Números pares e ímpares: o que são e como defini-los

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os números pares são os terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8, enquanto os ímpares terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9. Todo número natural ou é par, ou ímpar, não havendo outra possibilidade. Na matemática, este conceito é chamado de paridade.

Pares e ímpares — Um teste simples para verificar se um número é par ou ímpar.

Números pares

Formalmente, há outro critério para afirmar que um número é par, o da divisão por 2. Todo número par é divisível por 2 e, ser divisível, significa que a divisão é exata, ou, o resto é zero.

Exemplos
$12 espaço dividido por espaço 2 espaço igual a espaço 6$

Como a divisão é exata, podemos afirmar que 12 é um número par.

É possível escrever uma expressão algébrica para os pares:

$reto p igual a 2 sinal de multiplicação reto n$

Onde,
p é um número par,
n é um número natural qualquer.

Isto equivale a dizer que todo número inteiro multiplicado por 2 é, por consequência, par. Ou seja, todo múltiplo de 2 é par.

Então, p é par, se e somente se, p for múltiplo de 2.

Números ímpares

Como todo número inteiro, não par, é ímpar, pode-se dizer que todo número não divisível por 2 é ímpar. Ainda, ao dividir um número ímpar por 2, o resto é 1.

Exemplo
$9 dividido por 2 igual a 4 vírgula 5$

O número 4,5 não é inteiro, o que significa que a divisão não é exata, logo, afirmamos que 9 é ímpar. Repare que o número 9 pode ser escrito na forma de uma multiplicação e uma adição.

$9 igual a 2 sinal de multiplicação 4 mais 1$

Da mesma forma, todo número ímpar também pode.

15 = 2 x 7 + 1
23 = 2 x 11 + 1
57 = 2 x 28 +1
109 = 2 x 54 + 1

Podemos generalizar uma expressão para todo número ímpar.

$reto i igual a 2 sinal de multiplicação reto n mais 1$

Onde,
i é um número ímpar,
n é um natural qualquer.

Então, i é ímpar, se e somente se, i não for múltiplo de 2. Outro teste é dividir por 2, caso o resto seja 1, o número é ímpar.

Conjunto dos números pares e ímpares

Os números pares e ímpares são agrupados em conjuntos. Estes conjuntos são infinitos, pois sempre há um sucessor.

O conjunto dos pares pode ser representado como:

PARES = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}

O conjunto dos ímpares:

ÍMPARES = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …}

Ambos estão contidos em um conjunto numérico maior, o conjunto dos números naturais. Sua representação é:

$reto números naturais igual a chaveta esquerda 0 vírgula espaço 1 vírgula espaço 2 vírgula espaço 3 vírgula espaço 4 vírgula espaço 5 vírgula espaço 6 vírgula espaço 7 vírgula espaço 8 vírgula espaço 9 reticências horizontais chaveta direita$

Propriedades e curiosidades

A soma de dois números pares resulta em um número par.
A soma de dois números ímpares resulta em um número par.
A multiplicação entre dois números ímpares resulta em um número ímpar.
A multiplicação entre dois pares, ou, um par e um ímpar, resulta em um número par.
Um número inteiro só pode ser classificado como par ou ímpar.
Par é todo número inteiro divisível por 2.
Ímpar é todo número inteiro não divisível por 2.
Pares e ímpares são sempre consecutivos.
Entre dois números pares sempre há um ímpar.
Entre dois números ímpares sempre há um par.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.