Polias

Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

Polias ou roldanas são dispositivos mecânicos usados para tornar mais cômodo ou reduzir a força necessária para deslocar objetos com um grande peso.

Esse tipo de máquina simples é composta por uma ou mais rodas, que giram em torno de um eixo central e possui um sulco por onde passa uma corda ou fio flexível, conforme a figura abaixo:

Roldanas

Relatos históricos indicam que as roldanas foram usadas pela primeira vez por Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) para deslocar um navio.

As polias podem ser móveis, quando apresentam movimento de translação, ou fixas, quando não possuem este movimento. Na prática, é muito comum utilizar a associação destes dois tipos de roldanas.

Roldanas Fixas

A roldana fixa tem o seu eixo preso em algum ponto apoio, portanto, apresenta apenas movimento de rotação, não sendo possível o movimento de translação.

Elas modificam apenas o sentido e a direção da força motora que equilibra o peso. Desta forma, são utilizadas para tornar mais cômodo o trabalho de puxar um objeto.

Nas roldanas fixas não verificamos uma redução no esforço necessário para movimentar um objeto. Portanto, o módulo da força motora será igual ao módulo da força resistente (peso da carga a ser transportada).

Exemplo

Determine o valor da força motora necessária para levantar um corpo a uma altura de 10 cm, utilizando uma roldana fixa. Considere que o peso do corpo é igual a 100 N.

Solução

Como na roldana fixa o módulo da força motora é igual a força resistente, que neste caso, é a força peso, então o seu valor será igual a 100 N.

Na imagem abaixo, apresentamos o esquema das forças que atuam neste movimento.

Roldana fixa

Observe que ao deslocar o corpo 10 cm a corda também se deslocará 10 cm (0,1 m), conforme mostrado na figura.

Note que no ponto onde a roldana está presa age uma força igual a soma das forças resistente (peso) e motora. Desta forma, no exemplo acima o ponto de sustentação da roldana deve ser capaz de suportar uma força de 200 N.

Roldanas Móveis

Diferente das roldanas fixas, as móveis possuem o eixo livre, desta maneira, possuem movimento de rotação e também de translação.

A força resistente que deve ser equilibrada encontra-se no eixo da roldana, enquanto a força motora é aplicada no extremo livre da corda.

A grande vantagem do uso das roldanas móveis é que reduz o valor da força motora necessária para movimentar um determinado corpo, entretanto, um comprimento maior de corda deverá ser puxado.

Exemplo

Determine o valor da força motora necessária para levantar um corpo a uma altura de 10 cm utilizando uma roldana fixa associada a uma roldana móvel. Considere que o peso do corpo é igual a 100 N.

Solução

A polia fixa, conforme vimos, irá apenas modificar o sentido e a direção da força motora, não alterando seu módulo. Contudo, ao incluir uma roldana móvel o valor da força motora será reduzido pela metade, conforme indicado no esquema abaixo:

Roldana Móvel

Assim, o módulo da força motora será igual a 50 N. Perceba que, neste caso, a utilização da roldana móvel reduziu pela metade o valor da força necessária para movimentar a mesma carga anterior.

Observe que para o corpo subir 10 cm será necessário puxar um comprimento de corda maior que no exemplo anterior, que neste caso é igual a 20 cm.

Associação de roldanas móveis

Para diminuir ainda mais a força motora necessária para deslocar objetos, utiliza-se a associação de várias polias móveis.

Como vimos, ao usar uma roldana móvel, a força motora será igual a metade da força resistente, sendo que cada polia móvel adicionada irá reduzir pela metade a força que já foi reduzida a metade.

Gif de uma associação de roldanas

Se associarmos duas polias móveis, temos na primeira polia:

F com M subscrito igual a F com R subscrito sobre 2

Na segunda polia, a força motora da primeira polia passa a ser a força resistente na segunda. Assim:

F com R 2 subscrito fim do subscrito igual a F com M subscrito igual a F com R subscrito sobre 2 F com M 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador começar estilo mostrar F com R subscrito sobre 2 fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração igual a F com R subscrito sobre 2.1 meio igual a F com R subscrito sobre 2 ao quadrado

Seguindo esse mesmo raciocínio, notamos que o valor da força motora deverá ser encontrado fazendo-se:

F com n subscrito igual a F com R subscrito sobre 2 à potência de n

Sendo n igual ao número de polias móveis associadas.

Exemplo

Determine o valor da força motora necessária para levantar um corpo a uma altura de 10 cm, utilizando duas roldanas fixas associadas a duas roldanas móveis, sabendo que o peso do corpo é igual a 100 N.

Solução

As duas roldanas fixas não modificam o módulo da força motora. Portanto, para calcular o módulo da força iremos apenas considerar as duas roldanas móveis.

Neste caso, a força motora será encontrada considerando n = 2, aplicando a fórmula, temos:

F com n subscrito igual a 100 sobre 2 ao quadrado igual a 100 sobre 4 igual a 25 espaço N

Portanto, ao usar duas roldanas móveis a força necessária para puxar um corpo com 100 N será 4 vezes menor, ou seja, 25 N.

Abaixo, temos um esquema das forças que atuam no sistema:

Associação de roldanas

Note que, neste caso, será necessário puxar 40 cm de corda para que o corpo suba 10 cm.

Para saber mais, veja também:

Exercícios Resolvidos

1) Enem - 2016

Uma invenção que significou um grande avanço tecnológico na Antiguidade, a polia composta ou a associação de polias, é atribuída a Arquimedes (287 a.C. a 212 a.C.). O aparato consiste em associar uma série de polias móveis e uma polia fixa. A figura exemplifica um arranjo possível para esse aparato. É relatado que Arquimedes teria demonstrado para o rei Hierão um outro arranjo desse aparato, movendo sozinho, sobre a areia da praia, um navio repleto de passageiros e cargas, algo que seria impossível sem a participação de muitos homens. Suponha que a massa do navio era de 3 000 kg, que o coeficiente de atrito estático entre o navio e a areia era 0,8 e que Arquimedes tenha puxado o navio com uma força F com seta para a direita sobrescrito, paralela à direção do movimento e de módulo igual a 400 N. Considere os fios e as polias ideais, a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e que a superfície da praia é perfeitamente horizontal.

Questão Enem 2016 roldanas

O número mínimo de polias móveis usadas, nessa situação, por Arquimedes foi

a) 3.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 10.

Para que o navio fique na eminência de movimento é necessário que seja exercida uma força de módulo igual a força de atrito estático máximo.

Sendo assim, vamos começar calculando o valor desta força de atrito. Para isso, devemos aplicar a fórmula:

pilha f a t com seta para a direita acima com e m a x subscrito fim do subscrito igual a mu. N com seta para a direita sobrescrito

Estando o barco em equilíbrio na direção horizontal, então, a força normal é igual a força peso. Como a massa do barco é 3 000 kg, o seu peso será igual a 30 000 N. Substituindo os valores, temos:

pilha f a t com seta para a direita acima com e m a x subscrito fim do subscrito igual a 30 espaço 000 espaço. espaço 0 vírgula 8 espaço igual a espaço 24 espaço 000 espaço N

Portanto, precisamos de uma força maior que essa para que o barco entre em movimento, ou seja, F > 24 000 N.

Considerando que a força motora foi de 400 N, então temos a seguinte relação:

400 espaço maior que espaço numerador 24 espaço 000 sobre denominador 2 à potência de n fim da fração 2 à potência de n maior que numerador 24 espaço 000 sobre denominador 400 fim da fração 2 à potência de n maior que 60

A potência de 2 mais próxima de 60 é 26 que é igual a 64. Assim, serão necessárias 6 roldanas para que o barco entre em movimento.

Alternativa: b) 6.

2) UFMG - 2007

Antônio precisa elevar um bloco até uma altura h. Para isso, ele dispõe de uma roldana e de uma corda e imagina duas maneiras para realizar a tarefa, como mostrado nas figuras:

Questão UFMG 2007 roldanas

Despreze a massa da corda e a da roldana e considere que o bloco se move com velocidade constante. Sejam FI o módulo da força necessária para elevar o bloco e TI o trabalho realizado por essa força na situação mostrada na Figura I. Na situação mostrada na Figura II, essas grandezas são, respectivamente, FII e TII.

Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que

a) 2FI = FII e TI = TII.
b) FI = 2FII e TI = TII.
c) 2FI = FII e 2 TI = TII.
d) FI = 2FII e TI = 2TII.

Na situação I foi usada uma roldana fixa e na situação II uma roldana móvel, desta forma, a força FI será o dobro da FII.

O trabalho é o mesmo nas duas situações, pois o menor valor da força é compensado com o maior comprimento da corda que deverá ser puxado.

Alternativa: b) FI = 2FII e TI = TII

Para saber mais, veja também:

Atualizado em
Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.