Medidas de Dispersão


Medidas de dispersão são parâmetros estatísticos usados para determinar o grau de variabilidade dos dados de um conjunto de valores.

A utilização desses parâmetros tornam a análise de uma amostra mais confiável, visto que as variáveis de tendência central (média, mediana, moda) muitas vezes encondem a homogeneidade ou não dos dados.

Por exemplo, vamos considerar que um animador de festas infantis selecione as atividades de acordo com a média das idades das crianças convidadas para uma festa.

Vamos considerar as idades de dois grupos de crianças que irão participar de duas festas diferentes:

  • Festa A: 1 ano, 2 anos, 2 anos, 12 anos, 12 anos e 13 anos
  • Festa B: 5 anos, 6 anos, 7 anos, 7 anos, 8 anos e 9 anos

Em ambos os casos, a média é igual a 7 anos de idade. Entretanto, ao observar as idades dos participantes podemos admitir que as atividades escolhidas sejam iguais?

Portanto, neste exemplo, a média não é uma medida eficiente, pois não indica o grau de dispersão dos dados.

As medidas de dispersão mais usadas são: amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Amplitude

Essa medida de dispersão é definida como a diferença entre a maior e a menor observação de um conjunto de dados, isto é:

A = Xmaior - Xmenor

Por ser uma medida que não leva em consideração como os dados estão efetivamente distribuídos, não é muito utilizada.

Exemplo

O setor de controle de qualidade de uma empresa seleciona ao acaso peças de um lote. Quando a amplitude das medidas dos diâmetros das peças ultrapassa 0,8 cm o lote é rejeitado.

Medidas de dispersão

Considerando que em um lote foram encontrados os seguintes valores 2,1 cm; 2,0 cm; 2,2 cm; 2,9 cm; 2,4 cm, esse lote foi aprovado ou rejeitado?

Solução

Para calcular a amplitude, basta identificar o menor e o maior valores, que neste caso, são 2,0 cm e 2,9 cm. Calculando a amplitude, temos:

A = 2,9 - 2 = 0,9 cm

Nesta situação o lote foi rejeitado, pois a amplitude ultrapassou o valor limite.

Variância

A variância é determinada pela média dos quadrados das diferenças entre cada uma das observações e a média aritmética da amostra. O cálculo é feito com base na seguinte fórmula:

V igual a numerador começar estilo mostrar soma de i igual a 1 para n de fim do estilo parêntese esquerdo x com i subscrito menos M A parêntese direito ao quadrado sobre denominador n fim da fração

Sendo,

V: variância
xi: valor observado
MA: média aritmética da amostra
n: número de dados observados

Exemplo

Considerando as idades das crianças das duas festas indicadas anteriormente, vamos calcular a variância desses conjuntos de dados.

Festa A

Dados: 1 ano, 2 anos, 2 anos, 12 anos, 12 anos e 13 anos

Média: M A com a subscrito igual a numerador 1 mais 2 mais 2 mais 12 mais 12 mais 13 sobre denominador 6 fim da fração igual a 42 sobre 6 igual a 7 espaço a n o s

Variância:

V com a subscrito igual a numerador parêntese esquerdo 1 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 2 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 2 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 12 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 12 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 13 menos 7 parêntese direito ao quadrado sobre denominador 6 fim da fração V com a subscrito igual a numerador 36 mais 25 mais 25 mais 25 mais 25 mais 36 sobre denominador 6 fim da fração aproximadamente igual 28 vírgula 67 espaço a n o s ao quadrado

Festa B

Dados: 5 anos, 6 anos, 7 anos, 7 anos, 8 anos e 9 anos

Média: M A com b subscrito igual a numerador 5 mais 6 mais 7 mais 7 mais 8 mais 9 sobre denominador 6 fim da fração igual a 7 espaço a n o s
Variância:

V com b subscrito igual a numerador parêntese esquerdo 5 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 6 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 7 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 7 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 8 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 9 menos 7 parêntese direito ao quadrado sobre denominador 6 fim da fração V com b subscrito igual a numerador 4 mais 1 mais 0 mais 0 mais 1 mais 4 sobre denominador 6 fim da fração aproximadamente igual 1 vírgula 67 espaço a n o s ao quadrado

Observe que apesar da média ser igual, o valor da variância é bem diferente, ou seja, os dados do primeiro conjunto são bem mais heterogêneos.

Desvio Padrão

O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Desta forma, a unidade de medida do desvio padrão será a mesma da unidade de medida dos dados, o que não acontece com a variância.

Assim, o desvio padrão é encontrado fazendo-se:

D P igual a raiz quadrada de V

Quando todos os valores de uma amostra são iguais, o desvio padrão é igual a 0. Sendo que, quanto mais próximo de 0, menor é a dispersão dos dados.

Exemplo

Considerando ainda o exemplo anterior, vamos calcular o desvio padrão para as duas situações:

D P com a subscrito igual a raiz quadrada de 28 vírgula 67 fim da raiz igual a 5 vírgula 35 espaço a n o s D P com b subscrito igual a raiz quadrada de 1 vírgula 67 fim da raiz igual a 1 vírgula 29 espaço a n o s

Agora, sabemos que a variação das idades do primeiro grupo em relação a média é de aproximadamente 5 anos, enquanto que a do segundo grupo é de apenas 1 ano.

Coeficiente de Variação

Para encontrar o coeficiente de variação, devemos multiplicar o desvio padrão por 100 e dividir o resultado pela média. Essa medida é expressa em porcentagem.

C V igual a numerador 100. D P sobre denominador M A fim da fração

O coeficiente de variação é utilizado quando precisamos comparar variáveis que apresentam médias diferentes.

Como o desvio padrão representa o quanto os dados estão dispersos em relação a uma média, ao comparar amostras com médias diferentes, a sua utilização pode gerar erros de interpretação.

Desta forma, ao confrontar dois conjuntos de dados, o mais homogêneo será aquele que apresentar menor coeficiente de variação.

Exemplo

Um professor aplicou uma prova para duas turmas e calculou a média e o desvio padrão das notas obtidas. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Desvio PadrãoMédia
Turma 12,66,2
Turma 23,08,5

Com base nesses valores, determine o coeficiente de variação de cada turma e indique a turma mais homogênea.

Solução

Calculando o coeficiente de variação de cada turma, temos:

C V com 1 subscrito igual a numerador 100.2 vírgula 6 sobre denominador 6 vírgula 2 fim da fração aproximadamente igual 42 sinal de percentagem C V com 2 subscrito igual a numerador 100.3 sobre denominador 8 vírgula 5 fim da fração aproximadamente igual 35 sinal de percentagem

Desta forma, a turma mais homogênea é a turma 2, apesar de apresentar maior desvio padrão.

Exercícios Resolvidos

1) Em um dia de verão as temperaturas registradas em uma cidade ao longo de um dia estão apresentadas na tabela abaixo:

HorárioTemperaturaHorárioTemperaturaHorárioTemperaturaHorárioTemperatura
1 h19 ºC7 h16 ºC13 h24 ºC19 h23 ºC
2 h18 ºC8 h18 ºC14 h25 ºC20 h22 ºC
3 h17 ºC9 h19 ºC15 h26 ºC21 h20 ºC
4 h17 ºC10 h21 ºC16 h27 ºC22 h19 ºC
5 h16ºC11 h22 ºC17 h25 ºC23 h18 ºC
6 h16 ºC12 h23 ºC18 h24 ºC0 h17 ºC

Com base na tabela, indique o valor da amplitude térmica registrada neste dia.

Para encontrar o valor da amplitude térmica, devemos subtrair o valor mínimo da temperatura do valor máximo. Pela tabela, identificamos que a menor temperatura foi 16 ºC e a maior 27 ºC.

Desta forma, a amplitude será igual a:

A = 27 - 16 = 11 ºC

2) O treinador de uma equipe de voleibol resolveu medir a altura dos jogadores da sua equipe e encontrou os seguintes valores: 1,86 m; 1,97 m; 1,78 m; 2,05 m; 1,91 m; 1,80 m. Em seguida, calculou a variância e o coeficiente de variação das alturas. Os valores aproximados foram respectivamente:

a) 0,08 m2 e 50%
b) 0,3 m e 0,5%
c) 0,0089 m2 e 4,97%
d) 0,1 m e 40%

tamanho 12px M tamanho 12px A tamanho 12px igual a numerador tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 86 tamanho 12px mais tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 97 tamanho 12px mais tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 78 tamanho 12px mais tamanho 12px 2 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 05 tamanho 12px mais tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 91 tamanho 12px mais tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 80 sobre denominador tamanho 12px 6 fim da fração tamanho 12px igual a tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895  tamanho 12px V tamanho 12px igual a numerador tamanho 12px parêntese esquerdo tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 86 tamanho 12px menos tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895 tamanho 12px parêntese direito à potência de tamanho 12px 2 tamanho 12px mais tamanho 12px parêntese esquerdo tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 97 tamanho 12px menos tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895 tamanho 12px parêntese direito à potência de tamanho 12px 2 tamanho 12px mais tamanho 12px parêntese esquerdo tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 78 tamanho 12px menos tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895 tamanho 12px parêntese direito à potência de tamanho 12px 2 tamanho 12px mais tamanho 12px parêntese esquerdo tamanho 12px 2 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 05 tamanho 12px menos tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895 tamanho 12px parêntese direito à potência de tamanho 12px 2 tamanho 12px mais tamanho 12px parêntese esquerdo tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 91 tamanho 12px menos tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895 tamanho 12px parêntese direito à potência de tamanho 12px 2 tamanho 12px mais tamanho 12px parêntese esquerdo tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 80 tamanho 12px menos tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895 tamanho 12px parêntese direito à potência de tamanho 12px 2 sobre denominador tamanho 12px 6 fim da fração tamanho 12px V tamanho 12px igual a tamanho 12px 0 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 008892  tamanho 12px D tamanho 12px P tamanho 12px igual a raiz quadrada de tamanho 12px 0 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 008892 fim da raiz tamanho 12px igual a tamanho 12px 0 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 094296  tamanho 12px C tamanho 12px V tamanho 12px igual a numerador tamanho 12px 100 tamanho 12px. tamanho 12px 0 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 094296 sobre denominador tamanho 12px 1 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 895 fim da fração tamanho 12px igual a tamanho 12px 4 tamanho 12px vírgula tamanho 12px 97 tamanho 12px sinal de percentagem

Alternativa: c) 0,0089 m2 e 4,97%

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