Progressão Aritmética - Exercícios


A progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante.

Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo inclusive aparecer associado a outros conteúdos de Matemática.

Portanto, aproveite as resoluções dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de vestibulares.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor sofre uma redução de R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual valor o proprietário da máquina poderá vendê-la daqui a 10 anos?

Solução

O problema indica que a cada ano o valor da máquina sofre uma redução de R$ 2500,00. Logo, no primeiro ano de uso, seu valor cairá para R$ 147 500,00. No ano seguinte será R$ 145 000,00, e assim por diante.

Percebemos então, que essa sequência forma uma PA de razão igual a - 2 500. Usando a fórmula do termo geral da PA, podemos encontrar o valor pedido.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo os valores, temos:

a10 = 150 000 + (10 - 1) . (- 2 500)
a10 = 150 000 - 22 500
a10 = 127 500

Portanto, ao final de 10 anos o valor da máquina será de R$ 127 500,00.

Exercício 2

O triângulo retângulo representado na figura abaixo, apresenta um perímetro igual a 48 cm e área igual a 192 cm2. Quais são as medidas de x, y e z, se, nesta ordem, formam uma PA?

Exercício de PA

Solução

Conhecendo os valores do perímetro e da área da figura, podemos escrever o seguinte sistema de equações:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x itálico mais y itálico mais z itálico igual a itálico 48 fim da célula linha com célula com x itálico. y itálico igual a itálico 192 fim da célula fim da tabela fecha

Mas, como os lados formam uma PA, então:

x = y - r
z = y + r

Onde r é a razão da PA. Substituindo o x e o z no sistema, temos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com y itálico menos r itálico mais y itálico mais y itálico mais r itálico igual a itálico 48 fim da célula linha com célula com itálico parêntese esquerdo y itálico menos r itálico parêntese direito itálico. y itálico igual a itálico 192 fim da célula fim da tabela fecha R e s o l v e n d o itálico espaço o itálico espaço s i s t e m a itálico dois pontos abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com itálico 3 y itálico igual a itálico 48 fim da célula linha com célula com y à potência de itálico 2 itálico menos r y itálico espaço itálico igual a itálico 192 fim da célula fim da tabela fecha I s o l a n d o itálico espaço o itálico espaço y itálico espaço n a itálico espaço p r i m e i r a itálico espaço e q u a ç ã o itálico dois pontos y itálico igual a itálico 48 sobre itálico 3 itálico igual a itálico 16 S u b s t i t u i n d o itálico espaço o itálico espaço v a l o r itálico espaço e n c o n t r a d o itálico espaço d e itálico espaço y itálico espaço n a itálico espaço s e g u n d a itálico espaço e q u a ç ã o itálico dois pontos itálico 16 à potência de itálico 2 itálico menos itálico 16 r itálico igual a itálico 192 itálico 256 itálico menos itálico 16 r itálico igual a itálico 192 r itálico igual a itálico 64 sobre itálico 16 itálico igual a itálico 4

Agora que conhecemos o valor do y e da razão, basta substituir esses valores nas expressões de x e z:

x = 16 - 4 = 12
z = 16 +4 = 20

Os valores dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.

Exercício 3

Um ciclista percorre 15 km na primeira hora de uma corrida. Na segunda hora de corrida, seu rendimento cai e ele só consegue percorrer 13 km, e na hora seguinte 11 km. Continuando nesta sequência, quantos quilômetros ele conseguirá percorrer nas 6 horas de prova?

Questão de PA

Solução

Para calcular o total de quilômetros percorridos em 6 horas, precisamos somar os quilômetros percorridos em cada hora.

A partir dos valores informados, é possível notar que a sequência indicada é uma PA, pois a cada hora ocorre uma redução de 2 quilômetros (13-15 = - 2).

Portanto, podemos usar a fórmula da soma de uma PA para encontrar o valor pedido, ou seja:

S com itálico 6 subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 6 subscrito itálico parêntese direito sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico. itálico 6

Sabemos que o primeiro termo da PA é 15, que sua razão é igual a - 2 e que o número de termos é igual a 6. Assim, para calcular a soma de todos os termos, falta apenas encontrar o valor de a6 que encontramos fazendo:

a6 = a1+(n - 1).r = 15 + (6 - 1) . (- 2) = 15 + (-10) = 5

Agora que conhecemos o valor de a6, basta substituir todos os valores na fórmula da soma para encontrar o seu valor:

S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo itálico 15 itálico mais itálico 5 itálico parêntese direito itálico. itálico 6 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 20 itálico. itálico 6 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 60

Assim, ao final de 6 horas, o ciclista percorreu 60 km.

Questões de Vestibulares

1) Enem - 2016

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?

a) 40
b) 60
c) 100
d) 115
e) 120

Os andares trabalhados por João formam uma PA, cuja a razão é igual a 2. Já os andares que Pedro trabalhou formam uma PA de razão igual a 3.

Contudo, temos a informação que em exatamente 20 andares tanto João quanto Pedro trabalharam juntos. Desta maneira, vamos tentar encontrar alguma relação entre esses andares.

Para isso, vamos analisar as duas progressões dadas. No esquema abaixo, marcamos com círculos vermelhos os andares em que ambos trabalharam.

Questão Enem 2016 Pa

Note que esses andares formam uma nova PA (1, 7, 13, ...), cuja razão é igual a 6 e que possui 20 termos, conforme indicado no enunciado do problema.

Sabemos ainda, que o último andar do prédio faz parte dessa PA, pois o problema informa que eles trabalharam juntos também no último andar. Assim, podemos escrever:

an = a1 + (n - 1) . r
a20 = 1 + (20 - 1) . 6 = 1 + 19 . 6 = 1 + 114 =115

Alternativa: d) 115

2) Uerj - 2014

Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:

  • os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
  • o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
  • os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior.

Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Questão PA Uerj 2014

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

a) 30.000
b) 33.000
c) 36.000
d) 39.000

Observando a tabela, notamos que a sequência forma uma PA, cujo primeiro termo é igual a 500 e a razão é igual a 500.

Como o jogador recebeu 13 cartões e que só a partir do 3º cartão é que passa a pagar, então, a PA terá 11 termos (13 -2 = 11). Vamos então calcular o valor do último termo dessa PA:

an = a1 + (n - 1) . r
a11 = 500 + (11 - 1) . 500 = 500 + 10 . 500 = 500 + 5000 = 5500

Agora que já sabemos o valor do último termo, podemos encontrar a soma de todos os termos da PA:

S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo a com itálico 1 subscrito itálico mais a com n subscrito itálico parêntese direito itálico. n sobre denominador itálico 2 fim da fração S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo itálico 500 itálico mais itálico 5500 itálico parêntese direito itálico. itálico 11 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 6000 sobre itálico 2 itálico. itálico 11 itálico igual a itálico 3000 itálico. itálico 11 itálico igual a itálico 33000

Alternativa: b) 33.000

3) Enem - 2013

As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Questão de PA Enem 2013

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.

Com os dados da tabela, identificamos que a sequência forma uma PA, com o primeiro termo igual a 50,25 e a razão igual a 1,25. No período de 2012 a 2021 temos 10 anos, portanto, a PA terá 10 termos.

an = a1 + (n - 1) . r
a10= 50,25 + (10 - 1) . 1,25
a10= 50,25 + 11,25
a10=61,50

Para encontrar a quantidade total de arroz, vamos calcular a soma dessa PA:

S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo itálico 50 itálico vírgula itálico 25 itálico mais itálico 61 itálico vírgula itálico 50 itálico parêntese direito sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico. itálico 10 S com n subscrito itálico igual a itálico 558 itálico vírgula itálico 75

Alternativa: d) 558,75.

4) Unicamp - 2015

Se (a1, a2,..., a13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

As únicas informações que temos é que a PA apresenta 13 termos e que a soma dos termos é igual a 78, ou seja:

S com itálico 13 subscrito itálico igual a itálico parêntese esquerdo numerador a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 13 subscrito sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico parêntese direito itálico. itálico 13 itálico igual a itálico 78

Como não conhecemos o valor de a1, de a13, nem o valor da razão, não conseguimos, a princípio, encontrar esses valores.

Entretanto, observamos que o valor que queremos calcular (a7) é o termo central da PA.

Com isso, podemos usar a propriedade que diz que o termo central é igual a média aritmética dos extremos, então:

a com itálico 7 subscrito itálico igual a numerador a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 13 subscrito sobre denominador itálico 2 fim da fração

Substituindo essa relação na fórmula da soma:

a com itálico 7 subscrito itálico. itálico 13 itálico igual a itálico 78 a com itálico 7 subscrito itálico igual a itálico 78 sobre itálico 13 itálico igual a itálico 6

Alternativa: a) 6

5) Fuvest - 2012

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x2 + 4, em que x é um número real.

a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a)

a) Sendo a2 o termo central da PA, então ele é igual a média aritmética de a1 e a3, ou seja:

a com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 3 subscrito sobre denominador itálico 2 fim da fração

itálico incremento itálico igual a itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito à potência de itálico 2 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 2 itálico. itálico 5 itálico incremento itálico igual a itálico 121 itálico menos itálico 40 itálico incremento itálico igual a itálico 81 x com itálico 1 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito itálico mais raiz quadrada de itálico 81 sobre denominador itálico 2 itálico. itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 11 itálico mais itálico 9 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico igual a itálico 20 sobre itálico 4 itálico igual a itálico 5 x com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito itálico menos raiz quadrada de itálico 81 sobre denominador itálico 2 itálico. itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 11 itálico menos itálico 9 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico igual a itálico 2 sobre itálico 4 itálico igual a itálico 1 sobre itálico 2

Portanto x = 5 ou x = 1/2

b) Para calcular a soma dos 100 primeiros termos da PA, usaremos x = 1/2, pois o problema determina que devemos usar o menor valor de x.

Considerando que a soma dos 100 primeiros termos é encontrada através da fórmula:

S com itálico 100 subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 100 subscrito itálico parêntese direito itálico. itálico espaço itálico 100 sobre denominador itálico 2 fim da fração

Percebemos que antes precisamos calcular os valores de a1 e a100. Calculando esses valores, temos:

a com itálico 1 subscrito itálico igual a itálico 1 itálico mais itálico 1 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 a com itálico 2 subscrito itálico igual a itálico 6 itálico. itálico 1 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 r itálico igual a itálico 3 itálico menos itálico 3 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 a com itálico 100 subscrito itálico igual a a com itálico 1 subscrito itálico mais itálico parêntese esquerdo n itálico menos itálico 1 itálico parêntese direito itálico. r a com itálico 100 subscrito itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 itálico mais itálico parêntese esquerdo itálico 100 itálico menos itálico 1 itálico parêntese direito itálico. itálico 3 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 itálico mais itálico 297 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 300 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 150 itálico espaço

Agora que já conhecemos todos os valores que necessitávamos, podemos encontrar o valor da soma:

Error converting from MathML to accessible text.

Assim, a soma dos 100 primeiros termos da PA será igual a 7575.

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.