Mudança de base de logaritmos: fórmula e exercícios resolvidos

A mudança de base é a propriedade que permite reescrever um logaritmo de qualquer base como uma divisão entre dois logaritmos de uma base nova, escolhida por você. Sua fórmula é:

em que c é a base nova.

As propriedades do produto, do quociente e da potência permitem combinar logaritmos quando eles possuem a mesma base. Quando os logaritmos de uma expressão estão em bases diferentes, podemos utilizar a mudança de base para escrevê-los em uma base comum.

O segundo problema é ainda mais concreto: a calculadora científica só tem duas teclas de logaritmo, a de base 10 e a de base e. Para calcular log₃ 7, não existe tecla — é a mudança de base que converte esse logaritmo em algo que a calculadora sabe fazer.

Neste conteúdo você encontra:

• Fórmula da mudança de base
• Como aplicar a mudança de base passo a passo
• Duas consequências úteis da fórmula
• Mudança de base na calculadora
• Mudança de base em equações exponenciais
• Mudança de base no ENEM: as escalas logarítmicas
• Perguntas frequentes
• Exercícios

Fórmula da mudança de base

A fórmula tem três letras e cada uma cumpre um papel diferente. O logaritmando b permanece onde está, a base antiga a vai para o denominador e a base nova c aparece embaixo dos dois logaritmos.

As condições de existência precisam ser respeitadas em todos os logaritmos envolvidos: a > 0 e a ≠ 1, b > 0, e c > 0 e c ≠ 1. A base nova c é livre — você escolhe a que tornar a conta mais simples.

A demonstração cabe em três linhas. Chame de x o log de b na base a, o que significa que aˣ = b. Aplicando o logaritmo na base c aos dois lados, temos log de aˣ na base c = log de b na base c.

Pela propriedade da potência, o expoente sai multiplicando: x · (log de a na base c) = log de b na base c. Isolando x, chega-se a x = (log de b na base c) ÷ (log de a na base c), que é exatamente a fórmula.

Como aplicar a mudança de base passo a passo

Veja o cálculo de log₈ 32, um logaritmo que parece difícil e fica simples depois da conversão.

1º passo — escolher a base nova. Tanto 8 quanto 32 são potências de 2, então a base 2 é a escolha inteligente.

2º passo — aplicar a fórmula. log₈ 32 = log₂ 32 ÷ log₂ 8.

3º passo — calcular cada logaritmo. Como 2⁵ = 32, temos log₂ 32 = 5. Como 2³ = 8, temos log₂ 8 = 3.

4º passo — dividir. log₈ 32 = 5 ÷ 3 = 5/3.

Note que a escolha da base nova não muda o resultado, só o trabalho. Se você tivesse escolhido a base 10, chegaria a log 32 ÷ log 8 ≈ 1,5051 ÷ 0,9031 ≈ 1,667, que é o mesmo 5/3 em forma decimal. A diferença é que pela base 2 a resposta sai exata e sem calculadora. Antes de aplicar a fórmula, revise as demais propriedades dos logaritmos, porque é a propriedade da potência que sustenta a demonstração.

Duas consequências úteis da fórmula

Aplicar a mudança de base com escolhas específicas de c produz dois atalhos que aparecem com frequência em vestibular.

Inverter a base e o logaritmando. Tomando c = b, a fórmula vira log de b na base a = (log de b na base b) ÷ (log de a na base b). Como o log de b na base b vale 1, sobra:

log de b na base a = 1 ÷ log de a na base b

Ou seja, trocar a base pelo logaritmando equivale a inverter a fração. Se log₂ 5 ≈ 2,32, então log₅ 2 ≈ 1 ÷ 2,32 ≈ 0,43.

Retirar o expoente da base. Quando a base é uma potência, o expoente sai dividindo:

log de b na base aⁿ = (1 ÷ n) · log de b na base a

Assim, como 9 = 3², temos log₉ 7 = (1/2) · log₃ 7. Esse atalho costuma ser a chave para simplificar expressões longas antes de qualquer cálculo numérico.

Há ainda um produto que aparece em prova disfarçado de expressão complicada: log₂ 5 · log₅ 8. Passando os dois para a base 10, fica (log 5 ÷ log 2) · (log 8 ÷ log 5). O log 5 cancela, sobra log 8 ÷ log 2, que é log₂ 8 = 3.

Mudança de base na calculadora

Nas calculadoras científicas mais comuns, as teclas log e ln calculam, respectivamente, os logaritmos nas bases 10 e e, o logaritmo natural (base e ≈ 2,718). Para calcular um logaritmo em outra base, podemos utilizar a mudança de base.

Para calcular log₃ 7, o caminho é converter para a base 10: log₃ 7 = log 7 ÷ log 3. Digitando, obtemos log 7 ≈ 0,8451 e log 3 ≈ 0,4771, e a divisão resulta em aproximadamente 1,7712.

O mesmo valor sai pela base e: ln 7 ÷ ln 3 ≈ 1,9459 ÷ 1,0986 ≈ 1,7712. Isso confirma na prática o que a fórmula garante em teoria — a base nova escolhida não altera o resultado, desde que seja a mesma em cima e embaixo. Se os conceitos de logaritmando e base ainda não estão firmes, vale retomar a definição no conteúdo sobre logaritmo.

Mudança de base em equações exponenciais

Quando os dois lados de uma equação exponencial não podem ser escritos na mesma base, o logaritmo é o único caminho — e a mudança de base é o que torna a resposta calculável.

Tome a equação 2ˣ = 7. Como 7 não é potência de 2, aplica-se o logaritmo aos dois lados e chega-se a x = log₂ 7. A resposta está correta, mas ninguém sabe de cabeça quanto vale log₂ 7. Pela mudança de base:

x = log 7 ÷ log 2 ≈ 0,8451 ÷ 0,3010 ≈ 2,81

Conferindo: 2 elevado a 2,81 dá aproximadamente 7, o que valida o resultado. Esse mesmo raciocínio resolve problemas de crescimento populacional, juros compostos e decaimento radioativo, em que a incógnita está no expoente.

Mudança de base no ENEM: as escalas logarítmicas

No ENEM, a mudança de base pode aparecer como ferramenta para resolver problemas envolvendo logaritmos, funções exponenciais e escalas logarítmicas, em vez de necessariamente ser apresentada como o objetivo principal da questão.

Escala Richter — mede a magnitude de terremotos e trabalha com logaritmo decimal.
Escala de pH — mede a acidez de uma solução a partir do logaritmo decimal da concentração de íons de hidrogênio.
Escala de decibéis — mede a intensidade sonora comparando-a com uma intensidade de referência.

Nas três, o enunciado costuma fornecer valores aproximados como log 2 ≈ 0,30 e log 3 ≈ 0,48. A mudança de base é o que permite transformar o logaritmo que apareceu na conta em uma combinação desses valores fornecidos. Para treinar esse tipo de questão com resolução comentada, vale resolver a lista de exercícios de logaritmo.

Perguntas frequentes

O que é mudança de base de logaritmo?

Mudança de base é a propriedade que reescreve um logaritmo em uma base nova, por meio da fórmula log de b na base a = log de b na base c ÷ log de a na base c. Ela é usada para igualar as bases de uma expressão ou para calcular na calculadora logaritmos cuja base não tem tecla própria.

Qual base devo escolher na mudança de base?

Escolha a base que torna a conta mais simples: se o logaritmando e a base antiga forem potências de um mesmo número, use esse número como base nova; se o objetivo for obter um valor decimal na calculadora, use a base 10 ou a base e. Qualquer escolha válida leva ao mesmo resultado.

A mudança de base altera o valor do logaritmo?

Não. A mudança de base apenas reescreve o logaritmo de outra forma, sem alterar seu valor. Calcular log₃ 7 pela base 10 ou pela base e leva ao mesmo número aproximado, 1,7712.

Como calcular um logaritmo de base diferente de 10 na calculadora?

Divida o logaritmo decimal do logaritmando pelo logaritmo decimal da base. Para obter log₅ 20, por exemplo, digite log 20 e divida por log 5, o que resulta em aproximadamente 1,861.

Exercícios

Para fixar a fórmula em questões de vestibular e ENEM, com escalas logarítmicas e equações exponenciais, treine com os exercícios sobre função logarítmica.