Permutação com repetição

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto de n elementos, alguns destes são iguais.

Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, dividimos o fatorial do número total n de elementos, pelo produto entre os fatoriais dos elementos que se repetem.

$P com n subscrito com parêntese esquerdo a vírgula espaço b vírgula espaço c vírgula espaço reticências horizontais parêntese direito sobrescrito fim do sobrescrito espaço igual a numerador n fatorial sobre denominador a fatorial sinal de multiplicação b fatorial sinal de multiplicação c fatorial fim da fração$

$P com n subscrito$ é o número de permutações de n elementos.

$a vírgula espaço b vírgula espaço c vírgula espaço reticências horizontais$ são os números de elementos de cada tipo que se repetem.

$n fatorial$ é o fatorial do número total de elementos n.

Exemplo

Vamos determinar quantas permutações existem para a palavra OVO. Para facilitar vamos colorir as letras. Vejamos os anagramas da palavra OVO.

$Na espaço prática espaço as espaço seguintes espaço permutações espaço equivalem espaço reto a espaço apenas espaço uma. reto O reto V reto O reto O reto V reto O espaço Assim espaço como reto O reto O reto V reto O reto O reto V Também espaço com espaço reto V reto O reto O reto V reto O reto O$

O número de permutações simples com 3 elementos é dada por

$P com 3 subscrito espaço igual a espaço 3 fatorial espaço igual a espaço 3 espaço x espaço 2 espaço x espaço 1 espaço igual a espaço 6$

No entanto, algumas permutações se repetem e não podemos contá-las duas vezes. Para isso devemos dividir o valor de $P com 3 subscrito$ (pois a palavra possui três letras), por $P com 2 subscrito$ (pois a letra O se repete duas vezes).

$P com n subscrito espaço igual a espaço numerador 3 fatorial sobre denominador 2 fatorial fim da fração espaço igual a espaço numerador 3 sinal de multiplicação 2 sinal de multiplicação 1 sobre denominador 2 sinal de multiplicação 1 fim da fração espaço igual a espaço 6 sobre 2 espaço igual a espaço 3$

Dessa forma, o número de permutações para as letras da palavra OVO é igual a 3.

Vejamos este outro exemplo em que definiremos o número de permutações para as letras da palavra BANANA.

$P com 6 subscrito com parêntese esquerdo A vírgula N parêntese direito sobrescrito fim do sobrescrito igual a numerador 6 fatorial sobre denominador 3 fatorial sinal de multiplicação 2 fatorial fim da fração$

Onde:

$P com 6 subscrito com parêntese esquerdo A vírgula N parêntese direito sobrescrito fim do sobrescrito$ significa permutação com 6 elementos onde as letras A e N se repetem.

3! pois, a letra A se repete três vezes.

2! pois, a letra N se repete duas vezes.

Uma dica para facilitar o cálculo é desenvolver o 6! até chegar em 3!, fazendo a simplificação com o denominador. Veja o desenvolvimento.

$P com 6 subscrito com parêntese esquerdo A vírgula N parêntese direito sobrescrito fim do sobrescrito espaço igual a numerador 6 sinal de multiplicação 5 sinal de multiplicação 4 sinal de multiplicação 3 fatorial sobre denominador 3 fatorial sinal de multiplicação 2 fatorial fim da fração espaço texto cortando o 3! fim do texto P com 6 subscrito com parêntese esquerdo A vírgula N parêntese direito espaço sobrescrito fim do sobrescrito igual a numerador 6 sinal de multiplicação 5 sinal de multiplicação 4 sobre denominador 2 sinal de multiplicação 1 fim da fração espaço igual a espaço 120 sobre 2 espaço igual a espaço 60 espaço$

Sendo assim, o número de permutações para as letras da palavra BANANA é igual a 60.

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Edição por Frank Arellano

Profesor de Historia y Ciencias Sociales durante más de 15 años. Licenciado en Historia (2010) y Magíster Scientiae en Lingüística (2015) por la Universidad de Los Andes en Mérida.