Limite de uma função: o que é e aprenda a calcular (com exercícios)

William Canellas

Professor de Matemática

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A ideia central por trás dos limites em matemática é a aproximação. Pense naquela xícara de café fervendo que você acabou de preparar. Ela está a 90°C, mas o ambiente ao redor está 30°C. O que acontece a seguir? A temperatura do café começa a diminuir, buscando um equilíbrio com o ambiente.

Nos primeiros minutos, essa queda pode ser quase linear, como se perdesse calor a uma velocidade constante. Mas, à medida que se aproxima dos 30°C, a mudança se torna mais lenta, tendendo a essa temperatura sem talvez nunca a atingir exatamente (ou levando um tempo infinito para isso). Esse "tender a" é a essência do limite.

Podemos imaginar uma função que descreve essa queda. Se quisermos saber quando o café atingirá (ou, mais precisamente, se aproximará infinitamente) dos 30°C, estamos procurando um limite.

Podemos modelar esse comportamento com a função:

onde:

• é o tempo em minutos;
• é a temperatura do café em °C.

Nosso objetivo é saber quanto tempo a temperatura do café levará para atingir a temperatura ambiente de 30°C.

Em outras palavras queremos encontrar o limite de quando tende (se aproxima) de 30°C.

Observe as tabelas abaixo.

se aproximando de 30° pela esquerda

	28°	29°	29,9°	29,99°	29,999°	29,9999°
	6,2	6,1	6,01	6,001	6,0001	6,00001

se aproxima de 30° pela direita

	32°	31°	30,1°	30,01°	30,001°	30,0001°
	5,8	5,9	5,99	5,999	5,9999	5,99999

Em outras palavras queremos encontrar o limite de quando tende (se aproxima) de 30°C.

Neste caso temos a seguinte notação:

Em Matemática, dizemos que:

Significa que os valores da função se aproximam de à medida que se aproxima de , sem que necessariamente atinja esse valor.

Métodos para calcular limites

Dependendo da função, diferentes técnicas podem ser aplicadas:

Substituição direta

Se a função for contínua no ponto, basta substituir o valor.

Exemplo:

Fatoração

Usada quando aparece uma indeterminação do tipo ou .

Exemplo:

Racionalização

Aplicamos quando temos funções irracionais.

Exemplo:

Funções trigonométricas

Utilizamos limites fundamentais como:

Exemplo:

Limites no infinito

Dividimos os termos pelo termo de maior grau do polinômio.

Exemplo:

Limites envolvendo infinito

São limites tais que para tendendo a , tende a .

A analise deste tipo de limite envolve o cálculo dos limites laterias, ou seja, pela esquerda de , e pela direita de , .

Esse tipo de limite aparece quando substituindo obtemos um quociente , com .

Exemplo:

Devemos avaliar os limites laterais, pois pode ser que o limite seja ou não exista. E a análise é feita com base nos sinais do numerador e denominador.

Como os limites laterias são diferentes a função não possui limite quando . Esse resultado pode ser interpretado graficamente como um reta assíntota vertical ao gráfico de em .

Indeterminações matemáticas

Há sete tipos de Indeterminações matemáticas são elas: e .

Algumas delas podem exigir estratégias específicas para a resolução do limite, tais como:

• Fatoração;
• Racionalização;
• Limite Trigonométrico Fundamental;
• Limite Exponencial Fundamental;
• Logaritmos;
• Teorema de L'Hôpital.

O Teorema de L'Hôpital necessita do conhecimento sobre derivadas para ser aplicado. Mas, normalmente, esse conceito de derivada é abordado após a apresentação de limites.

Indeterminações do tipo ou

Nestes casos utilizamos essencialmente a fatoração e/ou a racionalização e em alguns casos mais complexos precisamos recorrer aos limites fundamentais.

Principais técnicas:

• Fatoração;
• Racionalização;
• Simplificação algébrica;
• Dividir pelo termo de maior grau, particularmente se ;
• Aplicar identidades notáveis como produtos notáveis, diferença de quadrados, soma e diferença de cubos, identidades trigométricas, entre outras.

Indeterminações do tipo

As principais técnicas para este tipo de indeterminação são:

• Transformar em quociente colocando um dos fatores no denominador como inverso e seguir trabalhando uma das indeterminações ou ;
• Manipulação algébrica aplicando propriedades de funções, mudanças de variável, fatoração, entre outras.

Indeterminações do tipo

Neste tipo de indeterminação aplicamos uma das seguintes técnicas:

• Fatoração (colocando o termo de maior grau em evidência;
• Racionalização;
• Transformar em quociente.

Indeterminações do tipo , ou

Nestes casos devemos utilizar a seguinte técnica:

• Aplicar logaritmo em ambos os membros a fim de transformar a potência em produto;
• Trabalhar com a expressão .

Limites fundamentais

São aqueles limites que representam um comportamento básico e recorrente de algumas funções quando a variável se aproxima de um determinado valor, seja um número ou infinito. Servem como referência para resolver outros limites mais complexos, simplificar expressões, calcular taxas de variação, derivadas e analisar o comportamento assintótico de funções. Abaixo temos uma tabela com os principais limites fundamentais.

Teorema de L'Hopital

Este teorema é uma ferramenta usada para calcular limites que resultam nas indeterminações do tipo ou . Ele permite substituir o limite da razão entre duas funções pelo limite da razão entre suas derivadas.

Condições para aplicar L'Hôpital:

1. O limite gera uma indeterminação do tipo ou .

2. As funções e no devem ser deriváveis em um intervalo aberto que contenha o ponto de interesse (exceto, possivelmente, no próprio ponto).

3. A derivada do denominador, . Exceto, possivelmente, no próprio ponto.

4. O limite de precisa existir (pode ser finito ou infinito).

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Continue praticando com mais Exercícios sobre cálculo do limite de uma função (com gabarito).

William Canellas

Professor de Matemática com 20 anos de experiência, licenciado pela Universidade Gama Filho (UGF) e mestre pelo IMPA. Autor de livros e artigos, é referência na preparação para concursos e no ensino de Matemática.