Plano Inclinado

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

O plano inclinado é uma superfície plana, elevada e inclinada, por exemplo, uma rampa.

Na física, estudamos o movimento dos objetos bem como a aceleração e as forças atuantes que ocorrem num plano inclinado.

Plano Inclinado

Plano Inclinado sem Atrito

Existem 2 tipos de forças que atuam nesse sistema sem atrito: a força normal, que faz 90º em relação ao plano, e a força peso (força vertical para baixo). Note que elas possuem direções e sentidos diferentes.

A força normal atua perpendicularmente à superfície de contato.

Para calcular a força normal numa superfície plana horizontal, utiliza-se a fórmula:

N igual a m. g

Sendo,

N: força normal
m: massa do objeto
g: gravidade

Já a força peso, atua em virtude da força da gravidade que “puxa” todos os corpos da superfície em direção ao centro da Terra. Ela é calculada pela fórmula:

P igual a m. g

Onde:

P: força peso
m: massa
g: aceleração da gravidade

Plano Inclinado com Atrito

Quando há o atrito entre o plano e o objeto temos mais uma força atuante: a força atrito.

Para calcular a força atrito utiliza-se a expressão:

F a t igual a µ. N

Onde:

Fat: força de atrito
µ: coeficiente de atrito
N: força normal

A fórmula da força normal N, no plano inclinado é:

N espaço igual a espaço m g cos Ɵ

Pois, a força N é igual em valor a componente do peso nesta direção.

Obs: O coeficiente de atrito (µ) dependerá do material de contato entre os corpos e sua condição.

Aceleração no Plano Inclinado

No plano inclinado há uma altura correspondente a elevação da rampa e um ângulo formado em relação à horizontal.

Nesse caso, a aceleração do objeto é constante devido as forças atuantes: peso e a normal.

Para determinar o valor da aceleração num plano inclinado, precisamos encontrar a força resultante, decompondo a força peso em dois planos (x e y).

Logo, as componentes da força peso:

Px: perpendicular ao plano
Py: paralelo ao plano

Para encontrar a aceleração no plano inclinado sem atrito, utiliza-se as relações trigonométricas do triângulo retângulo:

Px = P . sen θ
Py = P . cos θ

De acordo com a segunda Lei de Newton:

F = m . a

Onde,

F: força
m: massa
a: aceleração

Logo,

Px = m .a
P . sen θ = m .a
m . g . sen θ = m .a
a = g . sen θ

Assim, temos a fórmula da aceleração utilizada no plano inclinado sem atrito, a qual não dependerá da massa do corpo.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

Questão 1

(UNIMEP-SP) Um bloco de massa 5kg é arrastado ao longo de um plano inclinado sem atrito, conforme a figura.

Plano Inclinado

Para que o bloco adquira uma aceleração de 3m/s² para cima, a intensidade da F deverá ser: (g = 10m/s², sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6).

a) igual ao peso do bloco

b) menor que o peso do bloco

c) igual à reação do plano

d) igual a 55N

e) igual a 10N

Alternativa d: igual a 55N

Exercício resolvido

Dados:

Sem atrito

m = 5kg

a = 3m/s²

sen θ = 0,8

cos θ = 0,6

Pergunta: Qual é a força F?

Fazendo a organização das forças e a decomposição da força peso.

Aplicamos a 2ª lei de Newton no sentido do movimento.

⅀F = F resultante = m.a

F - mgsen θ= m.a

F = m.a + mgsen θ

F = 5.3 + 5.10.0,8

F = 55N

Questão 2

(UNIFOR-CE) Um bloco de massa de 4,0 kg é abandonado num plano inclinado de 37º com a horizontal com o qual tem coeficiente de atrito 0,25. A aceleração do movimento do bloco é em m/s². Dados: g = 10 m/s²; sen 37º = 0,60; cos 37º = 0,80.

a) 2,0

b) 4,0

c) 6,0

d) 8,0

e) 10

Alternativa b: 4,0

Exercício resolvido

Dados:

M = 4kg

g = 10 m/s²

sen 37º = 0,60

cos 37º = 0,80

µ = 0,25 (coeficiente de atrito)

Pergunta: Qual a aceleração?

Fazemos a decomposição da força peso.

Como há atrito, vamos calcular a força de atrito, Fat.

Fat = µ . N

Pela decomposição da força peso, temos que N = mgcos θ.

Então, Fat = µ. mgcos θ

A plicando a 2ª Lei de Newton na direção do movimento, temos:

⅀F = F resultante = m.a

mg sen θ - Fat = ma

mgsen θ - mi.mgcos θ = m.a

4.10. 0,6 - 0,25.4.10.0,8 = 4. a

Isolando a, temos:

a = 4 m/s²

Questão 3

(Vunesp) No plano inclinado da figura abaixo, o coeficiente de atrito entre o bloco A e o plano vale 0,20. A roldana é isenta de atrito e despreza-se o efeito do ar.

Plano Inclinado

Os blocos A e B têm massas iguais a m cada um e a aceleração local da gravidade tem intensidade igual a g. A intensidade da força tensora na corda, suposta ideal, vale:

a) 0,875 mg
b) 0,67 mg
c) 0,96 mg
d) 0,76 mg
e) 0,88 mg

Alternativa e: 0,88 mg

Exercício resolvido

Como há dois blocos, aplicamos a 2ª Lei de Newton para cada um, na direção do movimento.

Sendo T a tensão na corda.

Bloco B (equação 1)

P - T = m.a

Bloco A (equação 2)

T - Fat - mgsen θ = ma

Fazendo um sistema de equações e somando as duas equações, temos:

P - T = m.a

T - Fat - mgsen θ = ma

P - Fat - mgsen θ = ma

Para prosseguir, vamos determinar Fat, depois, voltaremos a esse ponto.

Fat = mi . N

Fat = mi. mgcos θ

Agora, vamos determinar os valores de sen θ e cos θ.

De acordo com a imagem e aplicando o Teorema de Pitágoras:

Sendo h a hipotenusa

h² = 4² + 3²

h = 5

Assim, pela definição de senθ e cosθ

sen θ = 5/3

cos θ = 4/3

Voltando a equação e substituindo os valores encontrados:

P - Fat - mgsenθ = ma

mg - mi. mgcosθ - mgsenθ = ma

Colocando mg em evidência

mg ( 1 - mi.cox - senX) = 2ma

mg ( 1 - 0,2. 0,8 - 0,6) = 2ma

0,24mg =2 ma

ma = 0,12mg

Agora, vamos substituir este valor na equação 1

(equação 1)

P - T = m.a

Isolando T e substituindo ma:

T = P - ma

T = mg - 0,24mg

T = mg( 1 - 0,12)

T = 0,88mg

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Rafael Asth
Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.