Leis de Kepler

Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

As Leis de Kepler são três leis, propostas no século XVII, pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630), na obra Astronomia Nova (1609).

Elas descrevem os movimentos dos planetas, seguindo modelos heliocêntricos, ou seja, o Sol no centro do sistema solar.

As Leis de Kepler: Resumo

Segue abaixo as três Leis de Kepler sobre os movimentos planetários:

Primeira Lei de Kepler

A 1ª Lei descreve as órbitas dos planetas. Kepler propôs que os planetas giram em torno do Sol, em uma órbita elíptica, com o Sol em um dos focos.

Nesta Lei, Kepler corrige o modelo proposto por Copérnico que descrevia como circular o movimento orbital dos planetas.

Leis de Kepler

Segunda Lei de Kepler

A 2ª lei de Kepler assegura que o segmento (raio vetor) que une o sol a um planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Uma consequência deste fato é que a velocidade do planeta ao longo da sua trajetória orbital é diferente.

Sendo maior quando o planeta se encontra mais próximo do seu periélio (menor distância entre o planeta e o Sol) e menor quando o planeta se encontra próximo do seu afélio (maior distância do planeta ao Sol).

Segunda lei de Kepler

Terceira Lei de Kepler

A 3ª lei de Kepler indica que o quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita.

Por isso, quanto mais distante o planeta estiver do sol, mais tempo levará para completar a translação.
Matematicamente, a terceira Lei de Kepler é descrita da seguinte maneira:

T ao quadrado sobre r ao cubo igual a K

Onde:

T: corresponde ao tempo de translação do planeta
r: o raio médio da órbita do planeta
K: valor constante, ou seja, apresenta o mesmo valor para todos os corpos que orbitam ao redor do Sol. A constante K depende do valor da massa do Sol.

Portanto, a razão entre os quadrados dos períodos de translação dos planetas e os cubos dos respectivos raios médios das órbitas será sempre constante, conforme apresentado na tabela abaixo:

Tabela Kepler

Leis de Kepler e a Gravitação Universal

As Leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas, sem se preocupar com as suas causas.

Isaac Newton ao estudar essas Leis, identificou que a velocidade dos planetas ao longo da trajetória é variável em valor e direção.

Para explicar essa variação, ele identificou que existiam forças atuando nos planetas e no Sol.

Deduziu que essas forças de atração dependem da massa dos corpos envolvidos e das suas distâncias.

Chamada de Lei de Gravitação Universal, sua expressão matemática é:

F igual a G numerador M espaço. espaço m sobre denominador R ao quadrado fim da fração

Sendo,

F: força gravitacional
G: constante de gravitação universal
M: massa do Sol
m: massa do planeta

Veja o vídeo sobre os pensamentos do matemático que o levaram a criar as Leis de Kepler:

Exercícios Resolvidos

1) Enem - 2009

O ônibus espacial Atlantis foi lançado ao espaço com cinco astronautas a bordo e uma câmera nova, que iria substituir uma outra danificada por um curto-circuito no telescópio Hubble. Depois de entrarem em órbita a 560 km de altura, os astronautas se aproximaram do Hubble. Dois astronautas saíram da Atlantis e se dirigiram ao telescópio. Ao abrir a porta de acesso, um deles exclamou: “Esse telescópio tem a massa grande, mas o peso é pequeno."

Considerando o texto e as leis de Kepler, pode-se afirmar que a frase dita pelo astronauta

a) se justifica porque o tamanho do telescópio determina a sua massa, enquanto seu pequeno peso decorre da falta de ação da aceleração da gravidade.
b) se justifica ao verificar que a inércia do telescópio é grande comparada à dele próprio, e que o peso do telescópio é pequeno porque a atração gravitacional criada por sua massa era pequena.
c) não se justifica, porque a avaliação da massa e do peso de objetos em órbita tem por base as leis de Kepler, que não se aplicam a satélites artificiais.
d) não se justifica, porque a força-peso é a força exercida pela gravidade terrestre, neste caso, sobre o telescópio e é a responsável por manter o próprio telescópio em órbita.
e) não se justifica, pois a ação da força-peso implica a ação de uma força de reação contrária, que não existe naquele ambiente. A massa do telescópio poderia ser avaliada simplesmente pelo seu volume.

Alternativa d: não se justifica, porque a força-peso é a força exercida pela gravidade terrestre, neste caso, sobre o telescópio e é a responsável por manter o próprio telescópio em órbita.

2) UFRGS - 2011

Considere o raio médio da órbita de Júpiter em tomo do Sol igual a 5 vezes o raio médio da órbita da Terra.
Segundo a 3ª Lei de Kepler, o período de revolução de Júpiter em tomo do Sol é de aproximadamente

a) 5 anos
b) 11 anos
c) 25 anos
d) 110 anos
e) 125 anos

Alternativa b: 11 anos

3) Enem - 2009

Na linha de uma tradição antiga, o astrônomo grego Ptolomeu (100-170 d.C.) afirmou a tese do geocentrismo, segundo a qual a Terra seria o centro do universo, sendo que o Sol, a Lua e os planetas girariam em seu redor em órbitas circulares. A teoria de Ptolomeu resolvia de modo razoável os problemas astronômicos da sua época. Vários séculos mais tarde, o clérigo e astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), ao encontrar inexatidões na teoria de Ptolomeu, formulou a teoria do heliocentrismo, segundo a qual o Sol deveria ser considerado o centro do universo, com a Terra, a Lua e os planetas girando circularmente em torno dele. Por fim, o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571- 1630), depois de estudar o planeta Marte por cerca de trinta anos, verificou que a sua órbita é elíptica. Esse resultado generalizou-se para os demais planetas.

A respeito dos estudiosos citados no texto, é correto afirmar que

a) Ptolomeu apresentou as ideias mais valiosas, por serem mais antigas e tradicionais.
b) Copérnico desenvolveu a teoria do heliocentrismo inspirado no contexto político do Rei Sol.
c) Copérnico viveu em uma época em que a pesquisa científica era livre e amplamente incentivada pelas autoridades.
d) Kepler estudou o planeta Marte para atender às necessidades de expansão econômica e científica da Alemanha.
e) Kepler apresentou uma teoria científica que, graças aos métodos aplicados, pôde ser testada e generalizada.

Alternativa e: Kepler apresentou uma teoria científica que, graças aos métodos aplicados, pôde ser testada e generalizada.

Para saber mais, leia também:

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Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.