Progressão Aritmética (P.A.)

Rosimar Gouveia

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

  • a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
  • a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

  • Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
  • Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
  • Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades da P.A.

1ª propriedade:

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo

propriedades da pa

2ª propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo

propriedades progressões aritiméticas

3ª propriedade:

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo.

propriedades progressão aritmética

Fórmula do Termo Geral

Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:

r igual a a com 2 subscrito menos a com 1 subscrito igual a a com 3 subscrito menos a com 2 subscrito igual a a com 4 subscrito menos a com 3 subscrito igual a... igual a a com n subscrito menos a com n menos 1 subscrito fim do subscrito

Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:

a com 2 subscrito menos a com 1 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 2 subscrito igual a a com 1 subscrito mais r

Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:

a com 3 subscrito menos a com 2 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 3 subscrito espaço igual a a com 2 subscrito mais r espaço

Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:

a com 3 subscrito igual a parêntese esquerdo a com 1 subscrito mais r parêntese direito mais r a com 3 subscrito igual a a com 1 subscrito mais 2 r

Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:

a com 4 subscrito menos a com 3 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 4 subscrito espaço igual a a com 3 subscrito mais r espaço seta dupla para a direita a com 4 subscrito igual a a com 1 subscrito mais 3 r

Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:

a com n subscrito igual a a com 1 subscrito mais parêntese esquerdo n menos 1 parêntese direito. r

Onde,

an : termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão

Exemplo

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Solução

Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

an = a1 + (n - 1) . r
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

Soma dos Termos de uma P.A.

Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:

S com n subscrito igual a numerador parêntese esquerdo a com 1 subscrito mais a com 2 subscrito parêntese direito. n sobre denominador 2 fim da fração

Onde,

Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência
n: posição do termo

Exercício Resolvido

1) PUC/RJ - 2018

Sabendo que os números da sequência (y, 7, z, 15) estão em progressão aritmética, quanto vale a soma y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2

Para encontrar o valor de z, podemos usar a propriedade que diz que quando temos três termos consecutivos o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois. Assim, temos:

z igual a numerador 7 mais 15 sobre denominador 2 fim da fração igual a 22 sobre 2 igual a 11

Sendo z igual a 11, então a razão será igual a:

r = 11 - 7 = 4

Desta forma, y será igual a:

y = 7 - 4 = 3

Portanto:

y+z = 3 + 11 = 14

Alternativa: b) 14

2) IFRS - 2017

Na figura abaixo, temos uma sequência de retângulos, todos de altura a. A base do primeiro retângulo é b e dos retângulos subsequentes é o valor da base do anterior mais uma unidade de medida. Sendo assim, a base do segundo retângulo é b+1 e do terceiro b+2 e assim sucessivamente.

Questão IFRS 2017 PA

Considere as afirmativas abaixo.

I - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão 1.
II - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão a.
III - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão geométrica de razão a.
IV - A área do enésimo retângulo (An) pode ser obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1).

Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s).

a) I.
b) II.
c) III.
d) II e IV.
e) III e IV.

Calculando a área dos retângulos, temos:

A = a . b
A1 = a . (b + 1) = a . b + a
A2 = a . (b + 2) = a . b. + 2a
A3 = a . (b + 3) = a . b + 3a

Pelas expressões encontradas, notamos que a sequência forma uma P.A. de razão igual a a. Continuando a sequência, encontraremos a área do enésimo retângulo, que é dada por:

An= a . b + (n - 1) .a
An = a . b + a . n - a

Colocando o a em evidência, temos:

An = a (b + n - 1)

Alternativa: d) II e IV.

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.