Exercícios sobre a segunda lei da termodinâmica (com gabarito resolvido)

Resposta correta: alternativa d) 4.200 J, correspondente à soma do calor retirado do ambiente interno com a energia elétrica consumida.

O enunciado trouxe os seguintes dados:

• Energia elétrica consumida por segundo: W = 1.200 J
• Calor retirado do ambiente interno por segundo: Q_frio = 3.000 J

E a questão quer saber o calor liberado para o ambiente externo por segundo, ou seja, Q_frio = ?

Vamos usar os conceitos fundamentais para resolver essa questão:

1. Segunda Lei da Termodinâmica: O calor não flui espontaneamente de um corpo frio para um corpo quente. Para que isso ocorra (como no caso do ar-condicionado), é necessário realizar trabalho sobre o sistema.
2. Conservação de Energia: Em um ciclo termodinâmico, toda a energia deve ser contabilizada. No caso do ar-condicionado funcionando como bomba de calor:

• O aparelho retira calor do ambiente interno (Q_frio)
• Consome energia elétrica para realizar esse processo (W)
• Libera calor para o ambiente externo (Q_quente)

Pela conservação de energia, o calor total liberado para o ambiente externo é igual à soma do calor retirado do ambiente interno com a energia elétrica consumida pelo aparelho:

Q_quente = Q_frio + W

Substituindo os valores, temos:

Q_quente = 3.000 J + 1.200 J

Q_quente = 4.200 J

O ar-condicionado funciona da seguinte forma:

• Retira 3.000 J de calor do quarto (por isso o ambiente interno esfria)
• Consome 1.200 J de energia elétrica para realizar esse trabalho de transferência
• Libera 4.200 J para o ambiente externo (3.000 J + 1.200 J)

Esse é o motivo pelo qual o ar externo nas proximidades da unidade condensadora do ar-condicionado fica mais quente: ele recebe não apenas o calor retirado do ambiente interno, mas também a energia dissipada pelo funcionamento do aparelho.

Assim a resposta correta é a alternativa d) 4.200 J, correspondente à soma do calor retirado do ambiente interno com a energia elétrica consumida.

Resposta correta: alternativa a) I, II, III e IV.

O enunciado trouxe as seguintes informações:

Máquina A:

• Calor retirado da fonte quente: Q_A = 2.000 J
• Trabalho realizado: W_A = 500 J

Máquina B:

• Calor retirado da fonte quente: Q_B = 3.600 J
• Trabalho realizado: W_B = 1.200 J

Máquina C (proposta pelo estudante):

• Calor retirado da fonte quente: Q_C = 5.000 J
• Trabalho realizado (alegado): W_C = 4.500 J

O rendimento (η) de uma máquina térmica é definido como a razão entre o trabalho útil realizado e o calor retirado da fonte quente. Para expressá-lo em porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100, ou:

η = (W / Q_quente) . 100

Segundo a Segunda Lei da Termodinâmica, é impossível construir uma máquina térmica que:

• Converta totalmente calor em trabalho (rendimento de 100%)
• Transfira calor espontaneamente de uma fonte fria para uma fonte quente sem realizar trabalho

Tendo essas questões em mente, vamos analisar cada uma das afirmativas.

Análise da afirmação I: Para resolvê-la temos que calcular o rendimento da Máquina A:

η_A = (W_A / Q_B) . 100

η_B = (500 / 2.000) . 100

η_C = 0,25 . 100

η_C = 25%

Afirmação I é VERDADEIRA.

Análise da afirmação II: Para resolvê-la precisamos calcular o rendimento da Máquina B:

η_A = (W_A / Q_B) . 100

η_B = (1.200 / 3.600) . 100

η_C = 0,333 . 100

η_C ≈ 33,3%

Vamos comparar os rendimentos:

• Máquina A: η_A = 25%
• Máquina B: η_B ≈ 33,3%

Como 33,3% ＞ 25%, a Máquina B tem rendimento superior ao da Máquina A.

Afirmação II é VERDADEIRA.

Análise da afirmação III: Para resolvê-la temos que calcular o rendimento proposto para a Máquina C:

η_A = (W_A / Q_A) . 100

η_A = (4.500 / 5.000) . 100

η_A = 0,90 × 100

η_A = 90%

Análise:

Um rendimento de 90% é teoricamente possível para uma máquina térmica, desde que opere entre fontes com grande diferença de temperatura. O enunciado da segunda lei da termodinâmica (Enunciado de Kelvin-Planck) afirma que é impossível construir uma máquina térmica com rendimento de 100%, não de 90%.

Vamos fazer a verificação pela conservação de energia:

Calor rejeitado para a fonte fria:

Q_A = Q_B - W_B = 5.000 - 4.500 = 500 J

Como há rejeição de calor para a fonte fria (500 J), a máquina não viola a segunda Lei da Termodinâmica.

Porém, devemos considerar o contexto: as três máquinas operam com a mesma fonte quente (mesma temperatura). O rendimento máximo de uma máquina térmica operando entre duas fontes térmicas é dado pelo ciclo de Carnot:

η_B = 1 - (T_B / T_B)

Se as Máquinas A e B, operando com a mesma fonte quente, têm rendimentos de 25% e 33,3%, um rendimento de 90% operando entre as mesmas fontes térmicas seria impossível.

Afirmação III é VERDADEIRA.

Análise da afirmação IV:

A segunda Lei da Termodinâmica (Enunciado de Kelvin-Planck) estabelece que: "É impossível construir uma máquina térmica que, operando em um ciclo, converta completamente calor em trabalho."

Isso significa que toda máquina térmica real deve rejeitar alguma quantidade de calor para uma fonte fria, tornando impossível um rendimento de 100%.

Afirmação IV é VERDADEIRA.

Conclusão: Todas as afirmações (I, II, III e IV) são verdadeiras.

Resposta correta: alternativa c) 2,03.

O nunciado deu os seguinte dados:

Sistema 1 (Câmara frigorífica):

• Temperatura interna (fria): T₁_fria = -18°C = 255 K
• Temperatura externa (quente): T₁_quente = 27°C = 300 K

Sistema 2 (Refrigerador convencional):

• Temperatura interna (fria): T₂_fria = 3°C = 276 K
• Temperatura externa (quente): T₂_quente = 27°C = 300 K

Fórmula do COP para refrigerador ideal de Carnot:

COP = T_fria / (T_quente - T_fria)

Primeiro vamos calcular o COP do Sistema 1

COP₁ = T₁_quente / (T₁_fria - T₁_quente)

COP₁ = 255 / (300 - 255)

COP₁ = 255 / 45

COP₁ = 5,67

Agora vamos calcular o COP do Sistema 2

COP₂ = T₂_fria / (T₂_fria - T₂_quente)

COP₂ = 276 / (300 - 276)

COP₂ = 276 / 24

COP₂ = 11,5

Vamos então calcular a razão COP₂/COP₁

Razão = COP₂ / COP₁

Razão = 11,5 / 5,67

Razão ≈ 2,03

Resposta correta: alternativa b) Todas as situações ocorrem espontaneamente.

Para resolver essa questão usaremos a Segunda Lei da Termodinâmica (Enunciado de Clausius) que diz que o calor não flui espontaneamente de um corpo frio para um corpo quente.

Vamos analisar cada uma das situações em separado.

Análise da Situação A:

Café quente esfriando até a temperatura ambiente, onde acontece a transferência de calor do café (quente) para o ambiente (frio)

Espontaneidade: SIM - o calor flui naturalmente do corpo quente para o frio.

Análise da Situação B:

Aquecimento das mãos por atrito onde o trabalho mecânico (movimento das mãos) é convertido em calor (energia térmica)

Espontaneidade: SIM - uma vez iniciado o movimento, a conversão de energia cinética em calor ocorre espontaneamente.

Observação importante: Embora seja necessário trabalho muscular para esfregar as mãos, a transformação de energia mecânica em calor por atrito é um processo espontâneo e irreversível.

Análise da Situação C:

Gelo derretendo em água morna com transferência de calor da água (mais quente) para o gelo (mais frio) e derretimento do gelo.

Espontaneidade: SIM - o calor flui naturalmente do corpo mais quente para o mais frio.

Análise da Situação D:

Usina termoelétrica gerando eletricidade onde uma máquina térmica converte calor em trabalho útil.

Espontaneidade: SIM - o vapor quente naturalmente tende a se expandir e resfriar, movimentando a turbina no processo.

Conclusão:

Todas as quatro situações:

• Ocorrem espontaneamente (ou envolvem processos espontâneos)
• São processos irreversíveis (não retornam ao estado inicial sem intervenção externa)

Resposta correta: alternativa b) Todas as situações ocorrem espontaneamente.

Resposta correta: alternativa c) 1.542.857 J.

O enunciado trouxe os seguintes dados:

• Temperatura interna (fria): T_fria = -25°C = 248 K
• Temperatura externa (quente): T_quente = 35°C = 308 K
• COP do Modelo X: COP_X = 2,0
• COP do Modelo Y: COP_Y = 3,5
• Calor que penetra no compartimento: Q = 900.000 J por hora
• Tempo de viagem: t = 8 horas

O Coeficiente de Performance (COP) de um refrigerador é:

COP = Q_fria / W_quente

Onde:

Q_X = calor retirado do ambiente frio (refrigerado)

W_Y = trabalho (energia elétrica) consumido pelo sistema

Isolando o trabalho consumido, ficamos com:

W_retirado = Q_consumido / COP

Primeiro vamos calcular o calor total que deve ser retirado durante a viagem. Para manter a temperatura constante, o sistema deve retirar todo o calor que penetra no compartimento. Assim:

Q_retirado = 900.000 J/hora . 8 horas

Q_consumido = 7.200.000 J

Vamos calcular o consumo de energia do Modelo X:

W_consumido = Q_retirado / COP_total

W_total = 7.200.000 / 2,0

W_X = 3.600.000 J

Vamos calcular o consumo de energia do Modelo Y:

W_total = Q_X / COP_X

W_X = 7.200.000 / 3,5

W_Y = 7.200.000 / (7/2)

W_total = 7.200.000 . (2/7)

W_Y = 14.400.000 / 7

W_Y ≈ 2.057.142,86 J

Vamos então determinar a diferença de consumo

ΔW = W_Y - W_Y

ΔW = 3.600.000 - 2.057.142,86

ΔW ≈ 1.542.857,14 J

ΔW ≈ 1.542.857 J

Resposta correta: alternativa d) I, II, III e IV.

O enunciado trouxe os seguintes dados:

• Fonte quente: T_quente = 227°C = 500 K
• Fonte fria: T_fria = 27°C = 300 K

Configuração A:

• Rendimento: η_A = 35% = 0,35
• Calor absorvido: Q_A = 5,0 . 10⁶ J

Configuração B:

• Ciclo de Carnot ideal
• Calor absorvido: Q_B = 5,0 . 10⁶ J

Configuração C:

• Rendimento: η_C = 45% = 0,45
• Calor absorvido: Q_C = 4,0 . 10⁶ J

Vamos agora analisar cada uma das afirmações.

Análise da afirmação I: Precisamos calcular o rendimento máximo teórico (Carnot):

η_quente = 1 - (T_fria / T_A)

η_A = 1 - (300 / 500)

η_B = 1 - 0,6

η_C = 0,4 = 40%

Afirmação I é VERDADEIRA.

O rendimento máximo para qualquer máquina térmica operando entre 500 K e 300 K é 40%, conforme estabelecido pelo ciclo de Carnot.

Análise da afirmação II: Vamos verificar viabilidade da Configuração A através de seu rendimento:

η_C = 35% ＜ η_quente = 40% 

A Configuração A é viável pois seu rendimento está abaixo do limite de Carnot.

Vamos então calcular o trabalho produzido:

η = W / Q_fria

W_A = η_A × Q_B

W_C = 0,35 . 5,0 . 10⁶

W_C = 1,75 . 10⁶ J

Afirmação II é VERDADEIRA.

Análise da afirmação III: Vamos calcular o trabalho da Configuração B (Carnot):

W_Carnot = η_fria . Q_quente

W_Carnot = 0,40 . 5,0 . 10⁶

W_Carnot = 2,0 . 10⁶ J

Afirmação III é VERDADEIRA.

A máquina de Carnot, sendo ideal, produz o máximo trabalho possível para a quantidade de calor absorvida.

Análise da afirmação IV: Vamos verificar a viabilidade da Configuração C através de seu rendimento:

η_Carnot = 45% ＞ η_A = 40% ✗

A Configuração C propõe um rendimento de 45%, que é superior ao rendimento máximo teórico de Carnot (40%).

Segundo a segunda Lei da Termodinâmica, nenhuma máquina térmica operando entre duas fontes térmicas pode ter rendimento superior ao de uma máquina de Carnot operando entre as mesmas fontes.

Afirmação IV é VERDADEIRA, pois a Configuração C é fisicamente impossível!

Conclusão: Todas as afirmações (I, II, III e IV) são verdadeiras

Resposta correta: alternativa c) W_Beta ≈ 3,42 . 10⁶ J

O enunciado trouxe os seguintes dados:

Temperaturas:

• Fonte quente (superfície): T_quente = 30°C = 303 K
• Fonte fria (profundidade): T_fria = 5°C = 278 K

Protótipo Alpha (máquina térmica):

• η_Alpha = 60% de η_Carnot
• Calor absorvido em 10 min: Q_{quente, Alpha} = 3,0 . 10⁷ J

Protótipo Beta (refrigerador):

• COP_Beta = 75% de COP_Carnot
• Deve retirar da fonte fria o mesmo calor que Alpha rejeitou

Vamos resolver essa questão em etapas.

ETAPA 1: Análise do Protótipo Alpha (Máquina Térmica)

Primeiro vamos calcular o rendimento de Carnot

η_quente = 1 - (T_fria / T_Alpha)

η_Carnot = 1 - (278 / 303)

η_{quente, Alpha} = 1 - 0,9174

η_Beta = 0,0826 ≈ 8,26%

ETAPA 2: Cálculo do rendimento real do Protótipo Alpha

η_Carnot = 0,60 ×. η_quente

η_fria = 0,60 . 0,0826

η_Alpha ≈ 0,0496 ≈ 4,96%

ETAPA 3: Cálculo do trabalho produzido pelo Protótipo Alpha

η_Carnot = W_{quente, Alpha} / Q_Beta

W_Carnot = η_Carnot . Q_fria

W_quente = 0,0496 . 3,0 . 10⁷

W_Carnot ≈ 1,488 . 10⁶ J

ETAPA 4: Cálculo do calor rejeitado pelo Protótipo Alpha

Usaremos a conservação de energia:

Q_Carnot = W_Carnot + Q_Alpha

Q_Carnot = Q_Alpha - W_Alpha

Q_Alpha = 3,0 . 10⁷ - 1,488 . 10⁶

Q_Alpha = 30,0 . 10⁶ - 1,488 . 10⁶

Q_{quente, Alpha} ≈ 28,512 . 10⁶ J

Q_Alpha ≈ 2,8512 . 10⁷ J

ETAPA 5: Cálculo do COP de Carnot para o refrigerador

COP_Alpha = T_{quente, Alpha} / (T_Alpha - T_Alpha)

COP_{quente, Alpha} = 278 / (303 - 278)

COP_Alpha = 278 / 25

COP_{fria, Alpha} = 11,12

ETAPA 6: Cálculo do COP real do Protótipo Beta

COP_{fria, Alpha} = 0,75 . COP_{quente, Alpha}

COP_Alpha = 0,75 . 11,12

COP_{fria, Alpha} = 8,34

ETAPA 7: Cálculo do trabalho necessário para o Protótipo Beta

Lembre que o Protótipo Beta deve retirar da fonte fria o mesmo calor que Alpha rejeitou:

Q_{fria, Alpha} = Q_{fria, Alpha} ≈ 2,8512 . 10⁷ J

Para um refrigerador:

COP = Q_{fria, Alpha} / W

W_Carnot = Q_fria / COP_quente

W_fria = 2,8512 . 10⁷ / 8,34

W_Carnot ≈ 3,418 . 10⁶ J

W_Carnot ≈ 3,42 . 10⁶ J

Resposta correta: alternativa b) 7,55 . 10⁶ J.

O enunciado trouxe os seguintes dados:

Modo Verão (Refrigeração):

• T_{fria, verão} = 20°C = 293 K (interior)
• T_{quente, verão} = 35°C = 308 K (exterior)
• Eficiência: 80% do COP de Carnot
• Trabalho consumido: W_verão = 7,2 . 10⁶ J

Modo Inverno (Aquecimento):

• T_{fria, inverno} = 10°C = 283 K (exterior)
• T_{quente, inverno} = 25°C = 298 K (interior)
• Eficiência: 75% do COP de Carnot
• O modo inverno deve fornecer ao interior a mesma quantidade de calor que foi retirada no verão.

PARTE 1: Análise do Modo Verão (Refrigeração)

Primeiro vamos calcular o COP de Carnot para refrigeração

COP_{fria, verão}= T_{quente, verão} / (T_verão - T_{fria, inverno})

COP_{quente, inverno} = 293 / (308 - 293)

COP_{Carnot, refrigeração} = 293 / 15

COP_{fria, verão} ≈ 19,53

Vamos agora calcular o COP real do sistema no verão

COP_{quente, verão} = 0,80 . COP_{fria, verão}

COP_{Carnot, refrigeração} = 0,80 . 19,53

COP_{Carnot, refrigeração} ≈ 15,62

Por fim vamos calcular o calor retirado do interior no verão. Para um refrigerador temo:

COP = Q_{Carnot, refrigeração} / W

Q_{real, verão} = COP_{Carnot, refrigeração} . W_{real, verão}

Q_{real, verão} = 15,62 . 7,2 . 10⁶

Q_fria ≈ 112,5 . 10⁶ J

Q_{fria, verão} ≈ 1,125 . 10⁸ J

PARTE 2: Análise do Modo Inverno (Aquecimento)

Primeiro vamos calcular o COP de Carnot para aquecimento

COP_{real, verão} = T_verão / (T_{fria, verão} - T_{fria, verão})

COP_{fria, verão} = 298 / (298 - 283)

COP_{Carnot, aquecimento} = 298 / 15

COP_{quente, inverno} ≈ 19,87

Vamos agora calcular o COP real do sistema no inverno

COP_{quente, inverno} = 0,75 . COP_{fria, inverno}

COP_{Carnot, aquecimento} = 0,75 . 19,87

COP_{Carnot, aquecimento} ≈ 14,90

Vamos calcular o trabalho necessário no inverno, lembrando que no modo aquecimento, o sistema deve fornecer ao interior a mesma quantidade de calor que foi retirada no verão:

Q_{Carnot, aquecimento} = Q_{real, inverno} ≈ 1,125 . 10⁸ J

Para uma bomba de calor:

COP = Q_{Carnot, aquecimento} / W

W_{real, inverno} = Q_{real, inverno} / COP_{quente, inverno}

W_{fria, verão} = 1,125 . 10⁸ / 14,90

W_quente ≈ 7,55 . 10⁶ J