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Álgebra

Exercícios de equação biquadrada

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

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Pratique exercícios de equações biquadradas com gabarito e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.

Exercício 1

Determine a soma das raízes reais de $reto x à potência de 4 menos 2 reto x ao quadrado menos 3 igual a 0$ .

Ver Resposta

Resposta: A soma das raízes reais é zero.

Fatoramos o $x à potência de 4$ como $abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado$ e reescrevemos a equação como:

$abre parênteses reto x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado menos 2 reto x ao quadrado menos 3 igual a 0$

Fazemos $x ao quadrado igual a y$ e substituímos na equação.

$y ao quadrado menos 2 reto y menos 3 igual a 0$

Recaímos em uma equação do segundo grau com parâmetros:

a = 1
b = -2
c = -3

O discriminante da equação é:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 2 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1. parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito incremento igual a 4 espaço mais espaço 12 incremento igual a 16$

As raízes são:

$y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 2 mais 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito menos raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 2 menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 1$

y1 e y2 são as raízes da equação do segundo grau, mas estamos determinando as raízes da equação biquadrada, do 4º grau.

Utilizamos a relação $x ao quadrado igual a y$ para determinar as raízes da equação biquadrada para cada valor de y encontrado.

Para y1 = 3

$x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 3 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 3 x igual a menos raiz quadrada de 3 espaço e espaço x igual a raiz quadrada de 3$ são raízes reais.

Para y2 = -1

$x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a menos 1 x igual a raiz quadrada de menos 1 fim da raiz$

Como não há no conjunto dos números reais uma solução para raiz quadrada de um número negativo, as raízes são complexas.

Assim, a soma das raízes reais é:

$espaço menos raiz quadrada de 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 3 espaço igual a 0$

Ainda com dúvidas? Pergunta ao Ajudante IA do Toda Matéria

Exercício 2

Determine o conjunto solução da equação:

$x ao quadrado igual a menos numerador 81 sobre denominador x ao quadrado menos 18 fim da fração$

Ver Resposta

Resposta correta: $S igual a abre chaves menos 3 vírgula 3 fecha chaves$

Primeiro devemos manipular a equação a fim de posicionar $x ao quadrado$ no mesmo membro da igualdade.

$x ao quadrado parêntese esquerdo x ao quadrado menos 18 parêntese direito igual a menos 81$

Fazendo a distributiva e passando o 81 para o lado esquerdo:

$x à potência de 4 menos 18 x ao quadrado mais 81 igual a 0 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Temos um equação biquadrada, ou seja, duas vezes quadrada. Para resolver, utilizamos uma variável auxiliar, fazendo:

$x ao quadrado igual a y espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito$

Fatoramos o $x à potência de 4$ na equação I e o reescrevemos como $abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado$ . Assim, a equação I fica:

$abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado menos 18 x ao quadrado mais 81 igual a 0 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Utilizamos o artifício da equação II, substituindo na equação I, $x ao quadrado$ por $y$ .

$y ao quadrado menos 18 y mais 81 igual a 0 espaço$

Uma vez que temos uma equação do segunda grau, vamos resolvê-la utilizando Bhaskara.

Os parâmetros são:

a = 1
b = -18
c = 81

O delta é:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 18 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.81 incremento igual a 324 espaço menos espaço 324 incremento igual a 0$

As duas raízes serão iguais a:

$y com 1 subscrito igual a y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 18 parêntese direito espaço mais ou menos raiz quadrada de 0 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9$

Uma vez determinadas as raízes y1 e y2, as substituímos na equação II:

$x ao quadrado igual a 9 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 9 x igual a 3 espaço e espaço x igual a menos 3$

Desta forma, o conjunto solução da equação é:

$S igual a abre chaves menos 3 vírgula 3 fecha chaves$

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Exercício 3

A seguinte equação apresenta quatro raízes irracionais. Determine o conjunto solução da equação:

$x à potência de 4 espaço menos espaço 8 x ao quadrado espaço igual a menos 15$

Ver Resposta

Resposta: $S igual a chaveta esquerda menos raiz quadrada de 5 vírgula menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 5 chaveta direita$

Passando o 15 para o lado esquerdo:

$x à potência de 4 espaço menos espaço 8 x ao quadrado espaço mais 15 igual a 0$

Fatorando $x à potência de 4$ como $abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado$ :

$abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado menos espaço 8 x ao quadrado mais 15 igual a 0$

Fazendo $x ao quadrado igual a y$ e substituindo na equação:

$y ao quadrado menos espaço 8 y mais 15 igual a 0$

Na equação polinomial do segundo grau de variável y, os parâmetros são:

a = 1
b = -8
c = 15

Utilizando Bhaskara para determinar as raízes:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 8 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1.15 incremento igual a 64 menos 60 incremento igual a 4$

$x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito mais raiz quadrada de 4 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 8 mais 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a 10 sobre 2 igual a 5 x com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito menos raiz quadrada de 4 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 8 menos 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3$

A equação que estamos resolvendo é a biquadrada, de variável y, por isto temos que voltar com os valores para y.

Substituindo na relação $x ao quadrado igual a y$ :

Para a raiz x1=5
$y igual a x ao quadrado 5 igual a x ao quadrado x igual a mais ou menos raiz quadrada de 5 x igual a raiz quadrada de 5 espaço e espaço x igual a menos raiz quadrada de 5$

Para a raiz x2 = 3
$y igual a x ao quadrado 3 igual a x ao quadrado x igual a mais ou menos raiz quadrada de 3 x igual a raiz quadrada de 3 espaço e espaço x igual a menos raiz quadrada de 3$

Desta forma, o conjunto solução é: $S igual a chaveta esquerda menos raiz quadrada de 5 vírgula menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 5 chaveta direita$ .

Exercício 4

Determine o produto das raízes reais de $x à potência de 4 mais 2 x ao quadrado – 24 igual a 0$ .

Ver Resposta

Resposta: o produto das raízes reais da equação é -4.

Fatorando $x à potência de 4$ para $abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado$ e reescrevendo a equação biquadrática:

$abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado mais 2 x ao quadrado – 24 igual a 0$

Fazendo $x ao quadrado igual a y$ e substituindo na equação, temos uma equação do segundo grau de parâmetros:

$y ao quadrado mais 2 y – 24 igual a 0$

a = 1
b = 2
c = -24

O delta é:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 2 ao quadrado menos 4.1. menos 24 incremento igual a 4 mais 96 incremento igual a 100$

As raízes são:

$y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 2 mais raiz quadrada de 100 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço mais espaço 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a 4 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 2 menos raiz quadrada de 100 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço menos espaço 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 6$

A equação biquadrática está na variável x, portanto devemos voltar através da relação $x ao quadrado igual a y$ .

Para y1 = 4

$x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 4 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 4 x igual a 2 espaço e espaço x igual a menos 2$

Para y2 = -6

$x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a menos 6 x igual a raiz quadrada de menos 6 fim da raiz$

Como não há solução real para a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.

O produto das raízes reais será:

$2 espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço menos 4$

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Exercício 5

Determine as raízes da equação: $9 x parêntese esquerdo x ao cubo menos 10 x parêntese direito espaço igual a espaço menos 81$ .

Ver Resposta

Resposta: As raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.

Fazendo a distributiva e trazendo o -81 para o lado esquerdo:

$9 x parêntese esquerdo x ao cubo menos 10 x parêntese direito espaço igual a espaço menos 81 9 x à potência de 4 menos 90 x ao quadrado mais 81 igual a 0$

Para simplificar, podemos dividir ambos os lados por 9:

$numerador 9 x à potência de 4 sobre denominador 9 fim da fração menos numerador 90 x ao quadrado sobre denominador 9 fim da fração mais 81 sobre 9 igual a 0 sobre 9 x à potência de 4 menos 10 x ao quadrado mais 9 igual a 0$

Como obtemos uma equação biquadrada, vamos reduzí-la a uma equação do segundo grau, fazendo $x ao quadrado igual a y$ .

A equação fica:

$y ao quadrado menos 10 y espaço mais espaço 9 espaço igual a 0$

Os parâmetros são:

a = 1
b = -10
c = 9

O delta será:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.9 incremento igual a 100 espaço menos espaço 36 incremento igual a 64$

As raízes são:

$y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito mais raiz quadrada de 64 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 10 mais 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito menos raiz quadrada de 64 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 10 menos 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1$

Voltando para x, fazemos:

$x ao quadrado igual a y$

Para a raiz y1 = 9
$x ao quadrado igual a 9 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 9 x igual a 3 espaço e espaço x igual a menos 3$

Para a raiz y2 = 1

$x ao quadrado igual a 1 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 1 x igual a 1 espaço e espaço x igual a menos 1$

Logo, as raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.

Exercício 6

(SEDUC-RJ 2015) Seja S o conjunto solução da inequação $espaço x à potência de 4 espaço – espaço 20 x ao quadrado espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0$ para x pertencente ao conjunto dos números reais. A quantidade total de números inteiros que pertencem ao conjunto S é igual a

a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8

Ver Resposta

Resposta correta: d) 6

Fatorando o $x à potência de 4$ para $abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado$ e reescrevendo a inequação:

$espaço abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado – espaço 20 x ao quadrado espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0$

Fazendo $x ao quadrado igual a y$ e substituindo na inequação anterior:

$y ao quadrado – espaço 20 y espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0$

Resolvendo a inequação de parâmetros:

a = 1
b = -20
c = 64

Calculando o delta:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 20 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1.64 incremento igual a 400 espaço menos espaço 256 incremento igual a 144$

As raízes serão:

$y com 1 subscrito igual a numerador menos b espaço mais espaço raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 20 parêntese direito espaço mais espaço raiz quadrada de 144 sobre denominador 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a numerador 20 espaço mais espaço 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a 32 sobre 2 igual a 16 y com 2 subscrito igual a numerador menos b espaço menos espaço raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 20 parêntese direito espaço menos espaço raiz quadrada de 144 sobre denominador 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a numerador 20 espaço menos espaço 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a 4$

Substituindo as raízes y1 e y2 na relação entre x e y:

$x ao quadrado igual a y$

Para a raiz y1 = 16

$x ao quadrado igual a 16 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 16 x igual a 4 espaço e espaço x igual a menos 4$

Para a raiz y2 = 4

$x ao quadrado igual a 4 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 4 x igual a 2 espaço e espaço x igual a menos 2$

Analisando os intervalos que satisfazem a condição : $x à potência de 4 espaço – espaço 20 x ao quadrado espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0$

[ -4 ; -2 ] e [2 ; 4]

Logo, considerando apenas os inteiros que compõem os intervalos:

-4, -3, -2 e 2, 3, 4

Seis números inteiros satisfazem a inequação.

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Exercício 7

(ETAM 2015) A solução da equação $2 y à potência de 4 espaço menos espaço 8 y ao quadrado espaço mais espaço 6 espaço igual a espaço 0$ é:

a) $S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 3 fecha chaves$

b) $S igual a abre chaves menos 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço 3 fecha chaves$

c) $S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos raiz quadrada de 2 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 2 fecha chaves$

d) $S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 2 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 2 fecha chaves$

Ver Resposta

Resposta correta: a) $S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 3 fecha chaves$ .

Fatorando $y à potência de 4$ para $abre parênteses y ao quadrado fecha parênteses ao quadrado$ e reescrevendo a equação:

$2 abre parênteses y ao quadrado fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 8 y ao quadrado espaço mais espaço 6 espaço igual a espaço 0$

Fazendo $x igual a y ao quadrado$ e substituindo na equação acima:

$2 x ao quadrado espaço menos espaço 8 x espaço mais espaço 6 espaço igual a espaço 0$

Recaímos em uma equação do segundo grau de parâmetros:

a = 2
b = -8
c = 6

Calculando o delta:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 8 fecha parênteses ao quadrado menos 4.2.6 incremento igual a 64 espaço menos espaço 48 incremento igual a 16$

A raízes são:

$x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.2 fim da fração igual a numerador 8 mais 4 sobre denominador 4 fim da fração igual a 12 sobre 4 igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito menos raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.2 fim da fração igual a numerador 8 menos 4 sobre denominador 4 fim da fração igual a 4 sobre 4 igual a 1$

Substituindo as raízes da equação do segundo grau x1 e x2 na equação que relaciona x e y:

$y ao quadrado igual a x$

Para x = 3, temos:

$y ao quadrado igual a 3 y igual a mais ou menos raiz quadrada de 3 y igual a raiz quadrada de 3 espaço e espaço menos raiz quadrada de 3$

Para x = 1, temos:

$y ao quadrado igual a 1 y igual a mais ou menos raiz quadrada de 1 y igual a 1 espaço e espaço menos 1$

Logo, o conjunto solução é:

$S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 3 fecha chaves$

Exercício 8

.(Unirio-RJ) O produto das raízes positivas de $x à potência de 4 espaço menos espaço 11 x ao quadrado espaço mais espaço 18 espaço igual a espaço 0$ vale:

$a parêntese direito espaço 2 raiz quadrada de espaço 3 espaço fim da raiz b parêntese direito espaço 3 raiz quadrada de espaço 2 fim da raiz espaço c parêntese direito espaço 4 espaço raiz quadrada de 2 espaço fim da raiz d parêntese direito espaço 5 raiz quadrada de espaço 3 fim da raiz$

Ver Resposta

Resposta correta: $b parêntese direito espaço 3 raiz quadrada de espaço 2 fim da raiz espaço$ .

Fatorando $x à potência de 4$ igual a $abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado$ e reescrevendo a equação:

$abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 11 x ao quadrado espaço mais espaço 18 espaço igual a espaço 0$

Fazendo $x ao quadrado igual a y$ e reescrevendo a equação:

$y ao quadrado menos 11 y espaço mais espaço 18 espaço igual a espaço 0$

Na equação do segundo grau os parâmetros são;

a= 1
b= -11
c = 18

O delta é:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 11 fecha parênteses ao quadrado menos 4 espaço.1 espaço.18 incremento igual a 121 espaço menos espaço 72 incremento igual a 49$

$y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 11 parêntese direito mais raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 11 mais 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 11 parêntese direito menos raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 11 menos 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2$

Agora devemos substituir os valores das raízes da equação do segundo grau y1 e y2 na relação $x ao quadrado igual a y$ .

Para y1 = 9
$x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 9 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 9 x igual a 3 espaço e espaço x igual a menos 3$

Para y2 = 2

$x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 2 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 2 x igual a raiz quadrada de 2 espaço e espaço x igual a menos raiz quadrada de 2$

Desta forma, o produto das raízes positivas será:

$3 espaço sinal de multiplicação espaço raiz quadrada de 2 igual a 3 raiz quadrada de 2$

Pratique mais exercícios de:

Equação do 2º Grau - Exercícios
Exercícios sobre Fórmula de Bhaskara
Soma e produto
Exercícios sobre números complexos
Equação do 1º Grau - Exercícios
Exercícios de Inequação

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Equação do Segundo Grau
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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

ASTH, Rafael. Exercícios de equação biquadrada. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-equacao-biquadrada/. Acesso em:

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