Frações Algébricas: o que são e como resolver (com exemplos e exercícios)
Frações algébricas são expressões matemáticas com letras. Elas representam uma divisão entre polinômios.
Assim como as frações numéricas, elas têm um numerador (a parte de cima da fração) e um denominador (a parte de baixo). A diferença é que, nas frações algébricas, os numeradores e denominadores podem conter variáveis (letras) além de números.
Uma fração algébrica é uma expressão do tipo 
, onde:
- P(x) e Q(x) são polinômios;
- Q(x)
0 (o denominador nunca pode ser zero).
Elas funcionam semelhantes às frações numéricas, porém, envolvem expressões com variáveis.
As frações algébricas aparecem frequentemente em equações, simplificações e operações matemáticas mais avançadas.
Exemplos de Frações Algébricas
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Condição de existência de uma fração algébrica
Para uma fração algébrica ser definida, o denominador não pode ser igual a zero. Toda fração é uma divisão onde o termo de baixo é o divisor. Como não existe divisão por zero, a expressão algébrica do denominador não pode resultar em zero.
Por isso, devemos sempre verificar os valores proibidos para as variáveis (valores que tornariam o denominador igual a zero).
Exemplo: Na fração 
, o valor proibido é 2, pois tornaria o denominador igual a zero. Veja que:
x - 2 = 0
x = 2
Assim, a fração algébrica acima existe para valores de x diferentes de 2.
Simplificação de Frações Algébricas
A simplificação é feita dividindo o numerador e o denominador pelos mesmos fatores, assim como nas frações numéricas.
Passos para simplificar:
- Fatorar o numerador e o denominador;
- Identificar fatores comuns;
- Cancelar os fatores comuns.
Exemplo 1: 
Fatorando: 
Cancelando o fator comum:
Isso significa que a expressão (x + 3) é equivalente a original .
Exemplo 2: 
Passo 1: Fatorar o numerador e denominador.
Numerador: 
(fator comum em evidência)
Denominador: 
(diferença de quadrados)
Passo 2: Simplificar.
Assim, 
é a forma simplificada de 
.
Dica importante!
Para simplificar frações algébricas é fundamental conhecer bem a fatoração de polinômios e os produtos notáveis.
Operações com Frações Algébricas
Adição e Subtração
Para adicionar ou subtrair frações algébricas, precisamos de um denominador comum:
- Encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;
- Transformar as frações para terem o mesmo denominador;
- Realizar a adição ou subtração dos numeradores;
- Simplificar o resultado, se possível.
Exemplo: 
Passo 1: Os denominadores são 
e 
. Como não têm fatores comuns, o MMC é 
.
Passo 2: Transformando as frações para terem o mesmo denominador.
Passo 3: Somando os termos no numerador:
Passo 4: Simplificação:
Como não há mais possibilidade de fatorar e simplificar a expressão, esta é a resposta:
Multiplicação
Para multiplicar frações algébricas:
- Multiplicar os numeradores entre si;
- Multiplicar os denominadores entre si;
- Simplificar o resultado, se possível.
Exemplo: 
Passo 1: Multiplicando:
Passo 2: Simplificando:
Divisão
Para dividir uma fração algébrica por outra:
- Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda;
- Simplificar o resultado, se possível.
Exemplo: 
Passo 1: Transformando em multiplicação pelo inverso:
Passo 2: Simplificando:
Exercícios sobre frações algébricas
Exercício 1
Simplifique: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Fatorando o numerador: 
Simplificando: 
Exercício 2
Calcule: 
a) x - 2
b) x - 1
c) x + 1
d) 1
e) x
Observe que 
, então:
Somando: 
Exercício 3
Simplifique: 
.
a) 
b) 
c)
d) 
e) 
Fatorando: 
Transformando em multiplicação:
Simplificando:
Exercício 4
Na expressão 
, quais são os valores proibidos para a variável x?
a) x = 0, x = 1, x = 2 e x = 5
b) x = 0, x = 2, x = 3 e x = 5
c) x = 0, x = 2 e x = 5
d) x = 1, x = 2 e x = 5
e) x = 2 e x = 5
Para encontrar os valores proibidos, precisamos identificar os valores que tornam qualquer um dos denominadores igual a zero.
Vamos analisar cada denominador:
Primeiro denominador: 
Segundo denominador: x - 5
Igualando cada fator a zero:
x = 0 (do fator x)
x = 1 (do fator x - 1)
x = 2 (do fator x - 2)
x = 5 (do denominador x - 5)
Portanto, os valores proibidos são x = 0, x = 1, x = 2 e x = 5.
Pratique mais com:
- Exercícios sobre frações algébricas
- Exercícios sobre produtos notáveis
- Exercícios sobre expressões algébricas
Aprenda mais sobre:
Referências Bibliográficas
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 6: Complexos, Polinômios e Equações. 8ª ed. São Paulo: Atual, 2013.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática Fundamental: Uma Nova Abordagem. São Paulo: FTD, 2011.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio - Volume 2. 6ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
ASTH, Rafael. Frações Algébricas: o que são e como resolver (com exemplos e exercícios). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/fracoes-algebricas/. Acesso em:
