Vetores: soma, subtração e decomposição

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Vetores são setas que têm como características a direção, o módulo e o sentido. Na Física, além dessas características, os vetores têm nomes. Isso porque eles representam grandezas (força, aceleração, por exemplo). Se estivermos falando sobre o vetor aceleração, uma seta (vetor) estará em cima da letra a.

Vetores: soma, subtração e decomposiçãoDireção horizontal, módulo e sentido (da esquerda para a direita) do vetor aceleração

Soma de Vetores

A adição de vetores pode ser feita através de duas regras, seguindo os seguintes passos:

Regra do Paralelogramo

1.º Junte as origens dos vetores.
2.º Trace uma linha paralela a cada um dos vetores, formando um paralelogramo.
3.º Some a diagonal do paralelogramo.

Vetores: soma, subtração e decomposição

Importa referir que nesta regra podemos somar apenas 2 vetores de cada vez. Para somar três ou mais vetores, fazemos a soma de seta para a direita de A de espaço mais espaço seta para a direita de B de e, a resultante, somamos ao terceiro vetor seta para a direita de C de, e assim por diante.

Módulo do Vetor Soma

O valor, módulo ou intensidade do vetor soma é o número obtido utilizando a lei dos cossenos.

Sendo r, a e b os módulos dos vetores, seta para a direita de reto R de, seta para a direita de reto A de e seta para a direita de reto B de, r é dado por:

reto r ao quadrado igual a reto a ao quadrado mais reto b ao quadrado mais 2 ab. cosθ

Onde teta é o ângulo formado entre os vetores seta para a direita de reto A de e seta para a direita de reto B de.

Regra da Poligonal

1.º Junte os vetores, um pela origem, outro pela extremidade (ponta). Faça assim sucessivamente, conforme o número de vetores que precisa somar.
2.º Trace uma linha perpendicular entre a origem do 1.º vetor e a extremidade do último vetor.
3.º Some a linha perpendicular.

Vetores: soma, subtração e decomposição

Importa referir que nesta regra podemos somar vários vetores por vez.

Vale a propriedade comutativa da adição, por isso, a ordem em que se somam os vetores, não altera o resultado.

Caso a linha poligonal formada pelos vetores for fechada, o vetor resultante será nulo.

Subtração de Vetores

A operação de subtração de vetores pode ser feita pelas mesmas regras da adição.

Regra do Paralelogramo

1.º Faça linhas paralelas a cada um dos vetores, formando um paralelogramo.
2.º De seguida, faça o vetor resultante, o vetor que liga a extremidade do segundo para o primeiro vetor.
3.º Faça a subtração, considerando que -B é o vetor oposto de B.

Subtração entre os vetores A e B.

Ao posicionar os dois vetores, com mesma origem e conservando as direções e sentidos, o vetor resultante é o vetor que liga o final do segundo vetor na subtração (subtraendo), até o final do primeiro (minuendo).

Módulo do Vetor Subtração

O valor, módulo ou intensidade do vetor subtração é o número obtido utilizando a lei dos cossenos.

Sendo r, a e b os módulos dos vetores seta para a direita de reto R de, seta para a direita de reto A de e seta para a direita de reto B de, r é dado por

reto r ao quadrado igual a reto a ao quadrado mais reto b ao quadrado menos 2 ab. cosθ

Onde texto θ fim do texto é o ângulo formado entre os vetores seta para a direita de reto A de e seta para a direita de reto B de.

Regra da Poligonal

1.º Junte os vetores, um pela origem, outro pela extremidade (ponta). Faça assim sucessivamente, conforme o número de vetores que precisa somar.
2.º Faça uma linha perpendicular entre a origem do 1.º vetor e a extremidade do último vetor.
3.º Faça a subtração da linha perpendicular, considerando que -B é o vetor oposto de B.

Subtração entre os vetores A e B.

Decomposição de Vetores

Na decomposição vetorial, através de um único vetor podemos encontrar as componentes em dois eixos. Esses componentes são a soma de dois vetores que resultam no vetor inicial.

A regra do paralelogramo também pode ser usada nessa operação:

1.º Trace dois eixos perpendiculares entre si com origem no vetor existente.
2.º Trace uma linha paralela a cada um dos vetores, formando um paralelogramo.
3.º Some as componentes seta para a direita de reto a com reto x subscrito de e seta para a direita de a com y subscrito de e verifique que o seu resultado é igual ao do vetor que havia inicialmente.

Vetores: soma, subtração e decomposição

Neste caso, o módulo do vetor seta para a direita de a de é obtido pelo teorema de Pitágoras.

a ao quadrado igual a a com x subscrito ao quadrado mais a com y subscrito ao quadrado

Saiba mais:

Exercícios

Exercício 1

(PUC-RJ) Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, respectivamente, 1 cm e 2 cm. Supondo que cada ponteiro do relógio é um vetor que sai do centro do relógio e aponta na direção dos números na extremidade do relógio, determine o vetor resultante da soma dos dois vetores correspondentes aos ponteiros de hora e minuto quando o relógio marca 6 horas.

a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.
b) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.
c) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
d) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
e) O vetor tem módulo 1,5 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.

a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.

Resolução

Ilustrando a situação

Relógio de ponteiros marcando 6 h.

Adotando para cima como sentido positivo, o ponteiro dos minutos fica positivo e o das horas negativo. Somando os vetores:

2 + (-1) = 1 cm

Direção vertical, sentido para cima e módulo igual a 1 cm.

Vetor resultante

Vetor resultante de módulo igual a 1 cm, direção vertical e sentido para cima.

Exercício 2

(UFAL-AL) A localização de um lago, em relação a uma caverna pré-histórica, exigia que se caminhasse 200 m numa certa direção e, a seguir, 480 m numa direção perpendicular à primeira. A distância em linha reta, da caverna ao lago era, em metros,

a) 680
b) 600
c) 540
d) 520
e) 500

d) 520

Resolução

Representação esquemática

Vetores perpendiculares. Vertical para cima com módulo de 200 m e horizontal para a direita com módulo igual a 480 m.

A distância entre a caverna e o lago está representada pelo vetor vermelho e o módulo é obtido pelo teorema de Pitágoras.

d i s t â n c i a igual a raiz quadrada de 200 ao quadrado mais 480 ao quadrado fim da raiz d i s t â n c i a igual a raiz quadrada de 40 espaço 000 espaço mais espaço 230 espaço 400 fim da raiz d i s t â n c i a igual a raiz quadrada de 270 espaço 400 fim da raiz d i s t â n c i a igual a 520

Portando, a distância entre a caverna e o lago é de 520 metros.

Exercício 3

(UDESC) Um "calouro" do Curso de Física recebeu como tarefa medir o deslocamento de uma formiga que se movimenta em uma parede plana e vertical. A formiga realiza três deslocamentos sucessivos:

1) um deslocamento de 20 cm na direção vertical, parede abaixo;
2) um deslocamento de 30 cm na direção horizontal, para a direita;
3) um deslocamento de 60 cm na direção vertical, parede acima.

No final dos três deslocamentos, podemos afirmar que o deslocamento resultante da formiga tem módulo igual a:

a) 110 cm
b) 50 cm
c) 160 cm
d) 10 cm

b) 50 cm

Representação esquemática dos movimentos da formiga.

Três vetores consecutivos nas direções e sentidos: vertical para baixo, 20 cm, horizontal para a direita, 30cm, vertical para cima 60 cm.

Utilizando a regra da poligonal, o vetor representado em vermelho é o vetor resultante.

Vetor resultante.

Para o cálculo do módulo, percebemos que o vetor resultante, é idêntico ao vetor que compõe o seguinte triângulo retângulo com os catetos azuis:

Triângulo retângulo e vetor resultante.

Para determinar o módulo, aplicamos o teorema de Pitágoras.

R igual a raiz quadrada de 30 ao quadrado mais 40 ao quadrado fim da raiz R igual a raiz quadrada de 900 mais 1600 fim da raiz R igual a raiz quadrada de 2500 R igual a 50

Portanto, concluímos que o deslocamento resultante da formiga foi de 50 cm.

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.