Função Inversa

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

A função inversa f à potência de menos 1 fim do exponencial é um tipo de função bijetora, ou seja, ela é sobrejetora e injetora em simultâneo.

Recebe esse nome, pois a partir de uma função, é possível inverter os elementos correspondentes, de modo a escrever outra.

Se uma função f leva os elementos de seu domínio A ao seu contradomínio B, a função inversa f à potência de menos 1 fim do exponencial faz o caminho de volta, retornando os elementos de B para A.

Seja a função f de domínio A e contradomínio B:

Função Bijetora

Sua função inversa f à potência de menos 1 fim do exponencial de domínio B e contradomínio A, é:

Função Inversa

Dada uma função bijetora f: A → B com domínio A e contradomínio B, ela apresenta a função inversa f-1: B → A, com domínio B e contradomínio A.

Exemplo

Dadas as funções: A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-16, -2, 0, 2, 16} observe a imagem abaixo:

Função Inversa Exemplo

Assim, podemos compreender que o domínio de f corresponde a imagem de f-1. Já a imagem de f é igual ao domínio de f-1.

Método para escrever a função inversa

Para escrever a fórmula da função inversa de uma função bijetora, precisamos lembrar quef parêntese esquerdo x parêntese direito igual a y.

1º passo: na função bijetora, substituir f(x) por y;

2º passo: onde tem x troca-se por y e, onde tem y troca-se por x;

3º passo: isola-se o y de um lado da igualdade;

4º passo: reescreve-se a função, substituindo y por f à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese esquerdo x parêntese direito.

Exemplo
Escrever a função inversa da função bijetora f(x) = 9x.

1º passo: y = 9x

2º passo: x = 9y

3º passo: y igual a x sobre 9

4º passo: f à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x sobre 9

Gráfico da Função Inversa

O gráfico de determinada função e de sua inversa é representado pela simetria em relação à reta y = x.

Gráfico da Função Inversa

Leia também sobre o que é função?

Exercícios de função inversa

Exercício 1

(FEI) Se a função real f é definida por f(x) = 1 / (x + 1) para todo x > 0, então f-1(x) é igual a:

a) 1 – x
b) x + 1
c) x -1 – 1
d) x -1 + 1
e) 1 / (x + 1)

Resposta correta: c) x -1 – 1

Resolução

Para escrever a inversa de uma função, podemos seguir os passos:

1º passo:

y igual a numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo x mais 1 parêntese direito fim da fração

2º passo:

x igual a numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo y mais 1 parêntese direito fim da fração

3º passo:

y mais 1 igual a 1 sobre x y igual a 1 sobre x menos 1 y igual a x à potência de menos 1 fim do exponencial menos 1

4º passo:

f à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x à potência de menos 1 fim do exponencial menos 1

Exercício 2

(UFPA) O gráfico de uma função f(x) = ax + b é uma reta que corta os eixos coordenados nos pontos (2, 0) e (0, -3). O valor de f (f -1(0)) é

a) 15/2
b) 0
c) –10/3
d) 10/3
e) –5/2

Resposta correta: b) 0

Estratégia:
Determinar a função
Determinar a inversa da função
Determinar o valor da inversa para x =0
Determinar o valor da função com o valor que encontramos anteriormente.

Resolução

Definindo a função f
Podemos fazer isto substituindo os pontos (2,0) e (0,-3) na lei de formação:

Se f(x) = ax + b

Para (2,0)

0 = a.2 + b
2a + b = 0 (equação I)

Para (0,-3)

-3 = a.0 + b
-3 = b (equação II)

Substituindo a equação II na equação I, temos:

2a + (-3) = 0
2a -3 = 0
2a = 3
a = 3/2

Agora que já determinamos a e b, podemos substiuí-los na lei de formação da função.

f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço a x espaço mais espaço b f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço numerador 3 x sobre denominador 2 fim da fração menos 3

Determinando a função inversa

y igual a numerador 3 x sobre denominador 2 fim da fração menos 3 x igual a numerador 3 y sobre denominador 2 fim da fração menos 3 x mais 3 igual a numerador 3 y sobre denominador 2 fim da fração 2 parêntese esquerdo x mais 3 parêntese direito igual a 3 y numerador 2 parêntese esquerdo x mais 3 parêntese direito sobre denominador 3 fim da fração igual a y

Dessa forma a inversa é:

f à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador 2 parêntese esquerdo x mais 3 parêntese direito sobre denominador 3 fim da fração

Determinando o valor de inversa para x = 0.

f à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a numerador 2 parêntese esquerdo 0 mais 3 parêntese direito sobre denominador 3 fim da fração f à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a numerador 2.3 sobre denominador 3 fim da fração igual a 2

Determinando o valor da função para x=2.

f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço numerador 3 x sobre denominador 2 fim da fração menos 3 f parêntese esquerdo 2 parêntese direito espaço igual a espaço numerador 3.2 sobre denominador 2 fim da fração menos 3 f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço 3 menos 3 igual a 0

Portanto, f (f -1(0)) =0.

Veja também:

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.