Progressão Geométrica


Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)

No exemplo acima, podemos constatar que a razão ou quociente (q) da PG entre os números, ou seja, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2 :

2 . 2 = 4
4 . 2 = 8
8 . 2 = 16
16 . 2 = 32
32 . 2 = 64
64 . 2 = 128
128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

Saiba mais sobre as Sequências Numéricas e Progressão Aritmética - Exercícios.

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

PG Decrescente

Na PG decrescente a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes, ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

an = a1 . q(n - 1)

Onde:

an: número que queremos obter

a1: o primeiro número da sequência

q(n - 1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão (q) 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)

A20 = 2 . 2(20 - 1)

A20 = 2 . 2(19)

A20 = 1048576

Soma dos Termos da PG

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:

Progressão Geométrica

onde:

Sn: Soma dos números da PG

a1: primeiro termo da sequência

q : razão

n: quantidade de elementos da PG

Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,...):

Progressão Geométrica

Progressão Geométrica

Progressão Geométrica

Curiosidade

  • Como na PG, a Progressão Aritmética (PA), corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é constante. A diferença é que enquanto na PG o número é multiplicado pela razão, na PA o número é somado.