Comprimento da Circunferência

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

O comprimento de uma circunferência é a medida da união de todos os pontos que a formam, sendo expressa em alguma unidade de comprimento como: metro, centímetro ou milímetros, por exemplo.

Um modo prático para obter este comprimento é utilizar uma fita métrica flexível ou, desfazendo a circunferência, a esticando em linha e, assim, medir seu comprimento.

Como nem sempre é possível desfazer a circunferência ou utilizar uma fita métrica, obtemos esta medida através de um cálculo, utilizando uma medida mais fácil de obter: o raio.

Cálculo do comprimento da circunferência

Para calcular o comprimento de uma circunferência, multiplicamos três valores: o número natural 2, o número pi (pi) e a medida do raio da circunferência.

Fórmula do comprimento da circunferência

começar estilo tamanho matemático 18px reto C espaço igual a espaço 2 espaço. espaço reto pi espaço. espaço reto r fim do estilo

Onde:

  • pi (pi) é um número irracional, por isso, possui infinita casas decimais. Quanto maior o número de casas decimais utilizadas no cálculo, mais preciso será o valor. Aproximações aceitáveis para diversas aplicações são 3,14 ou, para maior precisão, 3,1415.
    Até a vigésima casa decimal, seu valor é 3,14159265358979323846.
  • r é a medida do raio da circunferência. O raio é um segmento que liga o centro a um ponto qualquer na circunferência.

A unidade de medida é a mesma utilizada na medição do raio.

Outra forma de escrever esta fórmula é substituir o 2 e o r por d, onde d é o diâmetro da circunferência.
Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, d = 2.r, a fórmula também pode ser escrita da seguinte forma:

começar estilo tamanho matemático 18px reto C espaço igual a espaço reto d espaço. espaço reto pi fim do estilo

Diâmetro e raio

Exemplo 1
Determine o comprimento de uma circunferência que possui um diâmetro de 1,70 m. Considere pi espaço igual a 3 vírgula 14 espaço.

Substituindo na fórmula com o diâmetro, temos:

C espaço igual a espaço d espaço. espaço pi C espaço igual a espaço 1 vírgula 70 espaço. espaço 3 vírgula 14 C espaço igual a espaço 5 vírgula 338 espaço

Portanto, o comprimento da circunferência é de 5,338 m.

Exemplo 2
Uma circunferência de raio igual a 1,5 cm, possui quantos centímetros de comprimento?

Utilizando a fórmula do comprimento da circunferência em função do raio, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C espaço igual a espaço 2 espaço. espaço reto pi espaço. espaço reto r reto C espaço igual a espaço 2 espaço. espaço 3 vírgula 14 espaço. espaço 1 vírgula 5 reto C espaço igual a espaço 9 vírgula 42 fim do estilo

Portanto, o comprimento desta circunferência é de 9,42 cm.

Dedução da fórmula do comprimento da circunferência

A fórmula para o cálculo do comprimento da circunferência vem de um fato curioso: ao dividir o comprimento de qualquer circunferência pela medida de seu diâmetro, sempre se obtêm o número pi (pi), não importa seu tamanho.

numerador c o m p r i m e n t o espaço d a espaço c i r c u n f e r ê n c i a espaço sobre denominador d i â m e t r o espaço d a espaço c i r c u n f e r ê n c i a espaço fim da fração espaço igual a espaço pi

Chamando o comprimento da circunferência de C e seu diâmetro de d, temos:

C sobre d igual a pi

Isolando o comprimento da circunferência, obtemos:

reto C espaço igual a espaço reto d espaço. espaço reto pi

Ou, como o diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio, podemos substituir d por 2r, e obter a fórmula:

reto C espaço igual a espaço 2 espaço. espaço pi espaço. espaço reto r espaço

Leia mais sobre circunferência.

Exercícios

Exercício 1

(Enem 2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O.

Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas.

Imagem associada a resolução da questão.

Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para π.

a) 55,5
b) 60,0
c) 175,5
d) 235,5
e) 240,0

Resposta correta: b) 60,0.

Resolução

Dados:
Raios de 3 e 4 metros para C2 e C1, respectivamente.
pi espaço= 3
Sessão de 10 voltas.

Objetivo: determinar quanto C1 percorre a mais que C2 em dez voltas.

Diferença = C1 - C2

Passo 1: determinar o comprimento de cada circunferência.

Aplicando os dados na fórmula do comprimento da circunferência temos:

C 2 espaço igual a espaço 2 espaço. espaço pi espaço. espaço r C 2 espaço igual a espaço 2 espaço. espaço 3 espaço. espaço 3 espaço igual a espaço 18 m  e  C 1 espaço igual a espaço 2 espaço. espaço 3 espaço. espaço 4 espaço igual a espaço 24 m

Passo 2: comprimento total percorrido em 10 voltas.

C2 = 18 . 10 = 180m

C1 = 24 . 10 = 240m

Conclusão
Fazendo a diferença entre entre C1 e C2,

C1 - C2 = 240 - 180 = 60m

Portanto, a criança no cavalo 1, percorrerá 60m a mais que a criança no cavalo 2.

Exercício 2

(Marinha 2016) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O. Sabendo que AB= 4 cm e AC= 2√5 cm, determine a medida do comprimento da circunferência.

Use pi espaço igual a espaço 3 vírgula 14

Imagem para questão 2.

a) 18,84 cm
b) 12,05 cm
c) 10,16 cm
d) 9 cm
e) 3 cm

Resposta correta: a) 18,84 cm

Resolução

Objetivo: determinar o comprimento da circunferência.

Estratégia: determinar a medida do diâmetro BC e usa-la para determinar o comprimento da circunferência.

Para o cálculo do comprimento da circunferência, precisamos determinar o diâmetro ou raio. Na figura, o segmento BC é o diâmetro da circunferência e, ao mesmo tempo, a hipotenusa de do triângulo retângulo ABC.

Cálculo de BC
Usando o Teorema de Pitágoras temos,

B C ao quadrado igual a B A ao quadrado espaço mais espaço A C ao quadrado

Substituindo os valores fornecidos no enunciado,

B C ao quadrado igual a 4 ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 2 raiz quadrada de 5 parêntese direito ao quadrado B C à potência de 2 fim do exponencial igual a 16 espaço mais espaço 4 espaço. espaço 5 B C ao quadrado igual a 16 espaço mais espaço 20 B C ao quadrado igual a 36 B C espaço igual a raiz quadrada de 36 B C espaço igual a espaço 6

Desta forma, o diâmetro BC é igual a 6 cm.

Cálculo do comprimento da circunferência

Utilizando a fórmula do comprimento da circunferência temos,

C espaço igual a d espaço. espaço pi

Onde d é o diâmetro BC. Substituindo os valores:

C espaço igual a espaço 6 espaço. espaço 3 vírgula 14 C espaço igual a espaço 18 vírgula 84

Conclusão
Desta forma, o comprimento da circunferência é de 18,84 cm.

Veja também:

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.