizando esse valor para encontrar a razão q1:

a com 6 subscrito igual a a com 2 subscrito. q com 1 subscrito à potência de 4 menos 9 raiz quadrada de 3 igual a menos raiz quadrada de 3. q com 1 subscrito à potência de 4 q com 1 subscrito à potência de 4 igual a numerador menos 9 riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado sobre denominador menos riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado fim da fração q com 1 subscrito igual a mais ou menos quarta raiz de 9

Sendo q1 negativo, seu valor será igual a:

q com 1 subscrito igual a menos raiz quadrada de 3

Finalmente, vamos achar o valor de a7 fazendo:

a com 7 subscrito igual a a com 6 subscrito. q com 1 subscrito a com 7 subscrito igual a menos 9 raiz quadrada de 3. parêntese esquerdo menos raiz quadrada de 3 parêntese direito a com 7 subscrito igual a 27

Então o valor de a2 multiplicado por a7 será igual a:

a com 2 subscrito. a com 7 subscrito igual a 27. parêntese esquerdo menos raiz quadrada de 3 parêntese direito igual a menos 27 raiz quadrada de 3

Alternativa: a) -27raiz quadrada de 3

6) Unicamp - 2016

Seja (a, b, c) uma progressão geométrica de números reais com a não igual 0. Definindo s = a + b + c, o menor valor possível para s/a é igual a

a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/5

Aplicando a definição de progressão geométrica temos que b = a.q e c = a.q2, sendo q igual a razão da PG. Sendo assim, a divisão s/a será igual a:

s sobre a igual a numerador a mais a q mais a q ao quadrado sobre denominador a fim da fração

Colocando o a em evidência e simplificando a expressão, temos:

s sobre a igual a numerador diagonal para cima risco a parêntese esquerdo q ao quadrado mais q mais 1 parêntese direito sobre denominador diagonal para cima risco a fim da fração

Note que s/a é igual a uma equação do 2º grau, sendo o seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do q2 é positivo (+1).

Desta forma, o valor mínimo da divisão acontecerá no vértice da parábola. Portanto, para encontrar esse valor iremos utilizar a fórmula do y do vértice, ou seja:

y com v subscrito igual a numerador menos incremento sobre denominador 4 a fim da fração y com v subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo 1 ao quadrado menos 4.1.1 parêntese direito sobre denominador 4.1 fim da fração igual a 3 sobre 4

Alternativa: c) 3 sobre 4

7) Unesp - 2012

O artigo "Uma estrada, muitas florestas" relata parte do trabalho de reflorestamento necessário após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore cresceu – está com quase 2,5 metros –, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento mais lento, mas de vida mais longa.

(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.)

Espécie da árvore fumo-bravo - (w3.ufsm.br/herbarioflorestal)
Espécie da árvore fumo-bravo - (w3.ufsm.br/herbarioflorestal)

Considerando que a referida árvore foi plantada em 1.º de novembro de 2009 com uma altura de 1 dm e que em 31 de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 m e admitindo ainda que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de

a) 0,5.
b) 5 × 10 -1/2 .
c) 5.
d) 5 × 10 1/2.
e) 50.

Primeiro, devemos transformar para a mesma unidade de medida. Para isso, vamos passar 1 dm para metro. Então, quando foi planta a sua altura era igual a 0,1 m.

Como o valor das alturas formam uma progressão geométrica, podemos escrever que a1 = 0,1, a2 = 0,1 . q e a3 = 0,1 . q2.

Entretanto, sabemos que no final do período a altura da árvore era de 2,5 m, substituindo esse valor encontramos:

0 vírgula 1. q ao quadrado igual a 2 vírgula 5 q ao quadrado igual a numerador 2 vírgula 5 sobre denominador 0 vírgula 1 fim da fração q ao quadrado igual a 25 q igual a raiz quadrada de 25 q igual a mais ou menos 5

Sendo a progressão crescente, então q = 5.

Alternativa: c) 5

8) UERJ - 2014

Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:

a) 15
b) 16
c) 17
d) 18

Primeiro, vamos calcular o volume do paralelepípedo. Para isso, basta multiplicar as dimensões dadas, ou seja:

VP = 40 . 25 . 20 = 20 000 cm3

Com o número de esferas depositada em cada etapa dobra, temos a PG (1, 2, 4, 8,..., an), sendo a razão desta PG igual a dois e n o número de etapas.

A soma dessa PG será igual ao número total de esferas depositadas. Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula da soma de uma PG finita. Considerando q=2, temos:

S igual a numerador a com 1 subscrito parêntese esquerdo q à potência de n menos 1 parêntese direito sobre denominador q menos 1 fim da fração S igual a numerador 1 parêntese esquerdo 2 à potência de n menos 1 parêntese direito sobre denominador 2 menos 1 fim da fração S igual a 2 à potência de n menos 1

Para encontrar o volume total das esferas, basta multiplicar o valor encontrado por 0,5 cm3, que é o volume de uma esfera.

V com E subscrito igual a 0 vírgula 5 espaço parêntese esquerdo 2 à potência de n menos 1 parêntese direito

Como queremos descobrir quantas etapas são necessárias para que este volume seja maior que o volume do paralelepípedo, escreveremos a seguinte inequação:

0,5 . (2n - 1) > 20 000
2n - 1 > 40 000
2n > 40 001

Se 2n > 40 001, então também será maior que 40 000. Portanto, podemos escrever e resolver a inequação:

2n > 40 000
2n> 40 . 1000
2n>40 . 210

Como não conseguimos escrever 40 na base 2, vamos substituir pelo 32, que é a potência de base 2 mais próxima.

2n > 32 . 210
2n > 25.210
2n > 2 5 + 10

Como as bases são iguais, a inequação pode ser escrita como:

n > 15

Temos então que o menor número de etapas deverá ser igual a 16, que é o primeiro número inteiro maior que 15.

Alternativa: b) 16

9) UERJ - 2012

Uma das consequências do acidente nuclear ocorrido no Japão em março de 2011 foi o vazamento de isótopos radioativos que podem aumentar a incidência de certos tumores glandulares. Para minimizar essa probabilidade, foram prescritas pastilhas de iodeto de potássio à população mais atingida pela radiação.

A meia-vida é o parâmetro que indica o tempo necessário para que a massa de uma certa quantidade de radioisótopos se reduza à metade de seu valor.
Considere uma amostra de 53I133, produzido no acidente nuclear, com massa igual a 2 g e meia-vida de 20 h.
Após 100 horas, a massa dessa amostra, em miligramas, será cerca de:

a) 62,5
b) 125
c) 250
d) 500

De acordo com as informações da questão, a cada 20 h a massa do radioisótopo se reduz a metade. Desta forma, a redução da massa irá ocorrer seguindo uma PG de razão igual a 1 meio e a1= 2 g (massa inicial quando t=0).

A massa do radioisótopo, após 100 h, será igual ao sexto termo (a6) dessa PG, pois temos 5 intervalos de 20 h até chegar a 100 h.

Aplicando a fórmula do termo geral, temos:

a com 6 subscrito igual a a com 1 subscrito. abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de 6 menos 1 fim do exponencial a com 6 subscrito igual a 2.1 sobre 2 à potência de 5 a com 6 subscrito igual a 1 sobre 2 à potência de 4 igual a 1 sobre 16 igual a 0 vírgula 0625 espaço g igual a 62 vírgula 5 espaço m g

Alternativa: a) 62,5

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.