Hexágono

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Hexágono é um polígono de seis lados e seis vértices, por isso, possui seis ângulos. O hexágono é uma figura plana, possui duas dimensões, formadas por uma linha poligonal fechada e simples, que não se cruza.

Os seis lados do hexágono são segmentos de reta, unidos em sequência pelos vértices que delimitam uma região interna.

O hexágono aparece em muitas formações na natureza, como em colmeias, cristais de gelo ou mesmo na química orgânica em estruturas de carbonos e outros átomos.

Hexágonos na natureza

Na arquitetura e engenharia os hexágonos são utilizados como elementos estruturais, decorativos, nos parafusos e chaves, para pavimentar vias e outras utilidades.

A palavra hexágono tem origem na língua grega, em que héx se refere ao número seis e, gonía, se refere a ângulo. Portanto, uma figura com seis ângulos.

Elementos dos Hexágonos

Elementos dos hexágonos

A, B, C, D, E e F são os vértices do hexágono.
Os segmentos AB com barra sobrescrito vírgula espaço BC com barra sobrescrito vírgula espaço CD com barra sobrescrito vírgula espaço DE com barra sobrescrito vírgula espaço EF com barra sobrescrito vírgula espaço FA com barra sobrescrito são os lados do hexágono.
alfa são os ângulos internos.
beta são os ângulos externos.
d são as diagonais.

Tipos de Hexágonos

Os hexágonos estão classificados em regulares e irregulares, convexos e não convexos, conforme as medidas de seus lados e ângulos.

Hexágonos Irregulares

Os hexágonos irregulares possuem lados e ângulos com medidas diferentes. Eles se dividem em dois grupos: os convexos e os não convexos.

Irregulares Convexos

Nos hexágonos convexos as diagonais possuem todos seus pontos na área do polígono e nenhum ângulo é maior que 180°.

Hexágonos irregulares convexos

Irregulares Não Convexos

Nos hexágonos não convexos, há diagonais que possuem pontos fora da área do polígono e, possuem ângulos maiores que 180°.

Hexágonos irregulares não convexos

Hexágonos regulares

Os hexágonos regulares possuem os seis lados e ângulos de mesma medida, por isso são equiláteros e equiângulos.

Todos os hexágonos regulares são convexos, pois nenhuma diagonal passa por fora do polígono.

Um hexágono regular é uma composição de seis triângulos equiláteros.

Hexágono composto por seis triângulos equiláteros.

Triângulos equiláteros são os que possuem os três lados e ângulos com a mesma medida.

Área do hexágono regular

A área do hexágono é calculada pela fórmula:

reto A igual a numerador 3 reto L ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração

Sendo L a medida do lado do hexágono, a área depende apenas de L.

Leia mais em área do hexágono.

Perímetro do hexágono regular

O perímetro do hexágono é a medida do lado multiplicada por seis.

reto P igual a 6 reto L

Apótema do hexágono

O Apótema do hexágono é um segmento de reta que liga o ponto médio de um lado até o ponto central do hexágono.

O apótema do hexágono regular é calculado por:

reto a igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração reto L

Apótema do hexágono.

Ângulos internos dos hexágonos regulares

A medida dos ângulos internos de um hexágono regular é 120°.

Ângulos internos de um hexágono

A soma dos seus ângulos internos é 720°.

120° x 6 = 720°

Ângulos externos dos hexágonos regulares

A medida dos ângulos externos de um hexágono regular é 60°.

Ângulo externo de um hexágono

A fórmula da medida dos ângulos externos de um polígono regular é:

reto a com reto e subscrito igual a 360 sobre reto n

Onde reto a com reto e espaço subscrito fim do subscritoé a medida dos ângulos externos e n é o número de lados.

Sendo n=6 nos hexágonos, temos:

reto a com reto e subscrito igual a 360 sobre 6 igual a 60 sinal de grau

Outro modo de conhecer a medida dos ângulos externos é através do par de ângulos interno e externo, pois somam 180°, sendo suplementares.

Como o ângulo interno é de 120°, basta fazer a subtração para determinar quantos graus faltam para 180°.

180° - 120° = 60°

Número de diagonais

O hexágono possui 9 diagonais.

Há duas maneiras de determinar o número de diagonais:

1ª maneira - contando.

2ª maneira - através da fórmula para diagonais de um polígono.

d igual a numerador n parêntese esquerdo n menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração

Em que n é o número de lados do polígono. Sendo n=6 no hexágono, temos:

d igual a numerador 6 parêntese esquerdo 6 menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9

Hexágono inscrito em uma circunferência

Um hexágono inscrito em uma circunferência está dentro da circunferência e, seus vértices estão sobre a circunferência.
Como o triângulo AOB da figura é equilátero, as medidas do raio da circunferência e do lado do hexágono, são iguais.

raio espaço da espaço circunferência espaço igual a espaço lado espaço do espaço hexágono

Hexágono inscrito em uma circunferência.

Hexágono circunscrito a uma circunferência

Um hexágono está circunscrito a uma circunferência quando a circunferência está dentro do hexágono.

A circunferência tangencia os lados do hexágono.

O raio da circunferência é igual ao apótema do hexágono. Substituindo, temos:

raio espaço da espaço circunferência espaço igual a espaço apótema espaço do espaço hexágono

Então

r espaço igual a espaço a r espaço igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração L

Hexágono circunscrito a uma circunferência

Ladrilhamento

O ladrilhamento ou tesselação é a prática de cobrir uma superfície com formas geométricas.

Os hexágonos regulares estão entre os poucos polígonos que preenchem totalmente uma superfície.

Ladrilhamento de hexágonos

Para que um polígono regular possa ladrilhar, ou seja, preencher uma superfície sem deixar falhas, a seguinte condição geométrica deve ser satisfeita:

reto A espaço soma espaço dos espaço ângulos espaço internos espaço dos espaço polígonos espaço ao espaço redor espaço de espaço um espaço vértice vírgula espaço deve espaço ser espaço igual espaço reto a espaço 360 sinal de grau.

Os ângulos internos de um hexágono regular, medem 120°. No ladrilhamento de hexágonos, percebemos que três hexágonos se encontram em um vértice. Desse modo, temos:

120° + 120° + 120° = 360°

Ladrilhamento de hexágonos e seus ângulos internos.
A soma dos ângulos ao redor do vértice é igual a 360°.

Exercício 1

(Enem 2021) Um estudante, morador da cidade de Contagem, ouviu dizer que nessa cidade existem ruas que formam um hexágono regular. Ao pesquisar em um sítio de mapas, verificou que o fato é verídico, como mostra a figura.

Exercício 1
Disponível em: www.google.com. Acesso em: 7 dez. 2017 (adaptado).
Ele observou que o mapa apresentado na tela do computador estava na escala 1 : 20 000. Nesse instante, mediu o comprimento de um dos segmentos que formam os lados desse hexágono, encontrando 5 cm.
Se esse estudante resolver dar uma volta completa pelas ruas que formam esse hexágono, ele percorrerá, em quilômetro,

a) 1.
b) 4.
c) 6.
d) 20.
e) 24.

Resposta correta: c) 6.

O perímetro do hexágono é:

P = 6.L
Como o lado mede 5 cm, temos P = 6.5 = 30 cm

De acordo com a escala, cada 1 cm no mapa equivalem a 20 000 cm na medida real.

Como o percurso será de 30 cm, temos:

30 x 20 000 = 600 000 cm

para transformar em Km, dividimos por 100 000.

600 000 / 100 000 = 6

Portanto, o estudante percorrerá 6 km.

Exercício 2

(EEAR 2013) Sejam um hexágono regular e um triângulo equilátero, ambos de lado l . A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é

Imagem para resolução de questão.

a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.

Resposta correta: b) 3.

O apótema do hexágono é:

a com h subscrito igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração l

O apótema do triângulo é:

a com t subscrito espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 6 fim da fração l

A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é:

a com h subscrito sobre a com t subscrito igual a numerador começar estilo mostrar numerador l raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador l raiz quadrada de 3 sobre denominador 6 fim da fração fim do estilo fim da fração igual a numerador l raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração. numerador 6 sobre denominador l raiz quadrada de 3 fim da fração igual a 3

A razão é igual a 3.

Exercício 3

(CBM-PR 2010) Considere uma placa de trânsito na forma de um hexágono regular com lados de l centímetros. Sabe-se que um hexágono regular de lados l é formado por seis triângulos equiláteros de lados l . Como a leitura desta sinalização (placa) depende da área A da placa, temos que A, em função do comprimento l, é dada por:

a) A igual a numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração. L à potência de 2 espaço fim do exponencial c m ao quadrado


b) A igual a numerador 3 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração. L ao quadrado espaço c m ao quadrado


c) A igual a numerador 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração. L ao quadrado espaço c m ao quadrado


d) A igual a 3 raiz quadrada de 2. L ao quadrado espaço c m ao quadrado


e) A igual a 3. L ao quadrado espaço c m ao quadrado

Resposta correta: b) A igual a numerador 3 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração. L ao quadrado espaço c m ao quadrado

A área de um triângulo equilátero é igual a

A igual a numerador b. h sobre denominador 2 fim da fração

No caso do hexágono a base é igual o lado, por isso vamos substituir b por L.
A altura do triângulo, é igual ao apótema do hexágono e pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras.

L ao quadrado igual a abre parênteses L sobre 2 fecha parênteses ao quadrado mais h ao quadrado h ao quadrado igual a L ao quadrado menos abre parênteses L sobre 2 fecha parênteses ao quadrado h ao quadrado igual a L ao quadrado menos L ao quadrado sobre 4 h ao quadrado igual a 3 sobre 4 L ao quadrado h igual a numerador L raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração

Voltando a fórmula do triângulo.

A igual a numerador b. h sobre denominador 2 fim da fração A igual a numerador L. começar estilo mostrar numerador L raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador L ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração

Como a área do hexágono é igual a seis triângulos, multiplicamos a área que calculamos por seis.

A igual a 6. numerador L ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração igual a numerador 3 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração. L ao quadrado

Como a medida da placa está em centímetros, a área será medida em cm².

Desta forma, temos:

A igual a numerador 3 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração. L ao quadrado espaço c m ao quadrado

Você pode se interessar por

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.