Vetores

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Vetor é a representação que determina o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza vetorial. Os vetores são segmentos de reta orientados por uma seta em uma extremidade.

Nomeamos os vetores com uma letra e uma pequena seta.

Representação de um vetor.

Os vetores caracterizam as grandezas vetoriais, que são as grandezas que precisam de orientação, ou seja, direção e sentido. Alguns exemplos são: força, velocidade, aceleração e deslocamento. Não basta o valor numérico, é preciso descrever para onde atuam estas grandezas.

Módulo de um vetor

O módulo do vetor, ou intensidade, é seu valor numérico, seguido da unidade de medida da grandeza que ele representa, por exemplo:

Vetor de comprimento igual a 2 m.
Vetor que representa a grandeza de comprimento, com módulo de dois metros.

Indicamos o módulo entre barras mantendo a seta ou, apenas a letra, sem barras e sem seta.

Indicação de módulo entre barras e sem.

O comprimento do vetor é proporcional ao módulo. Um vetor maior representa um módulo maior.

Comparativo entre os módulos de dois vetores, um com 4 e outro com 3 unidades de medida.

O módulo do vetor reto b com seta para a direita sobrescrito é de 4 unidades, enquanto do vetor reto a com seta para a direita sobrescrito é de 2 unidades.

Direção de um Vetor

A direção do vetor é a inclinação da reta suporte em que ele está determinado. Só existe uma direção para cada vetor.

Vetores a, b e c com inclinação vertical, horizontal e obliqua.
Direções vertical, horizontal e oblíqua (inclinada) dos vetores.

Sentido de um Vetor

O sentido do vetor é mostrado pela seta. Uma mesma direção pode conter dois sentidos, como para cima ou para baixo e, para a direita ou esquerda.

Vetor d e seu oposto -d.
Vetores com mesma direção, horizontal, e sentidos opostos.

Adotando um sentido como positivo, o sentido oposto, o negativo, é representado com um sinal de subtração antes do símbolo do vetor.

Vetor Resultante

O vetor resultante é resultado de operações vetoriais e, equivale a um conjunto de vetores. É conveniente conhecer o vetor que representa o efeito produzido por mais de um vetor.

Por exemplo, um corpo pode estar sujeito a um conjunto de forças e, querermos saber o resultado que irão produzir, todas juntas, sobre este corpo. Cada força é representada por um vetor, mas o resultado pode ser representado por apenas um vetor: o vetor resultante.

A força resultante como resultado da ação das forças que atuam no caixote.

O vetor resultante, reto R com seta para a direita sobrescrito, de direção horizontal e sentido para a direita, é o resultado de somas e subtrações dos vetores reto a com seta para a direita sobrescrito, reto b com seta para a direita sobrescrito, reto c com seta para a direita sobrescrito e reto d com seta para a direita sobrescrito. O vetor resultante mostra uma tendência ao corpo se mover com esta orientação.

Os vetores com direção vertical, possuem o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo módulo. Como possuem sentidos opostos eles se anulam. Isto mostra que não haverá movimento do caixote na direção vertical.

Ao analisar os vetores c com seta para a direita sobrescrito e d com seta para a direita sobrescrito, que possuem mesma direção e sentidos opostos, percebemos que "sobra" uma parte da força para a direita, pois o vetor c com seta para a direita sobrescrito é maior que o d com seta para a direita sobrescrito, ou seja, o módulo de c com seta para a direita sobrescrito é maior.

Para determinar o vetor resultante, realizamos operações de soma e subtração de vetores.

Soma e subtração de vetores com mesma direção

Com sentidos iguais, somamos os módulos e mantemos a direção e o sentido.

Exemplo:

Soma dos vetores a e b, com mesma direção e sentido.

Graficamente colocamos os vetores em sequência, sem alterar seus módulos. O início de um deve coincidir com o final do outro.

Vale a propriedade comutativa da adição, pois a ordem não altera o resultado.

Com sentidos opostos, subtraímos os módulos e mantemos a direção. O sentido do vetor resultante é o do vetor com maior módulo.

Exemplo:
Subtração entre dois vetores com mesma direção.

O vetor reto R com seta para a direita sobrescrito é a parte que sobra de reto b com seta para a direita sobrescrito, após retirar reto a com seta para a direita sobrescrito.

Subtrair um vetor equivale a somar com o oposto do outro.
reto a espaço menos espaço reto b espaço igual a espaço reto a espaço mais espaço parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito espaço espaço

Soma e Subtração de Vetores Perpendiculares

Para somar dois vetores com direções perpendiculares, movimentamos os vetores sem alterar seus módulos, de modo que o início de um coincida o final do outro.

O vetor resultante liga o início do primeiro ao final do segundo.

Soma de dois vetores perpendiculares.

Para determinar o módulo do vetor resultante entre dois vetores perpendiculares, fazemos coincidir o início dos dois vetores.

Módulo do vetor resultante entre dois vetores perpendiculares.

O módulo do vetor resultante é determinado pelo teorema de Pitágoras.

começar estilo tamanho matemático 20px reto R igual a raiz quadrada de reto a ao quadrado mais reto b ao quadrado fim da raiz fim do estilo

Soma e subtração de vetores oblíquos

Dois vetores são oblíquos quando formam um ângulo entre suas direções, diferente de 0°, 90° e 180°. Para somar ou subtrair vetores oblíquos utilizam-se os métodos do paralelogramo e linha poligonal.

Método do paralelogramo

Para realizar o método, ou regra, do paralelogramo entre dois vetores e, desenhar o vetor resultante, seguimos os seguintes passos:

O primeiro passo é posicionar suas origens no mesmo ponto e traçarmos retas paralelas aos vetores, para formar um paralelogramo.

O segundo é traçar um vetor diagonal no paralelogramo, entre a união dos vetores e a união das retas paralelas.

Vetor resultante da soma de dois vetores oblíquos.

As linhas pontilhadas são paralelas aos vetores e a figura geométrica formada é um paralelogramo.

O vetor resultante é a linha que liga a origem dos vetores ao encontro das paralelas.

O módulo do vetor resultante é obtido pela Lei dos Cossenos.

começar estilo tamanho matemático 20px reto R igual a raiz quadrada de reto a ao quadrado mais reto b ao quadrado mais 2 ab. cosθ fim da raiz fim do estilo

Onde:

R é o módulo do vetor resultante;
a é o módulo do vetor a com seta para a direita sobrescrito;
b é o módulo do vetor pilha espaço b com seta para a direita acima;
reto teta é o ângulo formado entre as direções dos vetores.

O método do paralelogramo é utilizado para somar um par de vetores. Caso se queira somar mais de dois vetores, devemos somá-los dois a dois. Ao vetor resultante da soma dos dois primeiros, somamos o terceiro e assim por diante.

Outra forma de somar mais de dois vetores é usar o método da linha poligonal.

Método da linha poligonal

O método da linha poligonal é utilizado para encontrar o vetor resultante da adição de vetores. Este método é especialmente útil ao somar mais de dois vetores, como os seguintes vetores reto a com seta para a direita sobrescrito, reto b com seta para a direita sobrescrito, reto c com seta para a direita sobrescrito e reto d com seta para a direita sobrescrito.

Vetores em diferentes direções e orientações.

Para utilizar este método devemos ordenar os vetores de modo que o final de um (seta), coincida com o início de outro. É importante conservar o módulo, a direção e o sentido.

Após organizar todos os vetores na forma de uma linha poligonal, devemos traçar o vetor resultante que vai do início do primeiro até o final do último.

Vetor resultado determinado pelo método da linha poligonal.

É importante que o vetor resultante feche o polígono, com sua seta coincidindo com a seta do último vetor.

A propriedade comutativa é válida, pois a ordem que posicionamos os vetores-parcelas não altera o vetor resultante.

Decomposição Vetorial

Decompor um vetor é escrever os componentes que formam este vetor. Esses componentes são outros vetores.

Todo vetor pode ser escrito como uma composição de outros vetores, através de uma soma vetorial. Em outras palavras, podemos escrever um vetor como sendo resultante da soma de dois vetores, que chamamos componentes.

Utilizando um sistema cartesiano de coordenadas, com eixos x e y perpendiculares, determinamos os componentes do vetor.

começar estilo tamanho matemático 20px reto a com seta para a direita sobrescrito igual a espaço reto a com seta para a direita sobrescrito com reto x subscrito espaço mais espaço reto a com seta para a direita sobrescrito com reto y subscrito fim do estilo

O vetor reto a com seta para a direita sobrescrito é resultante da soma vetorial entre os vetores componentes reto a com seta para a direita sobrescrito com reto x subscrito e reto a com seta para a direita sobrescrito com reto y subscrito.

Decomposição vetorial

O vetor reto a com seta para a direita sobrescrito de inclinação reto teta forma um triângulo retângulo com o eixo x. Assim, determinamos os módulos dos vetores componentes utilizando trigonometria.

Módulo do componente ax.
começar estilo tamanho matemático 16px reto a com reto x subscrito igual a espaço reto a. cos espaço reto teta  fim do estilo

Módulo do componente ay.
começar estilo tamanho matemático 16px reto a com y subscrito igual a espaço reto a. sen espaço reto teta fim do estilo

O módulo do vetor reto a com seta para a direita sobrescrito é obtido pelo Teorema de Pitágoras.

começar estilo tamanho matemático 20px reto a igual a raiz quadrada de reto a com reto x subscrito ao quadrado mais reto a com reto y subscrito ao quadrado fim da raiz fim do estilo

Exemplo
Uma força é realizada ao puxar um bloco no chão. A força de módulo 50 N tem inclinação de 30° com a horizontal. Determine as componentes horizontal e vertical desta força.

Dados: sen espaço 30 sinal de grau igual a numerador 1 espaço sobre denominador 2 fim da fração reto e espaço cos espaço 30 sinal de grau igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração

Força oblíqua e suas componentes.

Fx espaço igual a espaço reto F espaço cos espaço reto teta igual a 50. numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a 25 raiz quadrada de 3 espaço reto N assimptoticamente igual 43 vírgula 30 espaço reto N Fy espaço igual a espaço reto F espaço sen espaço reto teta igual a 50.1 meio igual a 25 espaço reto N

Multiplicação de um número real por um vetor

Ao multiplicar um número real por um vetor, o resultado será um novo vetor, que possui as seguintes características:

  • Mesma direção, se o número real for diferente de zero;
  • Mesmo sentido, se o número real for positivo e, sentido contrário se for negativo;
  • O módulo será o produto entre o módulo do número real e o módulo do vetor multiplicado.

Produto entre um número real e um vetor

começar estilo tamanho matemático 20px reto u com seta para a direita sobrescrito igual a reto n reto v com seta para a direita sobrescrito fim do estilo

Onde:
reto u com seta para a direita sobrescrito é o vetor resultante da multiplicação;
reto n é o número real;
reto v com seta para a direita sobrescrito é o vetor que está sendo multiplicado.

Exemplo
Seja o número real n = 3 e o vetor reto v com seta para a direita sobrescrito de módulo 2, o produto entre eles é igual a:

Cálculo do módulo
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A direção e o sentido serão os mesmos.

Multiplicação de um número real n por um vetor v.

Exercício 1

(Enem 2011) A força de atrito é uma força que depende do contato entre corpos. Pode ser definida como uma força de oposição à tendência de deslocamento dos corpos e é gerada devido a irregularidades entre duas superfícies em contato. Na figura, as setas representam forças que atuam no corpo e o ponto ampliado representa as irregularidades que existem entre as duas superfícies.

Imagem de questão Enem 2011 sobre vetores

Na figura, os vetores que representam as forças que provocam o deslocamento e o atrito são, respectivamente:

a) Alternativa a - questão Enem sobre vetores.

b) Alternativa b - questão Enem sobre vetores.

c) Alternativa c - questão Enem sobre vetores.

d) Alternativa d - questão Enem sobre vetores.

e) Alternativa e - questão Enem sobre vetores.

Resposta correta: letra a) Alternativa a - questão Enem sobre vetores.

As setas representam os vetores das forças que atuam no movimento no sentido horizontal, sendo um par ação-reação, possuem sentidos opostos.

As setas verticais representam as ações da força Peso e da força Normal e, como são iguais, se anulam, não havendo movimento na direção vertical.

Exercício 2

(UEFS 2011) O diagrama vetorial da figura esquematiza as forças exercidas por dois elásticos em um dente de uma pessoa que faz tratamento ortodôntico.

Exercício sobre vetores

Admitindo-se F = 10,0N, sen45° = 0,7 e cos45° = 0,7, a intensidade da força aplicada pelos elásticos no dente, em N, é igual a

a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45

Resposta correta: c) 2√85

A intensidade da força aplicada no dente é obtida pela Lei dos Cossenos.

R ao quadrado igual a a ao quadrado mais b ao quadrado mais 2 a b cos teta

a e b são iguais a 10 N.

R ao quadrado igual a 10 ao quadrado mais 10 ao quadrado mais 2.10.10. cos 45 sinal de grau R ao quadrado igual a 100 mais 100 mais 2.10.10.0 vírgula 7 R ao quadrado igual a 340 R igual a raiz quadrada de 340

Fatorando a raiz quadrada, obtemos:

2 raiz quadrada de 85

Portanto, a intensidade da força resultante aplicada pelos elásticos no dente é de 2 raiz quadrada de 85 espaço reto N.

Exercício 3

(PUC RJ 2016) As forças F1 , F2 , F3 e F4 , na Figura, fazem ângulos retos entre si e seus módulos são, respectivamente, 1 N, 2 N, 3 N e 4 N.

Imagem associada a resolução da questão.

Calcule o módulo da força resultante, em N.

a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10

Resposta correta: d) 2√ 2

Utilizamos o método da linha poligonal para determinar o vetor resultante. Para isso, rearranjamos os vetores de modo que o final de um coincida com o início do outro, dessa forma:

Soma vetorial pelo método da linha poligonal.

Utilizando um sistema de coordenadas com origem no início do vetor resultante, podemos determinar os módulos de suas componentes, da seguinte forma:

Determinação do vetor resultante.

Dessa forma, temos que:

Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N

O módulo do vetor resultante é determinado pelo Teorema de Pitágoras.

R igual a raiz quadrada de 2 ao quadrado mais 2 ao quadrado fim da raiz R igual a raiz quadrada de 8 R igual a 2 raiz quadrada de 2

Portanto, módulo da força resultante é igual a 2 raiz quadrada de 2 espaço N.

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.