Exercícios de Inequação

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Publicado em

Estude com as 11 questões de inequações do 1º e 2° grau. Tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos e se prepare com questões de vestibulares.

Questão 1

Uma loja de utensílios domésticos oferece um conjunto de talheres por um preço que depende da quantidade comprada. Estas são as opções:

Opção A: R$ 94,80 mais R$ 2,90 a unidade avulsa.
Opção B: R$ 113,40 mais R$ 2,75 a unidade avulsa.

A partir de quantos talheres avulsos comprados a opção A é menos vantajosa que a opção B.

a) 112
b) 84
c) 124
d) 135
e) 142

Resposta correta: c) 124.

Ideia 1: escrever as funções do preço final em relação a quantidade de talheres comprados.

Opção A: PA(n) = 94,8 + 2,90n

Onde, PA é o preço final da opção A e n é o números de talheres avulsos.

Opção B: PB(n) = 113,40 + 2,75n

Onde, PB é o preço final da opção B e n é o números de talheres avulsos.

Ideia 2: escrever a inequação comparando as duas opções.

Como a condição é que A seja menos vantajosa, vamos escrever a inequação utilizando o sinal "maior que", que representará o número de talheres a partir do qual essa opção passa a ser mais cara.

p r e ç o espaço A espaço maior que espaço p r e ç o espaço B 94 vírgula 8 espaço mais espaço 2 vírgula 90 n espaço maior que espaço 113 vírgula 40 espaço mais espaço 2 vírgula 75 n

Isolando n do lado esquerdo da inequação e os valores numéricos do lado direito.

94 vírgula 8 espaço mais espaço 2 vírgula 90 n espaço maior que espaço 113 vírgula 40 espaço mais espaço 2 vírgula 75 n 2 vírgula 90 n espaço menos espaço 2 vírgula 75 n espaço maior que espaço 113 vírgula 40 espaço menos espaço 94 vírgula 80 0 vírgula 15 n espaço maior que espaço 18 vírgula 60 n espaço maior que numerador 18 vírgula 60 sobre denominador 0 vírgula 15 fim da fração n espaço maior que 124

Desse modo, a partir de 124 talheres, a opção A passa a ser menos vantajosa.

Questão 2

Carlos está negociando um terreno com uma imobiliária. O terreno A, fica em uma esquina e possuí a forma de um triângulo. A imobiliária também está negociando uma faixa de terra na forma de um retângulo determinado pela seguinte condição: o cliente pode escolher a largura, mas o comprimento deverá possuir cinco vezes esta medida.


A medida da largura do terreno B para que este tenha uma área maior que a do terreno A é

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Resposta correta: d) 4

Ideia 1: área do terreno triangular.

A área do triângulo é igual a medida da base multiplicada pela altura, dividido por dois.

A espaço igual a espaço numerador b. h sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador 10 espaço sinal de multiplicação espaço 16 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 160 sobre 2 espaço igual a espaço 80 espaço m ao quadrado

Ideia 2: área do terreno retangular em função da medida da largura.

B parêntese esquerdo L parêntese direito espaço igual a espaço L espaço sinal de multiplicação espaço 5 L espaço igual a espaço 5 L ao quadrado

Ideia 3: inequação comparando as medidas dos terrenos A e B.

Área do terreno B > Área do terreno A

5 L à potência de 2 espaço fim do exponencial maior que espaço 80 L ao quadrado espaço maior que espaço 80 sobre 5 L ao quadrado espaço maior que espaço 16 L espaço maior que espaço raiz quadrada de 16 L espaço maior que espaço 4

Conclusão
O terreno A, retangular, passa a ter uma área maior que a do terreno B, triangular, para larguras maiores que 4 metros.

Questão 3

Uma concessionária de automóveis decidiu mudar a política de pagamentos de seus vendedores. Estes recebiam um salário fixo por mês, e agora a empresa propõe duas formas de pagamentos. A opção 1 oferece um pagamento fixo de R$ 1 000,00 mais uma comissão de R$ 185,00 por carro vendido. A opção 2 oferece um salário de R$ 2 045,00 mais uma comissão de R$ 90,00 por carro vendido. A partir de quantos carros vendidos a opção 1 passa a ser mais lucrativa que a opção 2?

a) 25
b) 7
c) 9
d) 13
e) 11

Resposta correta: e) 11

Ideia 1: escrever as fórmulas dos salários em função das quantidades de carros vendidos para as opções 1 e 2.

Salário opção 1: 1 000 + 185n
Salário opção 2: 2 045 + 90n

Sendo n o número de carros vendidos.

Ideia 2: escrever a inequação comparando as opções, utilizando o sinal de desigualdade "maior que".

o p ç ã o espaço 1 espaço maior que espaço o p ç ã o espaço 2

1000 espaço mais espaço 185 n espaço maior que espaço 2045 espaço mais espaço 90 n 185 n espaço menos espaço 90 n espaço maior que espaço 2045 espaço menos espaço 1000 95 n espaço maior que 1045 n espaço maior que 1045 sobre 95 n espaço maior que espaço 11

Conclusão
A opção 1 passa a ser mais lucrativa para o vendedor a partir de 11 carros vendidos.

Questão 4

A inequação menos espaço t ao quadrado espaço mais 3 t espaço maior que espaço 0 representa em horas o intervalo de tempo da ação de um determinado fármaco em função do tempo, a partir do momento em que um paciente o ingere. O medicamento se mantém eficiente para valores positivos da função.
Qual o intervalo de tempo em que o remédio reage no corpo do paciente?

Para determinar o intervalo de tempo, esboçamos o gráfico da função f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço menos t ao quadrado espaço mais espaço 3 t.

Essa é uma função do segundo grau e sua curva é uma parábola.

Identificando os coeficientes
a = -1
b = 3
c = 0

Como a é negativo a concavidade é voltada para baixo.

Determinando as raízes da equação:

As raízes são os pontos em que a função é zero e, por isso, são os pontos em que a curva corta o eixo x.

menos t ao quadrado espaço mais espaço 3 t espaço igual a espaço 0 t parêntese esquerdo menos t espaço mais espaço 3 parêntese direito espaço igual a espaço 0  t espaço igual a espaço 0 espaço o u espaço menos t mais 3 igual a 0 menos espaço t espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a espaço menos 3 espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito t espaço igual a espaço 3

A função assume valores positivos entre 0 e 3.
Portanto, o medicamento mantém seu efeito durante três horas.

Questão 5

Em uma loja de roupas uma promoção diz que se um cliente comprar uma peça, ele pode levar uma segunda, igual a primeira, por um terço do valor. Se um cliente tem R$ 125,00 e quer aproveitar a promoção, o preço máximo da primeira peça que ele pode comprar, para poder levar também a segunda, é

a) R$ 103,00
b) R$ 93,75
c) R$ 81,25
d) R$ 95,35
e) R$ 112,00

Resposta correta: b) R$ 93,75

Chamando o preço da primeira peça de x, a segunda sai por x / 3. Como as duas juntas devem custar no máximo R$ 125,00, escrevemos uma inequação usando o sinal "menor ou igual que".

x espaço mais espaço x sobre 3 espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço espaço R e s o l v e n d o espaço a espaço i n e q u a ç ã o espaço espaço numerador 3 x sobre denominador 3 fim da fração espaço mais espaço x sobre 3 espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço espaço numerador 4 x sobre denominador 3 fim da fração espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço espaço 4 x espaço menor que ou igual a inclinado espaço 125 espaço sinal de multiplicação espaço 3 espaço espaço 4 x espaço menor que ou igual a inclinado espaço 375 espaço espaço x espaço menor que ou igual a inclinado numerador espaço 375 espaço sobre denominador 4 fim da fração x espaço menor que ou igual a inclinado espaço 93 vírgula 75

Portanto, o preço máximo que ela pode pagar na primeira peça é R$ 93,75.

De fato, se x assumir seu valor máximo, de 93,75, a segunda peça sairá por um terço deste valor, ou seja:

93,75 / 3 = 31,25

Dessa forma, a segunda peça custaria R$31,25.

Para conferir os cálculos, vamos somar os preços da primeira e segunda peça.

93,75 + 31,25 = 125,00

Questão 6

(ENEM 2020 Digital). Na última eleição para a presidência de um clube, duas chapas se inscreveram (I e II). Há dois tipos de sócio: patrimoniais e contribuintes. Votos de sócios patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4. A chapa I recebeu 850 votos de sócios patrimoniais e 4 300 de sócios contribuintes; a chapa II recebeu 1 300 votos de sócios patrimoniais e 2 120 de sócios contribuintes. Não houve abstenções, votos em branco ou nulos, e a chapa I foi vencedora. Haverá uma nova eleição para a presidência do clube, com o mesmo número e tipos de sócios, e as mesmas chapas da eleição anterior. Uma consulta feita pela chapa II mostrou que os sócios patrimoniais não mudarão seus votos, e que pode contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição. Assim, para que vença, será necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes com o objetivo de que mudem seus votos para a chapa II.

A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é

a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1 091

Resposta correta: b) 753

Ideia 1: a chapa 1 perde uma certa quantidade x de votos e a chapa 2 ganha essa mesma quantidade x de votos.

Ideia 2: montar a inequação

Como os votos dos sócios patrimoniais continuarão iguais, para a chapa 2 vencer a eleição, deve conquistar x votos dos sócios contribuintes. Ao mesmo tempo, a chapa 1 deverá perder esses mesmos x votos.

votos chapa 2 > votos chapa 1

1300 . 0,6 + (2120 + x) . 0,4 > 850 . 0,6 + (4300 - x) . 0,4

780 + 848 + 0,4x > 510 + 1720 - 0,4x

1628 + 0,4x > 2230 - 0,4x

0,4x + 0,4x > 2230 - 1628

0,8x > 602

x > 602 / 0,8

x > 752,5

Portanto, 753 é a menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora.

Questão 7

(UERJ 2020). Um número N, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação N ao quadrado espaço menos espaço 17 N espaço mais espaço 16 espaço maior que espaço 0 é:

a) 2
b) 7
c) 16
d) 17

Resposta correta: d) 17

Ideia 1: determinar as raízes

Vamos encontrar as raízes desta equação do 2° grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

Identificando os coeficientes

a = 1
b = -17
c = 16

Determinando o discriminante, delta.

delta maiúsculo espaço igual a espaço b ao quadrado menos 4. a. c delta maiúsculo espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 17 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.16 delta maiúsculo espaço igual a espaço 289 espaço menos espaço 64 delta maiúsculo espaço igual a espaço 225

Determinando as raízes

numerador menos espaço b espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de delta maiúsculo sobre denominador 2. a fim da fração N com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 17 parêntese direito espaço mais espaço raiz quadrada de 225 sobre denominador 2.1 fim da fração espaço igual a espaço numerador 17 espaço mais espaço 15 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 32 sobre 2 igual a 16 N com 2 subscrito espaço igual a espaço numerador menos parêntese esquerdo menos 17 parêntese direito espaço menos espaço raiz quadrada de 225 sobre denominador 2.1 fim da fração espaço igual a espaço numerador 17 espaço menos espaço 15 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a 2 sobre 2 espaço igual a espaço 1

Ideia 2: esboçar o gráfico

Como o coeficiente a é positivo a curva da função tem concavidade aberta para cima e corta o eixo x nos pontos N1 e N2.

Fica fácil perceber que a função assume valores maiores que zero para N menor que 1 e maior que 16.

O conjunto solução é: S ={N < 1 e N > 16}.

Como o sinal da inequação é maior que ( > ), os valores de N = 1 e N = 16 são iguais a zero, e não podemos considerá-los.

Conclusão
O número inteiro, dentre as opções, que satisfaz a inequação é o 17.

Questão 8

(UNESP). Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de R$100,00, mais R$20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$55,00, mais R$35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:

a) 6 horas
b) 5 horas
c) 4 horas
d) 3 horas
e) 2 horas

Resposta correta: d) 3 horas

Função do preço do serviço de Carlos

100 + 20h

Função do preço do serviço de Daniel

55 + 35h

Se quiséssemos saber em quantos horas o preço do serviço deles se iguala, seria necessário igualar as equações.

Preço Daniel = Preço Carlos

Como queremos que o preço do serviço de Daniel não fique mais caro que o de Carlos, trocamos o sinal de igual pelo sinal de menor ou igual que parêntese esquerdo menor que ou igual a inclinado parêntese direito.

55 espaço mais espaço 35 h espaço menor que ou igual a inclinado espaço 100 espaço mais espaço 20 h (inequação do 1º grau)

Isolando o termo com h de um lado da desigualdade:

35 h espaço menos espaço 20 h menor que ou igual a inclinado 100 espaço menos espaço 55 espaço 15 h menor que ou igual a inclinado 45 espaço h menor que ou igual a inclinado 45 sobre 15 h menor que ou igual a inclinado 3

Para valores de h = 3, o valor do preço do serviço se iguala para os dois.

Preço de Daniel para 3 horas de festa
55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160

Preço de Carlos para 3 horas de festa
100 + 20h = 100 + 20x3 = 100 + 60 = 160

O enunciado diz: "para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos". Por isso utilizamos o sinal de menor ou igual que.

O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é de 3 horas. A partir de 3h sua contratação passa a ser mais cara.

Questão 9

(ENEM 2011). Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5

Resposta correta: d) 4

Ideia 1: não ter prejuízo é o mesmo que ter faturamento maior ou, pelo menos, igual a zero.

Ideia 2: escrever a inequação e calcular.

De acordo com o enunciado LT(q) = FT(q) - CT(q). Substituindo as funções e fazendo maior ou igual a zero.

F T parêntese esquerdo q parêntese direito espaço menos espaço C T parêntese esquerdo q parêntese direito maior que ou igual a inclinado 0 5 q espaço menos espaço parêntese esquerdo 2 q espaço mais espaço 12 parêntese direito maior que ou igual a inclinado 0 5 q espaço menos espaço 2 q espaço menos espaço 12 maior que ou igual a inclinado 0        3 q espaço menos espaço 12 maior que ou igual a inclinado 0 3 q maior que ou igual a inclinado 12 q maior que ou igual a inclinado 12 sobre 3 q maior que ou igual a inclinado 4

Portanto, a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo é 4.

Questão 10

(ENEM 2015). A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido um refil contendo 3mL de insulina. Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. Qual o número máximo de aplicações por refil que paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita?

a) 25
b) 15
c) 13
d) 12
e) 8

Resposta correta: a) 25

Dados

Capacidade da caneta = 3mL
1 unidade de insulina = 0,01 mL
Quantidade descartada em cada aplicação = 2 unidades
Quantidade por aplicação = 10 unidades
Quantidade total utilizada por aplicação = 10u + 2u = 12u

Objetivo: determinar o número máximo de aplicações possíveis com a dosagem prescrita.

Ideia 1: escrever a inequação "maior que" zero.

Total em mL menos, a quantidade total por aplicação em unidades, multiplicado por 0,01mL, multiplicado pela quantidade de aplicações p.

3mL - (12u x 0,01mL)p > 0

3 - (12 x 0,01)p > 0
3 - 0,12p > 0
3 > 0,12p
3 / 0,12 > p
25 > p

Conclusão
O número máximo de aplicações por refil que paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita é 25.

Questão 11

(Uece 2010). A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x ao quadrado espaço menos espaço 32 x espaço mais espaço 252 espaço menor que espaço 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto

a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.

Resposta correta: b) {15, 16, 17}.

Ideia 1: esboçar a curva do gráfico da função f(x) = x ao quadrado espaço menos espaço 32 x espaço mais espaço 252.

Para isto, vamos determinar as raízes da função utilizando a fórmula de Bhaskara.

Os coeficientes são:
a = 1
b = -32
c = 252

Calculando o discriminante

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 32 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.252 incremento igual a 1024 espaço menos espaço 1008 incremento igual a 16

Cálculo das raízes

numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração x com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 32 parêntese direito espaço mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 32 espaço mais espaço 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 36 sobre 2 igual a 18 x com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 32 parêntese direito espaço menos espaço raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 32 espaço menos espaço 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 28 sobre 2 igual a 14

O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola, como a é positivo a concavidade fica voltada para cima e a curva corta o eixo x nos pontos 14 e 18.

Ideia 2: identificar os valores no gráfico.

Como a inequação da questão é uma desigualdade com sinal "menor que", com o valor zero do lado direito, nos interessa os valores do eixo x para que a função seja negativa.

Conclusão
Portanto, o número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto {15, 16, 17}.

Aprenda mais sobre inequações.

Veja também
Equação do segundo grau
Equação do primeiro grau

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.