PA e PG: resumo, fórmulas e exercícios

A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos.

A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos.

Enquanto na progressão aritmética os termos são obtidos somando a diferença comum ao antecessor, os termos de uma progressão geométrica são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número da sequência, obtendo assim o termo sucessor.

Confira a seguir um resumo sobre os dois tipos de progressões.

Progressão aritmética (PA)

Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por um valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por:

negrito r negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito a com negrito 2 negrito espaço subscrito fim do subscrito negrito – negrito espaço negrito a com negrito 1 subscrito

Onde,

r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:

negrito PA negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito a com negrito 1 subscrito negrito vírgula negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito a com negrito 1 subscrito negrito mais negrito r negrito parêntese direito negrito vírgula negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito a com negrito 1 subscrito negrito mais negrito 2 negrito r negrito parêntese direito negrito vírgula negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito a com negrito 1 subscrito negrito mais negrito 3 negrito r negrito parêntese direito negrito vírgula negrito espaço negrito. negrito. negrito. negrito vírgula negrito espaço negrito parêntese recto esquerdo negrito a com negrito 1 subscrito negrito mais negrito parêntese esquerdo negrito n negrito menos negrito 1 negrito parêntese direito negrito r negrito parêntese recto direito

Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:

an = a1 + (n – 1) r

Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5 termos tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Tipos de PA

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:

1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.

Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0

2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;

Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2

3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o anterior.

Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2

As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.

Soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:

negrito S com negrito n subscrito negrito igual a numerador negrito parêntese esquerdo negrito a com negrito 1 subscrito negrito mais negrito a com negrito n subscrito negrito parêntese direito negrito. negrito n sobre denominador negrito 2 fim da fração

Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil para resolver questões em que é dado o primeiro e o último termo.

Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:

negrito S com negrito n subscrito negrito igual a numerador negrito n negrito. negrito parêntese recto esquerdo negrito 2 negrito a com negrito 1 subscrito negrito mais negrito parêntese esquerdo negrito n negrito menos negrito 1 negrito parêntese direito negrito r negrito parêntese recto direito sobre denominador negrito 2 fim da fração

Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.

Termo médio da PA

Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a média aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):

negrito a com negrito m subscrito negrito espaço negrito igual a numerador negrito a com negrito 1 subscrito negrito espaço negrito mais negrito espaço negrito a com negrito n subscrito sobre denominador negrito 2 fim da fração

Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde a média aritmética do antecessor e do sucessor.

Exemplo resolvido

Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PA

reto r espaço igual a espaço reto a com 2 subscrito espaço – espaço reto a com 1 espaço subscrito fim do subscrito reto r espaço igual a espaço 4 espaço – espaço 2 espaço reto r espaço igual a espaço 2

2. Termo médio

reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço numerador reto a com 1 subscrito espaço mais espaço reto a com 7 subscrito sobre denominador 2 fim da fração reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais espaço 14 sobre denominador 2 fim da fração reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço 8

3. Soma dos termos

reto S com reto n subscrito igual a numerador parêntese esquerdo reto a com 1 subscrito mais reto a com reto n subscrito parêntese direito. reto n sobre denominador 2 fim da fração reto S com 7 subscrito igual a numerador parêntese esquerdo 2 mais 14 parêntese direito.7 sobre denominador 2 fim da fração igual a espaço 112 sobre 2 igual a espaço 56

Saiba mais sobre a progressão aritmética.

Progressão geométrica (PG)

Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da divisão de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:

negrito q negrito espaço negrito igual a negrito espaço numerador negrito a com negrito 2 subscrito sobre denominador negrito a com negrito 1 subscrito negrito espaço fim da fração

Onde,

q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:

negrito a com negrito 1 subscrito negrito vírgula negrito espaço negrito a com negrito 1 subscrito negrito q negrito vírgula negrito espaço negrito a com negrito 1 subscrito negrito q à potência de negrito 2 negrito vírgula negrito espaço negrito a com negrito 1 subscrito negrito q à potência de negrito 3 negrito vírgula negrito espaço negrito a com negrito 1 subscrito negrito q à potência de negrito 4 negrito vírgula negrito espaço negrito. negrito. negrito. negrito vírgula negrito espaço negrito a com negrito 1 subscrito negrito. negrito q à potência de negrito parêntese esquerdo negrito n negrito menos negrito 1 negrito parêntese direito fim do exponencial

Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por a1.q(n-1).

Tipos de PG

De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:

1. Crescente: a razão é sempre positiva (q > 0) e os termos são crescentes;

Exemplo: PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.

2. Decrescente: a razão é sempre positiva (q > 0), diferente de zero (0), e os termos são decrescentes;

Exemplo: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3

3. Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os termos são números negativos e positivos;

Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2

4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.

Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:

negrito S com negrito n subscrito negrito igual a numerador negrito a com negrito 1 subscrito negrito parêntese esquerdo negrito q à potência de negrito n negrito menos negrito 1 negrito parêntese direito sobre denominador negrito q negrito menos negrito 1 fim da fração

Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.

Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos termos.

negrito S com negrito n subscrito negrito igual a numerador negrito a com negrito 1 subscrito negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito espaço negrito menos negrito espaço negrito q à potência de negrito n negrito parêntese direito sobre denominador negrito 1 negrito espaço negrito menos negrito espaço negrito q fim da fração

Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita a fórmula utilizada é:

negrito S com negrito infinito subscrito negrito igual a numerador negrito a com negrito 1 subscrito sobre denominador negrito 1 negrito espaço negrito menos negrito espaço negrito q fim da fração

Termo médio da PG

Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):

negrito a com negrito m subscrito negrito espaço negrito igual a negrito espaço raiz quadrada de negrito a com negrito 1 negrito espaço subscrito fim do subscrito negrito. negrito espaço negrito espaço negrito a com negrito n subscrito fim da raiz

Exemplo resolvido

Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PG

reto q espaço igual a espaço reto a com 2 subscrito sobre reto a com 1 subscrito espaço reto q espaço igual a 3 sobre 1 espaço igual a espaço 3

2. Termo médio

reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de reto a com 1 espaço subscrito fim do subscrito. espaço espaço reto a com reto n subscrito fim da raiz reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 1. espaço espaço 81 fim da raiz reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 81 reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço 9

3. Soma dos termos

reto S com reto n subscrito igual a numerador reto a com 1 subscrito parêntese esquerdo reto q à potência de reto n menos 1 parêntese direito sobre denominador reto q menos 1 fim da fração reto S com 5 subscrito igual a numerador 1 parêntese esquerdo 3 à potência de 5 menos 1 parêntese direito sobre denominador 3 menos 1 fim da fração reto S com 5 subscrito igual a numerador 243 espaço menos espaço 1 sobre denominador 2 fim da fração reto S com 5 subscrito igual a 242 sobre 2 reto S com 5 subscrito igual a 121

Saiba mais sobre a progressão geométrica.

Resumo das fórmulas de PA e PG

Progressão aritmética Progressão geométrica
Razão reto r igual a espaço reto a com 2 subscrito menos reto a com 1 subscrito

reto q espaço igual a espaço reto a com 2 subscrito sobre reto a com 1 subscrito

Termo geral

reto a com reto n subscrito igual a reto a com 1 subscrito mais parêntese esquerdo reto n menos 1 parêntese direito. reto r

reto a com reto n subscrito espaço igual a espaço reto a com 1 subscrito espaço. espaço reto q à potência de parêntese esquerdo reto n menos 1 parêntese direito fim do exponencial

Termo médio

reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço numerador reto a com 1 subscrito espaço mais espaço reto a com reto n subscrito sobre denominador 2 fim da fração

reto a com reto m subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de reto a com 1 subscrito espaço. espaço reto a com reto n subscrito fim da raiz

Soma finita

reto S com reto n subscrito igual a numerador parêntese esquerdo reto a com 1 subscrito mais reto a com reto n subscrito parêntese direito. reto n sobre denominador 2 fim da fração

reto S com reto n subscrito igual a numerador reto a com 1 subscrito parêntese esquerdo reto q à potência de reto n menos 1 parêntese direito sobre denominador reto q menos 1 fim da fração

Soma infinita mais ou menos espaço infinito

reto S com infinito subscrito igual a numerador reto a com 1 subscrito sobre denominador 1 espaço menos espaço reto q fim da fração

Saiba mais sobre as sequências numéricas.

Exercícios sobre PA e PG

Questão 1

Qual o 16º termo da sequência que inicia com o número 3 e tem razão da PA igual a 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Alternativa correta: d) 63.

Como a razão de uma PA é constante, podemos encontrar o segundo termo da sequência ao somar a razão com o primeiro número.

a2 = a1 + r

a2 = 3 + 4

a2 = 7

Portanto, podemos dizer que essa sequência é formada por (3, 7, 11, 15, 19, 23, …)

O 16º termo pode ser calculado com a fórmula do termo geral.

an = a1 + (n - 1) . r

a16 = 3 + (16 – 1) . 4

a16 = 3 + 15.4

a16 = 3 + 60

a16 = 63

Sendo assim, a resposta da questão é 63.

Questão 2

Qual a razão de uma PA de seis termos, cuja soma dos três primeiros números da sequência é igual a 12 e dos dois últimos é igual a – 34?

a) 7
b) – 6
c) – 5
d) 5

Alternativa correta: b) – 6.

A fórmula geral dos termos de uma progressão aritmética é a1, (a1 + r), (a1 + 2r), ..., {a1 + (n-1) r}. Portanto, a soma dos três primeiros termos pode ser escritos da seguinte forma:

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) = 12
3a1 + 3r = 12
3a1 = 12 – 3r
a1 = (12 – 3r)/3
a1 = 4 – r

E a soma dos dois últimos termos é:

(a1 + 4r) + (a1 + 5r) = – 34
2a1 + 9r = – 34

Agora, substituímos a1 por 4 – r.

2(4 – r) + 9r = – 34
8 – 2r + 9r = – 34
7r = – 34 – 8
7r = – 42
r = – 42/7
r = – 6

Portanto, a razão da PG é - 6.

Questão 3

Se o terceiro termo de uma PG é 28 e o quarto termo é 56 quais são os 5 primeiros termos dessa progressão geométrica?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Alternativa correta: d) 7, 14, 28, 56, 112

Primeiramente, devemos calcular a razão dessa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula:

a4 = a3 . q
56 = 28 . q
56 / 28 = q
q = 2

Agora, calculamos os 5 primeiros termos. Começaremos por a1 utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . q(n-1)
a3 = a1 . q(3-1)
28 = a1 . 22
a1 = 28/ 4 = 7

Os demais termos podem ser calculados multiplicando o termo antecedente pela razão.

a2 = a1.q
a2 = 7 . 2
a2 = 14

a5 = a4 . q
a5 = 56 . 2
a5 = 112

Portanto, os 5 primeiros termos da PG são:

1º termo: 7
2º termo: 14
3º termo: 28
4º termo: 56
5º termo: 112

Veja também outros exercícios para continuar praticando: