Exercícios sobre as Leis de Kepler (resolvidos)
As Leis de Kepler estudam os movimentos dos corpos celestes em suas órbitas. Assunto visto no colégio e muito cobrado em vestibulares.
Tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos sobre as três Leis de Kepler.
Exercício 1
Johannes Kepler foi um matemático e astrônomo alemão que viveu entre 1571 e 1630. Seu trabalho foi fundamental para a revolução científica e ajudou a formar a base da mecânica celeste.
A Primeira Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Órbitas, afirma que:
a) Os planetas se movem em órbitas circulares ao redor do Sol.
b) Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol localizado em um dos focos da elipse.
c) Os planetas se movem em órbitas parabólicas ao redor do Sol, com o Sol localizado no vértice da parábola.
d) Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol localizado no centro da elipse.
e) Os planetas se movem em órbitas hiperbólicas ao redor do Sol, com o Sol localizado em um dos focos da hipérbole.
Resolução
Segundo a primeira Lei de Kepler, as órbitas de corpos menos massivos ao redor de corpos mais massivos são elípticas, e não circulares como se acreditava.
Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol localizado em um dos focos da elipse.
Exercício 2
Segundo a Primeira Lei de Kepler, os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol. Em relação aos conceitos de periélio e afélio, qual das afirmações abaixo é correta?
a) No periélio, o planeta está mais distante do Sol e sua velocidade orbital é menor.
b) No afélio, o planeta está mais próximo do Sol e sua velocidade orbital é maior.
c) No periélio, o planeta está mais próximo do Sol e sua velocidade orbital é maior.
d) No afélio, o planeta está mais distante do Sol e sua velocidade orbital é menor.
e) Tanto no periélio quanto no afélio, a distância do planeta ao Sol e sua velocidade orbital permanecem constantes.
Resolução
Periélio é o ponto da órbita onde o planeta está mais próximo do Sol. Neste momento da translação o planeta atinge a máxima velocidade.
Exercício 3
A Segunda Lei de Kepler, em particular, detalha como a velocidade dos planetas varia ao longo de suas órbitas, oferecendo uma visão mais profunda sobre as forças que regem o movimento celestial.
A Segunda Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Áreas Iguais, afirma que:
a) Os planetas se movem mais rápido quando estão mais distantes do Sol.
b) Os planetas se movem mais devagar quando estão mais próximos do Sol.
c) O raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
d) O raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas desiguais em intervalos de tempo iguais.
e) A velocidade de um planeta em sua órbita é constante.
Resolução
Raio vetor, ou vetor orbital, é uma linha imaginária que liga um planeta ao Sol. Durante o movimento de translação, a área varrida pelo vetor será igual para intervalos de tempo iguais. Independente do trecho da elipse.
Exercício 4
A segunda Lei de Kepler enuncia que áreas iguais são varridas pelo vetor orbital de um planeta em intervalos de tempo iguais.
Durante 46 dias, o vetor orbital de um planeta varre 1/7 da área completa de sua órbita. Assim, pode-se afirmar que seu período orbital é de:
a) 46 dias
b) 84 dias
c) 156 dias
d) 276 dias
e) 322 dias
Se 1/7 da área é varrida em 46 dias, o período orbital completo equivale a 7/7.
Temos assim,
46 x 7 = 322 dias.
Exercício 5
A Terceira Lei de Kepler, também conhecida como a Lei dos Períodos, relaciona o período orbital dos planetas com suas distâncias médias ao Sol, fornecendo uma ferramenta crucial para entender a dinâmica dos sistemas planetários.
A Terceira Lei de Kepler, afirma que:
a) O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.
b) O quadrado do período orbital de um planeta é inversamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.
c) O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo da sua distância mínima ao Sol.
d) O cubo do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao quadrado da sua distância média ao Sol.
e) O período orbital de um planeta é diretamente proporcional à sua distância média ao Sol.
Resolução
A Terceira Lei de Kepler, ou Lei dos Períodos, estabelece que:
O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.
Matematicamente pode ser expressa pela fórmula:
Onde,
T é o período orbital;
r é a distância média ao Sol.
K uma constante.
Exercício 6
Suponha um corpo celeste X que se movimenta pelo sistema solar com órbita elíptica. Um ano de X correspondem a 17 anos da Terra.
Se o raio orbital de X é 1/4 do raio orbital de outro corpo celeste Y, quantos anos terrestres equivalem um ano em Y.
a) Um ano em Y equivalem a 4 anos terrestres.
b) Um ano em Y equivalem a 16 anos terrestres.
c) Um ano em Y equivalem a 64 anos terrestres.
d) Um ano em Y equivalem a 136 anos terrestres.
e) Um ano em Y equivalem a 256 anos terrestres.
Resolução
O objetivo do problema é determinar o período de Y em função do período da Terra T.
O problema nos fornece que o período de X é 17 vezes maior que o da Terra. Também, que o raio de orbital de X é um quarto do de Y.
Para resolver a questão, utilizamos a terceira Lei de Kepler, onde:
é o período da Terra.
é o período de X.
é o período de Y.
Da mesma forma, 
são, respectivamente, os raio orbitais da Terra, de X e de Y.
Terceira Lei de Kepler entre a Terra e Y. (equação I)
Assim, para resolver a questão, precisamos de 
.
Terceira Lei de Kepler entre a Terra e X.
Como o período da Terra é 1, 
. Ainda, 
.
Substituindo:
Guardamos essa relação para substituir na equação I.
O problema também fornece que 
. Logo:
Guardamos essa relação para substituir na equação I.
Substituindo os valores guardados na equação I.
Aprende mais sobre as Leis de Kepler.
Você pode se interessar por conhecer mais de Johannes Kepler.
ASTH, Rafael. Exercícios sobre as Leis de Kepler (resolvidos). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-as-leis-de-kepler/. Acesso em:
