Sequência de Fibonacci: entenda o que é e como funciona (com exemplos)

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Sequência de Fibonacci é uma sequência de números proposta pelo matemático Leonardo Pisa, mais conhecido como Fibonacci. Ela é crescente, infinita, e formada apenas por números naturais. Não há negativos, frações ou irracionais.

A principal característica da sequência está em sua lógica de formação. A regra básica da sequência é: do terceiro termo em diante, cada novo é a soma dos dois anteriores.

Ela Inicia com o número 1, sendo o segundo termo também o número 1, o terceiro é o número 2, pois 1 + 1 = 2.

É fácil identificar que o quarto termo será o 3, uma vez que o segundo termo é o 1, e o terceiro o 2, o quarto só pode ser o 3, pois: 1 + 2 = 3.

Estes são os primeiros 11 termos da sequência:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Foi a partir de um problema criado pelo matemático que ele detectou a existência de uma regularidade matemática.

Trata-se do exemplo clássico dos coelhos, onde a Sequência de Fibonacci descreve o crescimento de uma população desses animais.

Fórmula da sequência de Fibonacci

A sequência é definida mediante a seguinte fórmula:

começar estilo tamanho matemático 18px reto F com reto n subscrito espaço igual a espaço reto F com reto n menos 1 subscrito fim do subscrito espaço mais espaço reto F com reto n menos 2 subscrito fim do subscrito fim do estilo

Onde:

começar estilo tamanho matemático 16px reto F com reto n subscrito fim do estilo é um termo qualquer, ou, enésimo termo. Na matemática, o “n” é por vezes usado como um índice para se referir a um elemento qualquer de uma sequência.

começar estilo tamanho matemático 16px reto F com reto n menos 1 subscrito fim do subscrito fim do estilo é o termo anterior ao que Fn, é o antecedente.

começar estilo tamanho matemático 16px reto F com reto n menos 2 subscrito fim do subscrito fim do estilo é o temo anterior à Fn-1. Ou seja, duas posições atrás de Fn.

A fórmula da sequência de Fibonacci é a forma algébrica de dizer que um termo qualquer na sequência é a soma dos seus dois anteriores.

Exemplo
Calcule o 12º termo da sequência Fibonacci sabendo que os anteriores são 89 e 55.

Resolução

Sendo n = 12, décimo segundo termo é reto F com 12 subscrito.

reto F com reto n menos 1 subscrito fim do subscrito igual a reto F com 12 menos 1 subscrito fim do subscrito igual a reto F com 11 subscrito

e

reto F com reto n menos 2 subscrito fim do subscrito igual a reto F com 12 menos 2 subscrito fim do subscrito igual a reto F com 10 subscrito

Pela fórmula:

começar estilo tamanho matemático 16px reto F com reto n subscrito espaço igual a espaço reto F com reto n menos 1 subscrito fim do subscrito espaço mais espaço reto F com reto n menos 2 subscrito fim do subscrito reto F com 12 subscrito espaço igual a espaço reto F com 11 subscrito espaço mais espaço reto F com 10 subscrito reto F com 12 subscrito espaço igual a espaço 89 espaço mais espaço 55 reto F com 12 subscrito espaço igual a 144  fim do estilo

Logo, o décimo segundo termo da sequência é o 144.

Sequência de Fibonacci até o número 30

Utilizando esta lógica ou com o auxílio da fórmula, obtemos os próximo termos da sequência. Aqui está uma lista com os 30 primeiros termos da Sequência Fibonacci, 10 por linha:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4 181, 6 765,

10 946, 17 711, 28 657, 46 368, 75 025, 121 393, 196 418, 317 811, 514 229, 832 040

Repare que a sequência cresce em valores rapidamente. Para se ter ideia, o centésimo termo da sequência é o número 354 224 848 179 261 915 075 ou, aproximadamente 3 vírgula 5 espaço sinal de multiplicação espaço 10 à potência de 20.

O que é o Retângulo de Ouro

A partir dessa sequência, pode ser construído um retângulo, chamado de Retângulo de Ouro, uma representação visual da sequência.

No desenvolvimento do retângulo de ouro, dois quadrados com lados de unidade 1 são postos lado a lado. Eles representam os dois primeiros termos da sucessão.

Como o terceiro termo é 1 + 1 = 2, um terceiro quadrado com lado medindo 2 unidades é desenhado. Continuando, temos a representação do retângulo de ouro.

Retângulo de ouro

Ao desenhar um arco dentro desse retângulo, obtemos, por sua vez, a Espiral de Fibonacci.

Espiral de Fibonacci

Espiral de Fibonacci

Conheça mais sobre a Proporção Áurea.

A sequência de Fibonacci na natureza

A verdade é que a sequência de Fibonacci pode ser percebida na natureza. São exemplos disso as folhas das árvores, as pétalas das rosas, os frutos como o abacaxi, as conchas espiraladas dos caracóis ou as galáxias.

Sequência/espiral de Fibonacci

Ao desenvolver o retângulo de ouro e a espiral de Fibonacci, é possível fazer uma comparação de sua forma com diversas outras na natureza.

Sequência/espiral de Fibonacci

Aplicações da sequência

A sequência de Fibonacci tem uma ampla gama de aplicações em diversos campos, desde matemática pura até ciências aplicadas e até mesmo em aspectos estéticos e de design.

Muito interessante é que através do coeficiente de um número com o seu antecessor, obtém-se a constante com o valor aproximado de 1,618.

Ela é aplicada em análises financeiras e na informática, sido utilizada por Da Vinci, que chamou a sequência de Divina Proporção, para fazer desenhos perfeitos.

Na Biologia a sequência descreve padrões de crescimento em plantas e animais. A arte, o design e a arquitetura se inspiram para criar desde obras de arte a construções. No campo da matemática e computação, ela contribui com aplicações na teoria dos números, estudos de sequências, algoritmos e ciência da computação.

Quem foi Leonardo Fibonacci

Leonardo Pisa (1175-1240), também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi um matemático italiano do século XIII. Deu essa sequência a conhecer no seu livro Liber Abaci (Livro do Ábaco, em português), o qual data de 1202. Apesar disso, os indianos já haviam descrito essa sequência.

Fibonacci viajou extensivamente pelo Mediterrâneo e estudou sistemas numéricos de várias culturas, introduzindo os algarismos arábicos na Europa e contribuindo significativamente para o desenvolvimento da aritmética comercial.

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Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.