Leis de Kirchhoff: quais são, como usar e exercícios

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

As Leis de Kirchhoff são utilizadas para encontrar as intensidades das correntes em circuitos elétricos que não podem ser reduzidos a circuitos simples.

Constituídas por um conjunto de regras, elas foram concebidas em 1845 pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), quando ele era estudante na Universidade de Königsberg.

A 1ª Lei de Kirchhoff é chamada de Lei dos Nós, que se aplica aos pontos do circuito onde a corrente elétrica se divide. Ou seja, nos pontos de conexão entre três ou mais condutores (nós).

Já a 2ª Lei é chamada de Lei das Malhas, sendo aplicada aos caminhos fechados de um circuito, os quais são chamados de malhas.

Circuito

Lei dos Nós (primeira lei de Kirchhoff)

A Lei dos Nós, também chamada de primeira lei de Kirchhoff, indica que a soma das correntes que chegam em um nó é igual a soma das correntes que saem.

Esta lei é consequência da conservação da carga elétrica, cuja soma algébrica das cargas existentes em um sistema fechado permanece constante.

Exemplo

Na figura abaixo, representamos um trecho de um circuito percorrido pelas correntes i₁, i₂, i₃ e i₄.

Indicamos ainda o ponto onde os condutores se encontram (nó):

Neste exemplo, considerando que as correntes i₁ e i₂ estão chegando ao nó, e as correntes i₃ e i₄ estão saindo, temos:

i₁ + i₂ = i₃ + i₄

Em um circuito, o número de vezes que devemos aplicar a Lei dos Nós é igual ao número de nós do circuito menos 1. Por exemplo, se no circuito existir 4 nós, vamos usar a lei 3 vezes (4 - 1).

Veja sobre:

Lei das Malhas (segunda de Kirchhoff)

A Lei das Malhas é uma consequência da conservação da energia. Ela indica que quando percorremos uma malha em um dado sentido, a soma algébrica das diferenças de potencial (ddp ou tensão) é igual a zero.

Para aplicar a Lei das Malhas, devemos convencionar o sentido que percorremos o circuito.

A tensão poderá ser positiva ou negativa, conforme o sentido que arbitramos para a corrente e para percorrer o circuito.

Para isso, consideremos que o valor da ddp (tensão U) em um resistor é dado por:

U = R . i

Onde, R é a resistência e i é a corrente.

Se o sentido da corrente for o mesmo do sentido do percurso será positivo, e negativo se for no sentido contrário.

Para o gerador (fem) e receptor (fcem) utiliza-se o sinal de entrada no sentido que adotamos para a malha.

Como exemplo, considere a malha indicada na figura abaixo:

Aplicando a lei das malhas para esse trecho do circuito, teremos:

U_AB + U_BE + U_EF + U_FA = 0

Para substituir os valores de cada trecho, devemos analisar os sinais das tensões:

ε_1: positivo, pois ao percorrer o circuito no sentido horário (sentido que escolhemos) chegamos pelo polo positivo;
R₁.i₁: positivo, pois estamos percorrendo o circuito no mesmo sentido que definimos o sentido de i₁;
R₂.i₂: negativo, pois estamos percorrendo o circuito no sentido contrário que definimos para o sentido de i₂;
ε₂: negativo, pois ao percorrer o circuito no sentido horário (sentido que escolhemos), chegamos pelo polo negativo;
R₃.i₁: positivo, pois estamos percorrendo o circuito no mesmo sentido que definimos o sentido de i₁;
R₄.i₁: positivo, pois estamos percorrendo o circuito no mesmo sentido que definimos o sentido de i₁;

Considerando o sinal da tensão em cada componente, podemos escrever a equação desta malha como:

ε₁ + R₁.i₁ - R₂.i₂ - ε₂+ R₃.i₁ + R₄.i₁ = 0

Aprenda mais sobre:

Aplicação da Lei de Kirchhoff passo a passo

Para aplicar as Leis de Kirchhoff devemos seguir os seguintes passos:

1º Passo: Definir o sentido da corrente em cada ramo e escolher o sentido em que percorreremos as malhas do circuito. Essas definições são arbitrárias, contudo, devemos analisar o circuito para escolher coerentemente esses sentidos.
2º Passo: Escrever as equações relativas à Lei dos Nós e Lei das Malhas.
3º Passo: Juntar as equações obtidas pela Lei dos Nós e das Malhas em um sistema de equações e calcular os valores desconhecidos. O número de equações do sistema deve ser igual ao número de incógnitas.

Ao resolver o sistema, encontraremos todas as correntes que percorrem os diferentes ramos do circuito.

Se algum dos valores encontrados for negativo, significa que o sentido da corrente escolhido para o ramo tem, na verdade, sentido contrário.

Exemplo

No circuito abaixo, determine as intensidades das correntes em todos os ramos.

Solução

Primeiro, definimos um sentido arbitrário para as correntes e também o sentido que seguimos na malha.

Neste exemplo, escolhemos o sentido conforme esquema abaixo:

O próximo passo é escrever um sistema com as equações estabelecidas usando a Lei dos Nós e das Malhas. Sendo assim, temos:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com tabela linha com célula com i com 1 subscrito igual a i com 2 subscrito mais i com 3 subscrito fim da célula linha com célula com 20 menos 4. i com 2 subscrito menos 1. i com 1 subscrito igual a 0 fim da célula linha com célula com 7 mais 1. i com 3 subscrito menos 4. i com 2 subscrito igual a 0 fim da célula fim da tabela fim da célula linha com blank fim da tabela fecha$

Por fim, resolvemos o sistema. Começando substituindo i₃ por i₁ - i₂ nas demais equações:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 20 menos 4. i com 2 subscrito menos espaço i com 1 subscrito igual a 0 fim da célula linha com célula com 7 mais i com 1 subscrito menos i com 2 subscrito menos 4 i com 2 subscrito igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Resolvendo o sistema por soma, temos:

$Error converting from MathML to accessible text.$

$i com 2 subscrito igual a numerador menos 27 sobre denominador menos 9 fim da fração igual a 3 A$

Agora encontramos o valor de i₁, substituindo na segunda equação o valor encontrado para i_2:

$20 menos 4.3 menos i com 1 subscrito igual a 0 seta dupla para a direita 20 menos 12 menos i com 1 subscrito igual a 0 seta dupla para a direita 8 menos i com 1 subscrito igual a 0 seta dupla para a direita i com 1 subscrito igual a 8 A$

Finalmente, substituímos esses valores encontrados na primeira equação, para encontrar o valor de i_3:

$i com 3 subscrito igual a 8 menos 3 igual a 5 A$

Assim, os valores das correntes que percorrem o circuito são: 3A, 8A e 5A.

Para saber mais, veja também:

Exercícios sobre as Leis de Kirchhof resolvidos

Exercício 1

(ITA - 2013) Considere o circuito elétrico mostrado na figura formado por quatro resistores de mesma resistência, R = 10 Ω, e dois geradores ideais cujas respectivas forças eletromotrizes são ε₁ = 30 V e ε₂ = 10 V. Pode-se afirmar que as correntes i₁, i₂, i₃ e i₄ nos trechos indicados na figura, em ampères, são respectivamente de

a) 2, 2/3, 5/3 e 4
b) 7/3, 2/3, 5/3 e 4
c) 4, 4/3, 2/3 e 2
d) 2, 4/3, 7/3 e 5/3
e) 2, 2/3, 4/3 e 4

Ver Resposta

Resposta correta: b) 7/3, 2/3, 5/3 e 4

Pegando a malha do quadrado da esquerda, temos:

Malha I

corrente: i4
R = 10 Ω
ε₁ = 30 V e ε₂ = 10 V

Percorrendo a malha no sentido anti=horário:

-10 - 30 + 10.i4 = 0

Logo,

$menos 10 espaço menos espaço 30 espaço mais espaço 10. reto i 4 espaço igual a espaço 0 10. reto i 4 espaço igual a espaço 40 reto i 4 espaço igual a espaço 40 sobre 10 espaço igual a espaço 4 reto A negrito i negrito 4 negrito espaço negrito igual a negrito 4 negrito A$

Utilizando a malha do retângulo:

Malha II

10 . i1 + 10 . i2 - 30 = 0

10 ( i1 + i2) = 30

i1 + i2 = 30/10

i1 + i2 = 3 A

Utilizando a malha do quadrado da direita e lendo no sentido horário:

Malha III

10 . i3 - 10 - 10 . i2 = 0

10 (i3 - i2) = 10

i3 - i2 = 1 A

Também temos que a corrente i1 se divide em i2 e i3, ou seja:

i1 = i2 + i3 (equação IV)

Agora, devemos construir um sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com i 1 espaço mais espaço i 2 espaço igual a espaço 3 espaço espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço d a espaço m a l h a espaço I I parêntese direito fim da célula linha com célula com i 3 espaço menos espaço i 2 espaço igual a espaço 1 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço d a espaço m a l h a espaço I V parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha$

Pela equação IV:

i1 = i2 + i3

isolando i3:

i3 = i1 - i2

Vamos substituir i3 equação na equação da malha IV, no sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto i 1 espaço mais espaço reto i 2 espaço igual a espaço 3 espaço espaço parêntese esquerdo equação espaço da espaço malha espaço II parêntese direito fim da célula linha com célula com i 1 espaço menos espaço i 2 espaço menos espaço reto i 2 espaço igual a espaço 1 espaço parêntese esquerdo equação espaço da espaço malha espaço III parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto i 1 espaço mais espaço reto i 2 espaço igual a espaço 3 espaço espaço fim da célula linha com célula com i 1 espaço menos espaço 2 i 2 espaço igual a espaço 1 fim da célula fim da tabela fecha$

Multiplicamos por - 1 para alterar os valores da segunda equação.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto i 1 espaço mais espaço reto i 2 espaço igual a espaço 3 espaço espaço fim da célula linha com célula com menos i 1 espaço mais espaço 2 i 2 espaço igual a menos espaço 1 fim da célula fim da tabela fecha$

Somando as duas equações:

$3 i 2 espaço igual a espaço 2 negrito i negrito 2 negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 2 sobre negrito 3 negrito espaço negrito A$

Vamos utilizar a equação da malha II

$i 1 espaço mais espaço i 2 espaço igual a espaço 3 espaço i 1 espaço mais espaço 2 sobre 3 igual a 3 i 1 espaço igual a espaço 3 espaço menos espaço 2 sobre 3 i 1 espaço igual a espaço 9 sobre 3 menos 2 sobre 3 negrito i negrito 1 negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 7 sobre negrito 3 negrito espaço negrito A$

Utilizando a equação da malha III

$i 3 espaço menos espaço i 2 espaço igual a espaço 1 espaço i 3 espaço menos espaço 2 sobre 3 igual a 1 reto i 3 espaço igual a espaço 1 mais 2 sobre 3 reto i 3 espaço igual a espaço 3 sobre 3 mais 2 sobre 3 negrito i negrito 3 negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 5 sobre negrito 3 negrito espaço negrito A$

Conclusão:

As correntes em Amperes i1, i2, i3 e i4 são, respectivamente:

$negrito i negrito 1 negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 7 sobre negrito 3 negrito espaço negrito A negrito i negrito 2 negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 2 sobre negrito 3 negrito espaço negrito A negrito i negrito 3 negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 5 sobre negrito 3 negrito A negrito i negrito 4 negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 4 negrito espaço negrito A$

Exercício 2

(Unesp - 1993) Três resistores, P, Q e S, cujas resistências valem 10, 20 e 20 ohms, respectivamente, estão ligados ao ponto A de um circuito. As correntes que passam por P e Q são 1,00 A e 0,50 A, como mostra a figura adiante.

Determine as diferenças de potencial:

a) entre A e C;
b) entre B e C.

Ver Resposta

a) 30 V
b) 40 V

Dados:

P = 10 ohms
Q = 20 ohms
S = 20 ohms

iP = 1 A
IQ = 0,5 A

Objetivo:
Determinar a diferença de potencial entre dois pontos.

a) A corrente de S deve ser a soma das correntes de P e B

iP + IQ = iS
1 + 0,5 = iS
1,5 = iS

Para calcular a diferença de potencial:

V = R . i

onde R é a resistência de S.

V = 20 . 1,5 = 30 V

b) A diferença de potencial entre B e C será:

30 V + 10 V = 40 V

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.