Exercícios sobre coeficiente de variação (com gabarito explicado)
Confira exercícios contextualizados e com gabarito explicado. Cada questão foi elaborada para ajudá-lo a interpretar corretamente o coeficiente de variação e a tomar decisões com base na consistência dos resultados, um passo essencial em qualquer análise estatística.
Questão 1
Uma empresa de consultoria financeira analisou o desempenho de dois fundos de investimento, Fundo A e Fundo B, ao longo de um ano. Os retornos mensais médios e os desvios padrão desses fundos foram os seguintes:
•Fundo A: Retorno médio = 1,5%, Desvio padrão = 0,3%
•Fundo B: Retorno médio = 2,0%, Desvio padrão = 0,5%
Um investidor busca o fundo que apresenta a menor variabilidade relativa em relação ao seu retorno médio, ou seja, o fundo mais consistente. Para tomar essa decisão, ele deve analisar o coeficiente de variação (CV), que é calculado pela razão entre o desvio padrão e a média, expresso em porcentagem.
Qual fundo o investidor deve escolher e qual o seu respectivo coeficiente de variação?
a) Fundo A, CV = 20%
b) Fundo A, CV = 50%
c) Fundo B, CV = 25%
d) Fundo B, CV = 40%
e) Ambos são igualmente consistentes.
- Fundo A: CV_A = (Desvio padrão / Retorno médio) * 100% CV_A = (0,3% / 1,5%) * 100% = 0,2 * 100% = 20%
- Fundo B: CV_B = (Desvio padrão / Retorno médio) * 100% CV_B = (0,5% / 2,0%) * 100% = 0,25 * 100% = 25%
O Fundo A apresenta o menor coeficiente de variação (20%), indicando menor variabilidade relativa e, portanto, maior consistência.
Questão 2
Um laboratório farmacêutico está testando a eficácia de três novos medicamentos (Med. X, Med. Y e Med. Z) na redução da pressão arterial. Foram realizados estudos clínicos com grupos de pacientes, e os resultados médios de redução da pressão arterial (em mmHg) e seus respectivos desvios padrão foram os seguintes:
•Med. X: Média = 12 mmHg, Desvio Padrão = 2.4 mmHg
•Med. Y: Média = 15 mmHg, Desvio Padrão = 3.5 mmHg
•Med. Z: Média = 10 mmHg, Desvio Padrão = 1.8 mmHg
O laboratório busca o medicamento que apresenta a maior consistência na redução da pressão arterial, ou seja, aquele com a menor variabilidade relativa. Qual medicamento deve ser escolhido com base no Coeficiente de Variação (CV)?
a) Med. X, com CV de 20%
b) Med. Y, com CV de 23.33%
c) Med. Z, com CV de 18%
d) Med. X, com CV de 22%
e) Med. Y, com CV de 25%
O Coeficiente de Variação (CV) é uma medida de variabilidade relativa, expressa em porcentagem, que compara o desvio padrão com a média. Quanto menor o CV, mais consistente (menor variabilidade relativa) é o resultado.
A fórmula é: CV = (Desvio Padrão / Média) × 100
Vamos calcular o CV para cada medicamento:
Med. X - Média = 12 mmHg - Desvio Padrão = 2.4 mmHg - CV = (2.4 / 12) × 100 = 20%
Med. Y - Média = 15 mmHg - Desvio Padrão = 3.5 mmHg - CV = (3.5 / 15) × 100 ≈ 23.33%
Med. Z - Média = 10 mmHg - Desvio Padrão = 1.8 mmHg - CV = (1.8 / 10) × 100 = 18%
O medicamento com menor CV é o Med. Z (18%), indicando maior consistência na redução da pressão arterial.
c) Med. Z, com CV de 18% (é a opção que corresponde ao medicamento com menor variabilidade relativa).
O laboratório busca consistência, não necessariamente a maior redução média. Mesmo que o Med. Y tenha a maior média (15 mmHg), seu CV é maior que o do Med. Z, indicando maior dispersão relativa. Portanto, o Med. Z é a melhor escolha para o critério de consistência.
Questão 3
Uma fábrica de parafusos monitora a qualidade de sua produção em três linhas diferentes (Linha A, Linha B e Linha C). Para isso, são coletadas amostras diárias do diâmetro dos parafusos produzidos. Os resultados médios e os desvios padrão (em milímetros) obtidos em um mês foram:
•Linha A: Média = 5.0 mm, Desvio Padrão = 0.15 mm
•Linha B: Média = 5.2 mm, Desvio Padrão = 0.18 mm
•Linha C: Média = 4.8 mm, Desvio Padrão = 0.12 mm
A gerência de qualidade deseja identificar a linha de produção que apresenta a maior consistência na fabricação dos parafusos, ou seja, a menor variabilidade relativa do diâmetro. Qual linha deve ser considerada a mais consistente com base no Coeficiente de Variação (CV)?
a) Linha A, com CV de 3.0%
b) Linha B, com CV de 3.46%
c) Linha C, com CV de 2.5%
d) Linha A, com CV de 3.5%
e) Linha B, com CV de 3.2%
O Coeficiente de Variação (CV) indica a variabilidade relativa em relação à média. Quanto menor o CV, maior a consistência.
Cálculo do CV para cada linha:
Linha A: CV = (0,15 / 5,0) × 100 = 3,0%
Linha B: CV = (0,18 / 5,2) × 100 ≈ 3,46%
Linha C: CV = (0,12 / 4,8) × 100 = 2,5% (menor CV = mais consistente)
Resposta correta:
c) Linha C, com CV de 2,5%
Questão 4
Três atletas: A, B e C — estão sendo avaliados para compor a equipe olímpica de natação, na prova dos 100 metros livre.
Os tempos médios (em segundos) e os respectivos desvios padrão obtidos em uma série de treinos foram:
•Atleta A: Média = 50.0 s, Desvio Padrão = 1.5 s
•Atleta B: Média = 49.5 s, Desvio Padrão = 1.2 s
•Atleta C: Média = 51.0 s, Desvio Padrão = 1.8 s
A comissão técnica precisa escolher um atleta para a final olímpica, uma etapa de alta pressão, em que é essencial manter um desempenho consistente e próximo do melhor nível.
Além disso, para conquistar a medalha de ouro, o atleta deve alcançar um tempo competitivo, geralmente inferior a 50 segundos.
Neste cenário, é crucial analisar o potencial de vitória e a confiabilidade do atleta. O melhor equilíbrio entre esses dois fatores pode ser avaliado utilizando o Coeficiente de Variação (CV), que mede a consistência do desempenho ao longo do tempo.
A escolha do atleta ideal deve considerar não só a habilidade de alcançar tempos rápidos, mas também sua capacidade de repetir esses desempenhos sob pressão.
a) Atleta A, pois seu CV de 3.0% indica boa consistência, e sua média de 50.0s o coloca na disputa.
b) Atleta B, pois seu CV de 2.42% é o menor, indicando maior consistência, e sua média de 49.5s é a mais rápida.
c) Atleta C, pois apesar de seu CV de 3.53% ser o maior, sua média de 51.0s ainda é competitiva.
d) Atleta A, pois sua média é mais fácil de ser mantida em uma prova de alta pressão.
e) Atleta C, pois a menor variabilidade é mais importante que a média de tempo neste cenário.
Cálculos CV:
A: (1.5/50.0)×100 = 3.0%
B: (1.2/49.5)×100 ≈ 2.42% (melhor)
C: (1.8/51.0)×100 ≈ 3.53%
Por quê o Atleta B?
- Tempo mais rápido (49.5s) - abaixo de 50s (meta para ouro)
- Menor CV (2.42%) - desempenho mais consistente sob pressão
Outros atletas:
A: CV maior (3.0%) e tempo no limite (50.0s)
C: CV alto (3.53%) e tempo lento (51.0s)
Conclusão: B é a melhor opção por unir velocidade competitiva e consistência ideal para uma final.
Questão 5
Um agrônomo está avaliando a produtividade de três variedades de milho: Variedade P, Variedade Q e Variedade R. Em diferentes parcelas de terra.
Abaixo estão os dados médios de colheita, em toneladas por hectare (t/ha), e os respectivos desvios padrão, que indicam a variação da produtividade entre as parcelas:
•Variedade P: Média = 8.0 t/ha, Desvio Padrão = 0.6 t/ha
•Variedade Q: Média = 9.5 t/ha, Desvio Padrão = 0.8 t/ha
•Variedade R: Média = 7.5 t/ha, Desvio Padrão = 0.5 t/ha
Um grande produtor rural, que busca maximizar o lucro, mas também minimizar o risco de uma colheita muito abaixo do esperado, precisa decidir qual variedade plantar em larga escala. Ele está disposto a aceitar um risco moderado para um potencial de retorno maior. Considerando os dados e o Coeficiente de Variação (CV), qual variedade seria a mais indicada para este produtor e por quê?
a) Variedade P, pois seu CV de 7.5% oferece um bom equilíbrio entre produtividade e consistência.
b) Variedade Q, pois apesar de seu CV de 8.42% ser o maior, sua média de 9.5 t/ha representa o maior potencial de lucro.
c) Variedade R, pois seu CV de 6.67% é o menor, indicando a maior estabilidade, ideal para produtores avessos ao risco.
d) Variedade P, pois é a única que não apresenta um risco muito alto ou um retorno muito baixo.
e) Variedade R, pois a consistência é sempre o fator mais importante na agricultura.
Para avaliar a melhor escolha considerando retorno e risco, usamos o Coeficiente de Variação (CV), que é dado por:
CV = (Desvio Padrão / Média) × 100
Calculando para cada variedade:
P: (0.6 / 8.0) × 100 = 7.5%
Q: (0.8 / 9.5) × 100 ≈ 8.42%
R: (0.5 / 7.5) × 100 ≈ 6.67%
Análise:
A Variedade Q tem a maior produtividade média (9.5 t/ha), mas também o maior CV, ou seja, maior risco relativo.
A Variedade R tem o menor CV (6.67%), sendo mais estável, mas com menor média.
A Variedade P está no meio termo.
O produtor aceita um risco moderado buscando maior retorno, então a Variedade Q, com maior produtividade média, mesmo com CV um pouco maior, é a escolha mais alinhada ao perfil dele.
Resposta correta: letra b.
Questão 6
Um professor de estatística está avaliando o desempenho de seus alunos em três disciplinas diferentes: Matemática, Física e Química ao longo de um semestre.
Foram coletadas as notas médias e os desvios padrão das avaliações em cada disciplina, conforme os dados a seguir:
Disciplina | Média | Desvio Padrão |
Matemática | 75 | 9 |
Física | 80 | 10 |
Química | 70 | 8 |
O professor dispõe de recursos limitados e precisa decidir em qual disciplina concentrar seus esforços para implementar novas estratégias pedagógicas que contribuam para a melhoria do desempenho geral dos alunos.
Para isso, é importante considerar dois fatores:
- A média das notas, que indica o desempenho geral da turma.
- A dispersão dos resultados, medida pelo Coeficiente de Variação (CV), que mostra o quanto as notas variam em relação à média.
A disciplina que apresentar baixa média associada a um baixo CV revela que a maioria dos alunos está com desempenho fraco de forma consistente, ou seja, não se trata de casos isolados, mas de uma necessidade generalizada. Nesse caso, a intervenção traria benefícios mais amplos para a turma como um todo.
Portanto, a escolha da disciplina para intervenção deve se basear na combinação entre baixa média e alta uniformidade de baixo desempenho, identificada por um CV reduzido.
a) Matemática, pois seu CV de 12.0% indica uma variabilidade moderada, mas a média de 75 sugere que há espaço para melhoria generalizada.
b) Física, pois apesar de ter a maior média (80), seu CV de 12.5% indica que a dispersão das notas é alta, podendo haver alunos com grande dificuldade.
c) Química, pois seu CV de 11.43% é o menor, indicando consistência, mas a média de 70 é a mais baixa, sugerindo que a turma inteira precisa de um reforço fundamental.
d) Matemática, pois a média não é a mais alta e o CV não é o mais baixo, indicando um equilíbrio que pode ser facilmente melhorado.
e) Física, pois a alta média e o alto CV indicam que os alunos de alto desempenho podem estar mascarando problemas de base.
Vamos calcular o Coeficiente de Variação (CV) de cada disciplina e interpretar os dados:
Dados:
Matemática: Média = 75, CV = 12.0%
Física: Média = 80, CV = 12.5%
Química: Média = 70, CV = 11.43%
Análise:
Física: Melhor média (80), maior variabilidade (CV = 12.5%) → desempenho alto, mas desigualdade entre alunos.
Matemática: Média intermediária (75), CV = 12.0% → variação moderada, alunos ainda precisam melhorar.
Química: Pior média (70), mas menor CV (11.43%) → turma com desempenho baixo porém consistente, ou seja, a maioria vai mal.
A alternativa correta é a letra c, pois identifica que em Química o problema é generalizado, o que exige reforço para toda a turma.
Resposta correta: letra c.
Questão 7
Uma rede de varejo está analisando o desempenho das vendas diárias, em milhares de reais, de três de suas lojas: Alfa, Beta e Gama ao longo de um mês.
Os dados apresentados são as médias de vendas diárias e os respectivos desvios padrão para cada loja:
•Loja Alfa: Média = R$ 15.000, DesvioPadrão = R$ 1.800
•Loja Beta: Média = R$20.000, DesvioPadrão = R$ 2.500
•Loja Gama: Média = R$12.000, DesvioPadrão = R$ 1.400
A gerência da rede planeja abrir uma nova loja e precisa decidir qual modelo de loja com base nas características das Lojas Alfa, Beta ou Gama seria o mais adequado para replicar em uma nova localidade.
A nova loja deve apresentar desempenho de vendas previsível e bom potencial de retorno. Para isso, é necessário considerar dois critérios:
- Previsibilidade: medida pela variabilidade das vendas, ou seja, quanto menor o desvio em relação à média, mais estável é o desempenho. Esse fator é representado pelo Coeficiente de Variação (CV).
- Potencial de retorno: avaliado pela média das vendas diárias. Quanto maior a média, maior o lucro potencial.
Assim, o modelo ideal será aquele que conseguir equilibrar baixa variabilidade (CV reduzido) com alta média de vendas, garantindo tanto estabilidade quanto rentabilidade. A escolha, portanto, deve ser justificada com base nesses dois indicadores.
a) Loja Alfa, pois seu CV de 12.0% oferece um bom equilíbrio entre consistência e um volume de vendas razoável.
b) Loja Gama, pois seu CV de 11.67% é o menor, indicando a maior consistência, tornando-a a opção mais segura para replicação.
c) Loja Alfa, pois é a única que não apresenta um risco muito alto ou um retorno muito baixo, sendo a mais equilibrada.
d) Loja Gama, pois a consistência é sempre o fator mais importante na expansão de negócios, independentemente do volume de vendas.
e) Loja Beta, pois apesar de seu CV de 12.5% ser o maior, sua média de R$ 20.000 indica o maior potencial de vendas, o que pode compensar a variabilidade.
Vamos calcular o Coeficiente de Variação (CV) de cada loja para avaliar o equilíbrio entre previsibilidade (risco) e potencial de retorno (vendas médias).
Fórmula do CV:
CV = (Desvio Padrão / Média) × 100
Cálculos:
Loja Alfa: (1.800 / 15.000) × 100 = 12.0%
Loja Beta: (2.500 / 20.000) × 100 = 12.5%
Loja Gama: (1.400 / 12.000) × 100 ≈ 11.67%
Loja Beta tem o maior faturamento médio (R$ 20.000), o que representa maior potencial de lucro, embora tenha o maior CV (12.5%), indicando risco um pouco maior.
Loja Gama tem o menor CV (11.67%), ou seja, maior estabilidade, mas com menor média de vendas (R$ 12.000).
Loja Alfa tem desempenho intermediário.
Como a gerência deseja previsibilidade, mas não abre mão de bom potencial de retorno, a Loja Beta é a mais indicada, pois seu maior faturamento compensa o leve aumento de risco.
Resposta correta: letra e.
Para estudar mais: Coeficiente de variação: o que é e aprenda a calcular (com exemplos)
Veja também: Índice de Exercícios de Matemática do 3º ano do Ensino Médio
Referências Bibliográficas
CARNETTI, Roselí; DANTAS, Ruy Celso; SANTOS, Wagner Luiz dos. Matemática: contexto & aplicações – volume único. São Paulo: Moderna, 2016.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume 3. São Paulo: Atual, 2010.
OLIVEIRA, Eliezer; PAIVA, Manoel; CASTRO, José Roberto Bonjorno de. Matemática: Ciências e Aplicações – volume 3. São Paulo: Ática, 2012.
TOLEDO, Maria do Carmo Domite de et al. Matemática e Realidade – volume 3. São Paulo: Editora Harbra, 2013.
CANELLAS, William. Exercícios sobre coeficiente de variação (com gabarito explicado). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-coeficiente-de-variacao-com-gabarito-explicado/. Acesso em: