Progressão Aritmética


A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números reais determinada por uma constante r, denominada de razão da PA ou diferença comum.

De tal modo, a razão da progressão aritmética é encontrada pela soma entre um número e outro (exceto o primeiro) que compõem a sequência numérica.

Em resumo, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (PG), pois nesta os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

Exemplos de PA

Para entender melhor o conceito, vejamos os exemplos abaixo de PA finita e infinita:

  • (5,5,5,5,5...an) PA finita de razão 0
  • (4,7,10,13,16...an...) PA infinita de razão 3
  • (70,60,50,40,30...an) PA finita de razão -10

Observe que para calcular a razão da PA basta calcular a diferença entre um dos termos (a partir do segundo) e o termo que o antecede:

Progressão Aritmética

Sendo assim,

Progressão Aritmética

Classificação das Progressões Aritméticas

Segundo o valor da razão das progressões aritméticas, elas são classificadas em:

PA Constante

Na Progressão Aritmética (PA) constante, a razão (r) será sempre zero (r = 0), por exemplo: (4,4,4,4,4...).

PA Crescente

Na Progressão Aritmética (PA) crescente a razão (r) é maior que zero (r > 0), por exemplo: (2,4,6,8,10...) com razão 2.

PA Decrescente

Na Progressão Aritmética (PA) decrescente a razão (r) será menor que zero (r

Fique Atento!!!

Observe que se escolher três termos da PA, o termo central será um valor resultante da média aritmética entre os dois termos, por exemplo: (1,5,9) PA de razão 4, donde:

5= 1+9 / 2

Fórmula do Termo Geral

A fórmula do termo geral da PA nos permite conhecer qualquer termo da progressão aritmética, dado pela seguinte expressão:

Progressão Aritmética

Onde,

an= último termo da PA

a1: primeiro termo daPA

n: posição do termo

r: razão

Soma dos Termos da PA

Para encontrar a soma dos termos de uma PA finita, basta utilizar a fórmula:

Progressão Aritmética

Donde

Sn: soma dos n primeiros termos da PA

a1: primeiro termo da PA

an= ocupa a enésima posição na sequência

n: posição do termo

Exercício Resolvido

Calcule o 10° termo da PA: (26, 31, 36, 41)

Antes de mais nada, devemos atentar aos valores de a1 e a razão (r) da PA. Assim, temos:

a1: 26

r: 31-26=5

Feito isso, colocamos os valores na fórmula do termo geral:

Progressão Aritmética

a10 = 26 + (10-1) . 5

a10 = 26 + 9 .5

a10 = 71

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