Aumentos e descontos sucessivos: como calcular (com exemplos)

Aumentos e descontos sucessivos acontecem quando o preço de um produto sofre duas ou mais alterações seguidas, e cada nova porcentagem é calculada sobre o valor atualizado.

Imagine que uma camiseta custa R$ 100 e a loja oferece um desconto de 10%. O preço cai para R$ 90. Se, depois, a loja oferece mais 20% de desconto, essa redução é calculada sobre os R$ 90, e não sobre os R$ 100 iniciais. Assim, a camiseta passa a custar R$ 72.

O mesmo raciocínio vale para aumentos: cada novo reajuste é aplicado sobre o preço já alterado. Para fazer esses cálculos de forma rápida, podemos usar o fator multiplicativo, como veremos a seguir.

Neste conteúdo você encontra:

• Fator multiplicativo

  • Aumentos sucessivos
  • Descontos sucessivos
• Por que não se somam as porcentagens?
• Aumento seguido de desconto
• Taxa equivalente
• Ligação com juros compostos
• Perguntas frequentes
• Exercícios

Fator multiplicativo

Observe a seguinte situação:

Uma pessoa deseja comprar um determinado produto que custa R$ 1200, mas a loja, em pouco tempo, devido às condições da economia, reajusta (aumenta) o valor do produto duas vezes sucessivamente, sendo a primeira de 8% e a segunda de 12%. Qual será o valor final do produto?

Para responder a esta pergunta de forma rápida, precisamos aplicar o que chamamos de fator multiplicativo, que, para aumentos, é dado por (1 + taxa) e, para descontos, por (1 - taxa).

Em nosso caso, temos o primeiro aumento de 8% = 0,08 (taxa na forma decimal), logo o fator multiplicativo será 1,08. No segundo aumento, temos 12% = 0,12 (taxa na forma decimal), portanto o fator multiplicativo será 1,12.

O valor final é dado por:

Assim, o valor final do produto, após os aumentos sucessivos, é de R$ 1451,52.

Aumentos sucessivos

Se temos um produto que custa R$ 250 e quisermos aplicar dois aumentos sucessivos sendo o primeiro de 12% e o segundo de 15%, qual seria o valor final deste produto?

1º Passo: Calcular

Observe que, ao somar o valor original com a porcentagem, podemos colocar o 250 em evidência na expressão . Isso nos mostra que o fator multiplicativo de acréscimo é sempre dado por , onde é taxa na forma decimal, resultando, neste caso, um fator multiplicativo de .

2º Passo: Calculamos o segundo acréscimo de 15% sobre o valor já reajustado. Isso nos fornece um novo fator multiplicativo de , ou seja, . Logo, a operação completa para encontrar o preço é multiplicar o valor inicial pelos dois fatores sucessivamente:

O valor final do produto após a aplicação dos dois aumentos sucessivos é de R$ 322.

Descontos sucessivos

Considere a mesma situação, a de um produto que custa R$ 250, mas agora terá dois descontos sucessivos o primeiro de 10% e o segundo de 8%. Qual será o valor final do produto após os dois descontos.?

1º Passo: Calcular:

Vemos que é possível colocar o termo 250 em evidência da seguinte forma: , o que nos mostra que o fator multiplicativo agora é dado por , ou seja, .

2º Passo: No segundo desconto temos uma taxa de 8%, portanto o seu fator multiplicativo será de

Por fim, para descobrir o valor final basta multiplicar o valor inicial pelos dois fatores multiplicativos:

O valor final do produto após a aplicação dos dois descontos sucessivos é de R$ 207.

Portanto, para resolver aumentos e descontos sucessivos de forma rápida é abandonar a ideia de calcular o valor passo a passo e adotar os fatores multiplicativos. Lembre-se da regra geral:

• Aumentos, multiplicamos por ;
• Descontos, multiplicamos por .

Por que não se somam as porcentagens?

Não podemos somar as porcentagens, pois como são aumentos ou descontos sucessivos o primeiro a ser aplicado já altera o valor inicial e o segundo é feito sobre este novo valor e não sobre o valor inicial.

Exemplo: Um produto está custando R$ 1600 e o vendedor quer reajustar o preço. Para isso pretende aplicar dois aumentos sucessivos de 20% ou apenas um aumento de 40%. Em qual das duas situações o produto terá um valor maior?

1º Caso: Dois aumentos sucessivos de 20% usando o fator multiplicativo vamos obter:

2º Caso: apenas um aumento de 40%.

Por isso não podemos somar as porcentagens, pois no primeiro caso dos dois aumentos sucessivos temos exatamente o que conhecemos como juros compostos ou juros sobre juros.

Aumento seguido de desconto

É muito comum encontrarmos situações em que um produto sofre um aumento e, em seguida, um desconto (ou vice-versa). O raciocínio para resolver este tipo de problema é exatamente o mesmo: basta aplicar os fatores multiplicativos correspondentes.

Exemplo: Um produto custa R$ 550. Como está vendendo bastante o dono da loja resolve reajustar (aumentar) o seu valor em 20%, Passando um período ele percebe que as vendas caíram muito e resolve agora dar um desconto de 18%. Qual o valor final do produto?

Resolução:

• Fator de aumento de 20%: (1+0,20)=1,20(1+0,20)=1,20
• Fator de desconto de 10%: (1−0,10)=0,90(1−0,10)=0,90

Multiplicando o valor inicial pelos dois fatores: 200⋅1,20⋅0,90=216200⋅1,20⋅0,90=216

O valor final do produto é R$ 216,00.

Atenção: Perceba que o resultado final não é o mesmo que o valor inicial. Um aumento de 20% seguido de um desconto de 10% não anula o aumento, pois o desconto é calculado sobre um valor já maior.

Taxa equivalente

Como vimos anteriormente podemos efetuar os produtos dos fatores multiplicativos sejam: aumentos sucessivos, descontos sucessivos ou aumentos seguidos de descontos. Dessa forma conseguimos apenas um único fator multiplicativo que será a nossa taxa equivalente.

Onde é cada um dos fatores multiplicativos.

Exemplo: Qual a taxa equivalente a dois aumentos sucessivos de 20% e 18% seguido de um desconto de 15%?

• Aumento de 20%: 1,20
• Aumento de 18%: 1,18
• Desconto de 15%: 0,85

Efetuando o produto dos três fatores obtemos:

1,20 · 1,18 · 0,85 = 1,2036

Temos uma taxa equivalente de 20,36%.

Ligação com juros compostos

Como vimos ao longo deste artigo, sempre que aplicamos aumentos ou descontos sucessivos, estamos multiplicando o valor inicial por fatores multiplicativos. Esse processo é exatamente o mesmo princípio dos juros compostos.

Na fórmula de juros compostos temos:

Onde:

• M = montante (Valor final)
• C = capital inicial (Valor inicial)
• i = taxa de juros (na forma decimal)
• t = número de períodos

Perceba que o termo nada mais é do que o fator multiplicativo de um aumento. Quando elevamos esse fator a estamos aplicando o mesmo aumento vezes sucessivas.

Exemplo: Qual o montante e a taxa equivalente de um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% ao mês durante 3 meses, a juros compostos?

Isso é equivalente a aplicar três aumentos sucessivos de 10% sobre o valor inicial, ou seja, uma taxa equivalente de 33,1% no período, totalizando um monte de R$ 1331.

Perguntas frequentes

Por que dois descontos sucessivos de 50% não resultam em 100% de desconto (grátis)?

Porque o segundo desconto de 50% incide sobre o valor já reduzido, e não sobre o valor original.

Exemplo: Um produto de R$ 200,00 com dois descontos de 50%: .

O desconto total foi de que corresponde a um desconto de 75%, e não 100%.

Um aumento de 30% seguido de um desconto de 30% volta ao preço original?

Não! O fator equivalente é: Ou seja, há um desconto de 9% em relação ao valor inicial. Isso acontece porque o desconto de 30% é calculado sobre um valor maior (o já aumentado).

A ordem dos fatores altera o resultado final?

Não! Como estamos trabalhando com multiplicações, a ordem não importa (propriedade comutativa da multiplicação).

Exemplo: Aumento de 10% seguido de desconto de 20% dá o mesmo resultado que desconto de 20% seguido de aumento de 10%:

Como calcular a taxa equivalente de vários aumentos e descontos misturados?

Basta multiplicar todos os fatores multiplicativos correspondentes:

• Para aumentos: use ;
• Para descontos: use .

Depois, para encontrar a taxa equivalente:

• Se , houve um aumento equivalente a ;
• Se , houve um desconto equivalente a ;
• Se , não houve nem aumento e nem desconto.

O resultado será a porcentagem equivalente única de toda a sequência de operações.

Juros simples e juros compostos dão o mesmo resultado?

Apenas no primeiro período. A partir do segundo período, os juros compostos rendem mais, pois incidem sobre o montante acumulado (juros sobre juros), enquanto os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial.

Exercícios

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Veja também:

Como calcular porcentagem

Matemática financeira: principais conceitos e fórmulas