Exercícios de Inequação

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Estude com as 11 questões de inequações do 1º e 2° grau. Tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos e se prepare com questões de vestibulares.

Questão 1

Uma loja de utensílios domésticos oferece um conjunto de talheres por um preço que depende da quantidade comprada. Estas são as opções:

Opção A: R$ 94,80 mais R$ 2,90 a unidade avulsa.
Opção B: R$ 113,40 mais R$ 2,75 a unidade avulsa.

A partir de quantos talheres avulsos comprados a opção A é menos vantajosa que a opção B.

a) 112
b) 84
c) 124
d) 135
e) 142

Resposta correta: c) 124.

Ideia 1: escrever as funções do preço final em relação a quantidade de talheres comprados.

Opção A: PA(n) = 94,8 + 2,90n

Onde, PA é o preço final da opção A e n é o números de talheres avulsos.

Opção B: PB(n) = 113,40 + 2,75n

Onde, PB é o preço final da opção B e n é o números de talheres avulsos.

Ideia 2: escrever a inequação comparando as duas opções.

Como a condição é que A seja menos vantajosa, vamos escrever a inequação utilizando o sinal "maior que", que representará o número de talheres a partir do qual essa opção passa a ser mais cara.

p r e ç o espaço A espaço maior que espaço p r e ç o espaço B 94 vírgula 8 espaço mais espaço 2 vírgula 90 n espaço maior que espaço 113 vírgula 40 espaço mais espaço 2 vírgula 75 n

Isolando n do lado esquerdo da inequação e os valores numéricos do lado direito.

94 vírgula 8 espaço mais espaço 2 vírgula 90 n espaço maior que espaço 113 vírgula 40 espaço mais espaço 2 vírgula 75 n 2 vírgula 90 n espaço menos espaço 2 vírgula 75 n espaço maior que espaço 113 vírgula 40 espaço menos espaço 94 vírgula 80 0 vírgula 15 n espaço maior que espaço 18 vírgula 60 n espaço maior que numerador 18 vírgula 60 sobre denominador 0 vírgula 15 fim da fração n espaço maior que 124

Desse modo, a partir de 124 talheres, a opção A passa a ser menos vantajosa.

Questão 2

Carlos está negociando um terreno com uma imobiliária. O terreno A, fica em uma esquina e possuí a forma de um triângulo. A imobiliária também está negociando uma faixa de terra na forma de um retângulo determinado pela seguinte condição: o cliente pode escolher a largura, mas o comprimento deverá possuir cinco vezes esta medida.


A medida da largura do terreno B para que este tenha uma área maior que a do terreno A é

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Resposta correta: d) 4

Ideia 1: área do terreno triangular.

A área do triângulo é igual a medida da base multiplicada pela altura, dividido por dois.

A espaço igual a espaço numerador b. h sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador 10 espaço sinal de multiplicação espaço 16 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 160 sobre 2 espaço igual a espaço 80 espaço m ao quadrado

Ideia 2: área do terreno retangular em função da medida da largura.

B parêntese esquerdo L parêntese direito espaço igual a espaço L espaço sinal de multiplicação espaço 5 L espaço igual a espaço 5 L ao quadrado

Ideia 3: inequação comparando as medidas dos terrenos A e B.

Área do terreno B > Área do terreno A

5 L à potência de 2 espaço fim do exponencial maior que espaço 80 L ao quadrado espaço maior que espaço 80 sobre 5 L ao quadrado espaço maior que espaço 16 L espaço maior que espaço raiz quadrada de 16 L espaço maior que espaço 4

Conclusão
O terreno A, retangular, passa a ter uma área maior que a do terreno B, triangular, para larguras maiores que 4 metros.

Questão 3

Uma concessionária de automóveis decidiu mudar a política de pagamentos de seus vendedores. Estes recebiam um salário fixo por mês, e agora a empresa propõe duas formas de pagamentos. A opção 1 oferece um pagamento fixo de R$ 1 000,00 mais uma comissão de R$ 185,00 por carro vendido. A opção 2 oferece um salário de R$ 2 045,00 mais uma comissão de R$ 90,00 por carro vendido. A partir de quantos carros vendidos a opção 1 passa a ser mais lucrativa que a opção 2?

a) 25
b) 7
c) 9
d) 13
e) 11

Resposta correta: e) 11

Ideia 1: escrever as fórmulas dos salários em função das quantidades de carros vendidos para as opções 1 e 2.

Salário opção 1: 1 000 + 185n
Salário opção 2: 2 045 + 90n

Sendo n o número de carros vendidos.

Ideia 2: escrever a inequação comparando as opções, utilizando o sinal de desigualdade "maior que".

o p ç ã o espaço 1 espaço maior que espaço o p ç ã o espaço 2

1000 espaço mais espaço 185 n espaço maior que espaço 2045 espaço mais espaço 90 n 185 n espaço menos espaço 90 n espaço maior que espaço 2045 espaço menos espaço 1000 95 n espaço maior que 1045 n espaço maior que 1045 sobre 95 n espaço maior que espaço 11

Conclusão
A opção 1 passa a ser mais lucrativa para o vendedor a partir de 11 carros vendidos.

Questão 4

A inequação menos espaço t ao quadrado espaço mais 3 t espaço maior que espaço 0 representa em horas o intervalo de tempo da ação de um determinado fármaco em função do tempo, a partir do momento em que um paciente o ingere. O medicamento se mantém eficiente para valores positivos da função.
Qual o intervalo de tempo em que o remédio reage no corpo do paciente?

Para determinar o intervalo de tempo, esboçamos o gráfico da função f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço menos t ao quadrado espaço mais espaço 3 t.

Essa é uma função do segundo grau e sua curva é uma parábola.

Identificando os coeficientes
a = -1
b = 3
c = 0

Como a é negativo a concavidade é voltada para baixo.

Determinando as raízes da equação:

As raízes são os pontos em que a função é zero e, por isso, são os pontos em que a curva corta o eixo x.

menos t ao quadrado espaço mais espaço 3 t espaço igual a espaço 0 t parêntese esquerdo menos t espaço mais espaço 3 parêntese direito espaço igual a espaço 0 t espaço igual a espaço 0 espaço o u espaço menos t mais 3 igual a 0 menos espaço t espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a espaço menos 3 espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito t espaço igual a espaço 3

A função assume valores positivos entre 0 e 3.
Portanto, o medicamento mantém seu efeito durante três horas.

Questão 5

Em uma loja de roupas uma promoção diz que se um cliente comprar uma peça, ele pode levar uma segunda, igual a primeira, por um terço do valor. Se um cliente tem R$ 125,00 e quer aproveitar a promoção, o preço máximo da primeira peça que ele pode comprar, para poder levar também a segunda, é

a) R$ 103,00
b) R$ 93,75
c) R$ 81,25
d) R$ 95,35
e) R$ 112,00

Resposta correta: b) R$ 93,75

Chamando o preço da primeira peça de x, a segunda sai por x / 3. Como as duas juntas devem custar no máximo R$ 125,00, escrevemos uma inequação usando o sinal "menor ou igual que".

x espaço mais espaço x sobre 3 espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço espaço R e s o l v e n d o espaço a espaço i n e q u a ç ã o espaço espaço numerador 3 x sobre denominador 3 fim da fração espaço mais espaço x sobre 3 espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço espaço numerador 4 x sobre denominador 3 fim da fração espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço espaço 4 x espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço sinal de multiplicação espaço 3 espaço espaço 4 x espaço menor que ou igual a inclinado espaço 375 espaço espaço x espaço menor que ou igual a inclinado numerador espaço 375 espaço sobre denominador 4 fim da fração x espaço menor que ou igual a inclinado espaço 93 vírgula 75

Portanto, o preço máximo que ela pode pagar na primeira peça é R$ 93,75.

De fato, se x assumir seu valor máximo, de 93,75, a segunda peça sairá por um terço deste valor, ou seja:

93,75 / 3 = 31,25

Dessa forma, a segunda peça custaria R$31,25.

Para conferir os cálculos, vamos somar os preços da primeira e segunda peça.

93,75 + 31,25 = 125,00

Questão 6

(ENEM 2020 Digital). Na última eleição para a presidência de um clube, duas chapas se inscreveram (I e II). Há dois tipos de sócio: patrimoniais e contribuintes. Votos de sócios patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4. A chapa I recebeu 850 votos de sócios patrimoniais e 4 300 de sócios contribuintes; a chapa II recebeu 1 300 votos de sócios patrimoniais e 2 120 de sócios contribuintes. Não houve abstenções, votos em branco ou nulos, e a chapa I foi vencedora. Haverá uma nova eleição para a presidência do clube, com o mesmo número e tipos de sócios, e as mesmas chapas da eleição anterior. Uma consulta feita pela chapa II mostrou que os sócios patrimoniais não mudarão seus votos, e que pode contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição. Assim, para que vença, será necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes com o objetivo de que mudem seus votos para a chapa II.

A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é

a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1 091

Resposta correta: b) 753

Ideia 1: a chapa 1 perde uma certa quantidade x de votos e a chapa 2 ganha essa mesma quantidade x de votos.

Ideia 2: montar a inequação

Como os votos dos sócios patrimoniais continuarão iguais, para a chapa 2 vencer a eleição, deve conquistar x votos dos sócios contribuintes. Ao mesmo tempo, a chapa 1 deverá perder esses mesmos x votos.

votos chapa 2 > votos chapa 1

1300 . 0,6 + (2120 + x) . 0,4 > 850 . 0,6 + (4300 - x) . 0,4

780 + 848 + 0,4x > 510 + 1720 - 0,4x

1628 + 0,4x > 2230 - 0,4x

0,4x + 0,4x > 2230 - 1628

0,8x > 602

x > 602 / 0,8

x > 752,5

Portanto, 753 é a menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora.

Questão 7

(UERJ 2020). Um número N, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação N ao quadrado espaço menos espaço 17 N espaço mais espaço 16 espaço maior que espaço 0 é:

a) 2
b) 7
c) 16
d) 17

Resposta correta: d) 17

Ideia 1: determinar as raízes

Vamos encontrar as raízes desta equação do 2° grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

Identificando os coeficientes

a = 1
b = -17
c = 16

Determinando o discriminante, delta.

delta maiúsculo espaço igual a espaço b ao quadrado menos 4. a. c delta maiúsculo espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 17 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.16 delta maiúsculo espaço igual a espaço 289 espaço menos espaço 64 delta maiúsculo espaço igual a espaço 225

Determinando as raízes

numerador menos espaço b espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de delta maiúsculo sobre denominador 2. a fim da fração N com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 17 parêntese direito espaço mais espaço raiz quadrada de 225 sobre denominador 2.1 fim da fração espaço igual a espaço numerador 17 espaço mais espaço 15 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 32 sobre 2 igual a 16 N com 2 subscrito espaço igual a espaço numerador menos parêntese esquerdo menos 17 parêntese direito espaço menos espaço raiz quadrada de 225 sobre denominador 2.1 fim da fração espaço igual a espaço numerador 17 espaço menos espaço 15 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a 2 sobre 2 espaço igual a espaço 1

Ideia 2: esboçar o gráfico

Como o coeficiente a é positivo a curva da função tem concavidade aberta para cima e corta o eixo x nos pontos N1 e N2.

Fica fácil perceber que a função assume valores maiores que zero para N menor que 1 e maior que 16.

O conjunto solução é: S ={N < 1 e N > 16}.

Como o sinal da inequação é maior que ( > ), os valores de N = 1 e N = 16 são iguais a zero, e não podemos considerá-los.

Conclusão
O número inteiro, dentre as opções, que satisfaz a inequação é o 17.

Questão 8

(UNESP). Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de R$100,00, mais R$20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$55,00, mais R$35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:

a) 6 horas
b) 5 horas
c) 4 horas
d) 3 horas
e) 2 horas

Resposta correta: d) 3 horas

Função do preço do serviço de Carlos

100 + 20h

Função do preço do serviço de Daniel

55 + 35h

Se quiséssemos saber em quantos horas o preço do serviço deles se iguala, seria necessário igualar as equações.

Preço Daniel = Preço Carlos

Como queremos que o preço do serviço de Daniel não fique mais caro que o de Carlos, trocamos o sinal de igual pelo sinal de menor ou igual que parêntese esquerdo menor que ou igual a inclinado parêntese direito.

55 espaço mais espaço 35 h espaço menor que ou igual a inclinado espaço 100 espaço mais espaço 20 h (inequação do 1º grau)

Isolando o termo com h de um lado da desigualdade:

35 h espaço menos espaço 20 h menor que ou igual a inclinado 100 espaço menos espaço 55 espaço 15 h menor que ou igual a inclinado 45 espaço h menor que ou igual a inclinado 45 sobre 15 h menor que ou igual a inclinado 3

Para valores de h = 3, o valor do preço do serviço se iguala para os dois.

Preço de Daniel para 3 horas de festa
55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160

Preço de Carlos para 3 horas de festa
100 + 20h = 100 + 20x3 = 100 + 60 = 160

O enunciado diz: "para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos". Por isso utilizamos o sinal de menor ou igual que.

O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é de 3 horas. A partir de 3h sua contratação passa a ser mais cara.

Questão 9

(ENEM 2011). Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5

Resposta correta: d) 4

Ideia 1: não ter prejuízo é o mesmo que ter faturamento maior ou, pelo menos, igual a zero.

Ideia 2: escrever a inequação e calcular.

De acordo com o enunciado LT(q) = FT(q) - CT(q). Substituindo as funções e fazendo maior ou igual a zero.

F T parêntese esquerdo q parêntese direito espaço menos espaço C T parêntese esquerdo q parêntese direito maior que ou igual a inclinado 0 5 q espaço menos espaço parêntese esquerdo 2 q espaço mais espaço 12 parêntese direito maior que ou igual a inclinado 0 5 q espaço menos espaço 2 q espaço menos espaço 12 maior que ou igual a inclinado 0 3 q espaço menos espaço 12 maior que ou igual a inclinado 0 3 q maior que ou igual a inclinado 12 q maior que ou igual a inclinado 12 sobre 3 q maior que ou igual a inclinado 4

Portanto, a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo é 4.

Questão 10

(ENEM 2015). A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido um refil contendo 3mL de insulina. Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. Qual o número máximo de aplicações por refil que paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita?

a) 25
b) 15
c) 13
d) 12
e) 8

Resposta correta: a) 25

Dados

Capacidade da caneta = 3mL
1 unidade de insulina = 0,01 mL
Quantidade descartada em cada aplicação = 2 unidades
Quantidade por aplicação = 10 unidades
Quantidade total utilizada por aplicação = 10u + 2u = 12u

Objetivo: determinar o número máximo de aplicações possíveis com a dosagem prescrita.

Ideia 1: escrever a inequação "maior que" zero.

Total em mL menos, a quantidade total por aplicação em unidades, multiplicado por 0,01mL, multiplicado pela quantidade de aplicações p.

3mL - (12u x 0,01mL)p > 0

3 - (12 x 0,01)p > 0
3 - 0,12p > 0
3 > 0,12p
3 / 0,12 > p
25 > p

Conclusão
O número máximo de aplicações por refil que paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita é 25.

Questão 11

(Uece 2010). A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x ao quadrado espaço menos espaço 32 x espaço mais espaço 252 espaço menor que espaço 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto

a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.

Resposta correta: b) {15, 16, 17}.

Ideia 1: esboçar a curva do gráfico da função f(x) = x ao quadrado espaço menos espaço 32 x espaço mais espaço 252.

Para isto, vamos determinar as raízes da função utilizando a fórmula de Bhaskara.

Os coeficientes são:
a = 1
b = -32
c = 252

Calculando o discriminante

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 32 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.252 incremento igual a 1024 espaço menos espaço 1008 incremento igual a 16

Cálculo das raízes

numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração x com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 32 parêntese direito espaço mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 32 espaço mais espaço 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 36 sobre 2 igual a 18 x com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 32 parêntese direito espaço menos espaço raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 32 espaço menos espaço 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 28 sobre 2 igual a 14

O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola, como a é positivo a concavidade fica voltada para cima e a curva corta o eixo x nos pontos 14 e 18.

Ideia 2: identificar os valores no gráfico.

Como a inequação da questão é uma desigualdade com sinal "menor que", com o valor zero do lado direito, nos interessa os valores do eixo x para que a função seja negativa.

Conclusão
Portanto, o número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto {15, 16, 17}.

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Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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