Progressão Aritmética - Exercícios

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante.

Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo inclusive aparecer associado a outros conteúdos de Matemática.

Portanto, aproveite as resoluções dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de vestibulares.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor sofre uma redução de R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual valor o proprietário da máquina poderá vendê-la daqui a 10 anos?

Solução

O problema indica que a cada ano o valor da máquina sofre uma redução de R$ 2500,00. Logo, no primeiro ano de uso, seu valor cairá para R$ 147 500,00. No ano seguinte será R$ 145 000,00, e assim por diante.

Percebemos então, que essa sequência forma uma PA de razão igual a - 2 500. Usando a fórmula do termo geral da PA, podemos encontrar o valor pedido.

a_n = a₁ + (n - 1) . r

Substituindo os valores, temos:

a₁₀ = 150 000 + (10 - 1) . (- 2 500)
a₁₀ = 150 000 - 22 500
a₁₀ = 127 500

Portanto, ao final de 10 anos o valor da máquina será de R$ 127 500,00.

Exercício 2

O triângulo retângulo representado na figura abaixo, apresenta um perímetro igual a 48 cm e área igual a 96 cm². Quais são as medidas de x, y e z, se, nesta ordem, formam uma PA?

Exercício de PA

Solução

Conhecendo os valores do perímetro e da área da figura, podemos escrever o seguinte sistema de equações:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y mais reto z igual a 48 fim da célula linha com célula com numerador reto x. reto y sobre denominador 2 fim da fração igual a espaço 96 fim da célula fim da tabela fecha$

Mas, como os lados formam uma PA, então:

x = y - r
z = y + r

Onde r é a razão da PA. Substituindo o x e o z no sistema, temos:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto y menos reto r mais reto y mais reto y mais reto r igual a 48 fim da célula linha com célula com numerador parêntese esquerdo reto y menos reto r parêntese direito. reto y sobre denominador 2 fim da fração igual a espaço 96 fim da célula fim da tabela fecha Resolvendo espaço reto o espaço sistema dois pontos abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 reto y igual a 48 fim da célula linha com célula com reto y ao quadrado menos ry espaço igual a espaço 2 espaço reto x espaço 96 espaço igual a espaço 192 fim da célula fim da tabela fecha Isolando espaço reto o espaço reto y espaço na espaço primeira espaço equação dois pontos reto y igual a 48 sobre 3 igual a 16 Substituindo espaço reto o espaço valor espaço encontrado espaço de espaço reto y espaço na espaço segunda espaço equação dois pontos 16 ao quadrado menos 16 reto r igual a 192 256 menos 16 reto r igual a 192 reto r igual a 64 sobre 16 igual a 4$

Agora que conhecemos o valor do y e da razão, basta substituir esses valores nas expressões de x e z:

x = 16 – 4 = 12
z = 16 + 4 = 20

Os valores dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.

Exercício 3

Um ciclista percorre 15 km na primeira hora de uma corrida. Na segunda hora de corrida, seu rendimento cai e ele só consegue percorrer 13 km, e na hora seguinte 11 km. Continuando nesta sequência, quantos quilômetros ele conseguirá percorrer nas 6 horas de prova?

Solução

Para calcular o total de quilômetros percorridos em 6 horas, precisamos somar os quilômetros percorridos em cada hora.

A partir dos valores informados, é possível notar que a sequência indicada é uma PA, pois a cada hora ocorre uma redução de 2 quilômetros (13-15 = - 2).

Portanto, podemos usar a fórmula da soma de uma PA para encontrar o valor pedido, ou seja:

$S com itálico 6 subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 6 subscrito itálico parêntese direito sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico. itálico 6$

Sabemos que o primeiro termo da PA é 15, que sua razão é igual a - 2 e que o número de termos é igual a 6. Assim, para calcular a soma de todos os termos, falta apenas encontrar o valor de a₆que encontramos fazendo:

a₆ = a₁+(n - 1).r = 15 + (6 - 1) . (- 2) = 15 + (-10) = 5

Agora que conhecemos o valor de a₆, basta substituir todos os valores na fórmula da soma para encontrar o seu valor:

$S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo itálico 15 itálico mais itálico 5 itálico parêntese direito itálico. itálico 6 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 20 itálico. itálico 6 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 60$

Assim, ao final de 6 horas, o ciclista percorreu 60 km.

Questões de Vestibulares

Questão 1

Enem - 2016

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?

a) 40
b) 60
c) 100
d) 115
e) 120

Ver Resposta

Os andares trabalhados por João formam uma PA, cuja a razão é igual a 2. Já os andares que Pedro trabalhou formam uma PA de razão igual a 3.

Contudo, temos a informação que em exatamente 20 andares tanto João quanto Pedro trabalharam juntos. Desta maneira, vamos tentar encontrar alguma relação entre esses andares.

Para isso, vamos analisar as duas progressões dadas. No esquema abaixo, marcamos com círculos vermelhos os andares em que ambos trabalharam.

Note que esses andares formam uma nova PA (1, 7, 13, ...), cuja razão é igual a 6 e que possui 20 termos, conforme indicado no enunciado do problema.

Sabemos ainda, que o último andar do prédio faz parte dessa PA, pois o problema informa que eles trabalharam juntos também no último andar. Assim, podemos escrever:

a_n = a₁ + (n - 1) . r
a₂₀ = 1 + (20 - 1) . 6 = 1 + 19 . 6 = 1 + 114 =115

Alternativa: d) 115

Questão 2

Uerj - 2014

Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:

os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior.

Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

a) 30.000
b) 33.000
c) 36.000
d) 39.000

Ver Resposta

Observando a tabela, notamos que a sequência forma uma PA, cujo primeiro termo é igual a 500 e a razão é igual a 500.

Como o jogador recebeu 13 cartões e que só a partir do 3º cartão é que passa a pagar, então, a PA terá 11 termos (13 -2 = 11). Vamos então calcular o valor do último termo dessa PA:

a_n = a₁ + (n - 1) . r
a₁₁ = 500 + (11 - 1) . 500 = 500 + 10 . 500 = 500 + 5000 = 5500

Agora que já sabemos o valor do último termo, podemos encontrar a soma de todos os termos da PA:

$S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo a com itálico 1 subscrito itálico mais a com n subscrito itálico parêntese direito itálico. n sobre denominador itálico 2 fim da fração S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo itálico 500 itálico mais itálico 5500 itálico parêntese direito itálico. itálico 11 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 6000 sobre itálico 2 itálico. itálico 11 itálico igual a itálico 3000 itálico. itálico 11 itálico igual a itálico 33000$

Alternativa: b) 33.000

Questão 3

Enem - 2013

As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.

Ver Resposta

Com os dados da tabela, identificamos que a sequência forma uma PA, com o primeiro termo igual a 50,25 e a razão igual a 1,25. No período de 2012 a 2021 temos 10 anos, portanto, a PA terá 10 termos.

a_n = a₁ + (n - 1) . r
a₁₀= 50,25 + (10 - 1) . 1,25
a₁₀= 50,25 + 11,25
a₁₀=61,50

Para encontrar a quantidade total de arroz, vamos calcular a soma dessa PA:

$S com n subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo itálico 50 itálico vírgula itálico 25 itálico mais itálico 61 itálico vírgula itálico 50 itálico parêntese direito sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico. itálico 10 S com n subscrito itálico igual a itálico 558 itálico vírgula itálico 75$

Alternativa: d) 558,75.

Questão 4

Unicamp - 2015

Se (a₁, a₂,..., a₁₃) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é igual a 78, então a₇ é igual a

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

Ver Resposta

As únicas informações que temos é que a PA apresenta 13 termos e que a soma dos termos é igual a 78, ou seja:

$S com itálico 13 subscrito itálico igual a itálico parêntese esquerdo numerador a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 13 subscrito sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico parêntese direito itálico. itálico 13 itálico igual a itálico 78$

Como não conhecemos o valor de a₁, de a_13,nem o valor da razão, não conseguimos, a princípio, encontrar esses valores.

Entretanto, observamos que o valor que queremos calcular (a₇) é o termo central da PA.

Com isso, podemos usar a propriedade que diz que o termo central é igual a média aritmética dos extremos, então:

$a com itálico 7 subscrito itálico igual a numerador a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 13 subscrito sobre denominador itálico 2 fim da fração$

Substituindo essa relação na fórmula da soma:

$a com itálico 7 subscrito itálico. itálico 13 itálico igual a itálico 78 a com itálico 7 subscrito itálico igual a itálico 78 sobre itálico 13 itálico igual a itálico 6$

Alternativa: a) 6

Questão 5

Fuvest - 2012

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a₁ = 1 + x, a₂ = 6x, a₃ = 2x² + 4, em que x é um número real.

a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a)

Ver Resposta

a) Sendo a₂ o termo central da PA, então ele é igual a média aritmética de a₁ e a₃, ou seja:

$a com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 3 subscrito sobre denominador itálico 2 fim da fração$

$itálico incremento itálico igual a itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito à potência de itálico 2 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 2 itálico. itálico 5 itálico incremento itálico igual a itálico 121 itálico menos itálico 40 itálico incremento itálico igual a itálico 81 x com itálico 1 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito itálico mais raiz quadrada de itálico 81 sobre denominador itálico 2 itálico. itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 11 itálico mais itálico 9 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico igual a itálico 20 sobre itálico 4 itálico igual a itálico 5 x com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito itálico menos raiz quadrada de itálico 81 sobre denominador itálico 2 itálico. itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 11 itálico menos itálico 9 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico igual a itálico 2 sobre itálico 4 itálico igual a itálico 1 sobre itálico 2$

Portanto x = 5 ou x = 1/2

b) Para calcular a soma dos 100 primeiros termos da PA, usaremos x = 1/2, pois o problema determina que devemos usar o menor valor de x.

Considerando que a soma dos 100 primeiros termos é encontrada através da fórmula:

$S com itálico 100 subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 100 subscrito itálico parêntese direito itálico. itálico espaço itálico 100 sobre denominador itálico 2 fim da fração$

Percebemos que antes precisamos calcular os valores de a₁ e a₁₀₀. Calculando esses valores, temos:

$a com itálico 1 subscrito itálico igual a itálico 1 itálico mais itálico 1 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 a com itálico 2 subscrito itálico igual a itálico 6 itálico. itálico 1 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 r itálico igual a itálico 3 itálico menos itálico 3 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 a com itálico 100 subscrito itálico igual a a com itálico 1 subscrito itálico mais itálico parêntese esquerdo n itálico menos itálico 1 itálico parêntese direito itálico. r a com itálico 100 subscrito itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 itálico mais itálico parêntese esquerdo itálico 100 itálico menos itálico 1 itálico parêntese direito itálico. itálico 3 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 itálico mais itálico 297 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 300 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 150 itálico espaço$

Agora que já conhecemos todos os valores que necessitávamos, podemos encontrar o valor da soma:

$Error converting from MathML to accessible text.$

Assim, a soma dos 100 primeiros termos da PA será igual a 7575.

Questão 6

BB – Cesgranrio

Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo (Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo nos últimos anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 606,4 bilhões de dólares, em 2009. Considerando que este aumento anual venha acontecendo de forma linear, formando uma progressão aritmética, qual será, em bilhões de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 2010?

(A) 612,5

(B) 621,3

(D) 658,5

(E) 684,1

Ver Resposta

Como o aumento foi de 2006 para 2009, podemos considerar o valor em 2006, que era de 528,7 bilhões como sendo o a1 (primeiro termo da PA) e, a4 igual a 606,4 bilhões em 2009.

Usando a fórmula do termo geral para encontrar a razão.

a4 = a1 + (4-1)r

a4 - a1 = 3r

606,4 - 528,7 = 3r

77,7 = 3r

r = 77,7/3

r = 25,9

Sendo assim, o quinto termo dessa PA é a4 + r = 632,3 bilhões.

A resposta é a letra c.

Questão 7

AFA

Em um pentágono, os ângulos internos estão em Progressão Aritmética. Qual o terceiro termo, em graus, dessa progressão?

a) 54

b) 108

c) 162

d) 216

Ver Resposta

A soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a 540°. Nessa progressão há 5 termos, assim, o enésimo (último) termo é o a5.

Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA finita:

$S n espaço igual a espaço parêntese esquerdo a com 1 subscrito espaço mais espaço a com n subscrito parêntese direito espaço. espaço n sobre 2 espaço espaço numerador parêntese esquerdo 540 espaço. espaço 2 parêntese direito sobre denominador n fim da fração espaço espaço igual a espaço a com 1 subscrito mais espaço a com 5 subscrito espaço espaço 216 espaço igual a espaço a com 1 subscrito espaço mais espaço a com 5 subscrito$

Nesta PA, temos: a1, a2, a3, a4, a5

Como a3 é o termo do meio, ele é a média aritmética dos seus extremos.

$a com 3 subscrito espaço igual a espaço numerador a com 1 subscrito espaço mais espaço a com 5 subscrito sobre denominador 2 fim da fração$

a3 = 108°

alternativa b

Para saber mais, veja também:

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.