Subconjuntos: o que são, exemplos e como calcular

A partir da relação de inclusão entre dois conjuntos podemos definir subconjunto da seguinte forma:

"Um conjunto é subconjunto de quando está contido em , isto é, quando ".

Em diagrama de Euler-Venn temos a seguinte representação:

Exemplo 1:

Dados os conjuntos e podemos afirmar que é subconjunto de ?

Sim, porque todos os elementos de pertencem também ao conjunto , assim pela relação de inclusão temos que e portanto, é subconjunto de .

Exemplo 2:

Dados e , podemos afirmar que é subconjunto de ?

Não, pois o elemento , mas . Portanto, .

Neste conteúdo você encontra:

• Subconjunto próprio e subconjunto impróprio
• Conjunto vazio como subconjunto
• Conjunto das partes
• Quantos subconjuntos tem um conjunto?
• Exemplos resolvidos
• Exercícios para praticar

Subconjunto próprio e subconjunto impróprio

Dado que , dizemos que é um subconjunto próprio de se, e somente se, . Caso contrário (quando ), será um subconjunto impróprio.

Exemplo 3:

Seja :

• é subconjunto próprio de (está contido e é diferente).
• é subconjunto impróprio de (é o próprio conjunto).
• é subconjunto próprio de (está contido e é diferente).

Conjunto vazio como subconjunto

Representamos o conjunto vazio como ou . É importante destacar que não podemos misturar as notações, pois não é o conjunto vazio.

Pela definição, para que não seja subconjunto de , precisaríamos encontrar pelo menos um elemento em que não pertença a . Mas, como o conjunto vazio não possui elementos, isso é impossível. Portanto, para qualquer conjunto .

Da análise combinatória sabemos que combinações simples representam a quantidade de subconjuntos com elementos escolhidos em um conjunto com elementos, assim:

Como o conjunto vazio não possui elementos devemos ter:

Ou seja, não importa a quantidade de elementos de um conjunto, sempre há um subconjunto vazio a partir do conjunto dado.

Conjunto das partes

É o conjunto formado pelos subconjuntos de um conjunto dado qualquer. E representamos por .

Exemplo 4:

Dado o conjunto . Determinar o conjunto das partes de .

Sabemos que o vazio é subconjunto de qualquer conjunto, agora contamos os subconjuntos com 1, 2 e 3 elementos:

• Com 0 elementos:
• Com 1 elemento: e .
• Com 2 elementos: e .
• Com 3 elementos: (o próprio conjunto).

Assim o conjuntos das partes de é:

Observe que os elementos deste conjunto também são conjuntos por isso aparecem entre chaves.

Quantos subconjuntos tem um conjunto?

No Exemplo 4, vimos que o conjunto possui 8 subconjuntos sendo 1 vazio, 3 unitários, 3 com 2 elementos e 1 com 3 elementos (o próprio conjunto).

Note que , onde 3 é o número de elementos de A. Isso não é coincidência, trata-se da aplicação direta das combinações ou da soma dos números binomiais (teorema das Linhas do Triângulo de Pascal-Tartaglia).

Onde estamos contando os subconjuntos vazio, unitários, com 2 elementos, até o próprio conjunto com elementos.

Assim, o total de subconjuntos de um conjunto com elementos é sempre subconjuntos.

Observe que podem aparecer em alguma questão as expressões subconjuntos não vazios nesse caso devemos retirar o conjunto vazio da contagem ou aparecer subconjuntos próprios, neste caso vamos retirar o próprio conjunto da contagem.

• Subconjuntos não vazios:
• Subconjuntos próprios:
• Subconjuntos próprios e não vazios:

Exemplo 5:

Quantos subconjuntos possui um conjunto com 6 elementos?

O total de subconjuntos é dado por:

Exemplos resolvidos

Exemplo 1

Um conjunto A possui 127 subconjuntos próprios, quantos são os elementos de A?

O total de subconjuntos próprios é dado por , logo:

O conjunto A possui 7 elementos.

Exemplo 2

A respeito de conjuntos numéricos, marcar C para as afirmativas certas, E para as erradas:

( ) Quando alguns dos elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B, diz-se que A está contido em B.

( ) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

( ) Quando um conjunto A está contido em um conjunto B, não se pode dizer, também, que B está contido em A.

Solução!

(E) Quando alguns dos elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B, diz-se que A está contido em B.
Pois, para que o conjunto A esteja contido em B é necessário que todos os elementos de A pertençam também a B.

(C) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
E nesse caso dizemos ainda que este conjunto é um subconjunto impróprio.

(C) Quando um conjunto A está contido em um conjunto B, não se pode dizer, também, que B está contido em A.
Pois, nem sempre todos os elementos de B pertencem também ao conjunto A. Se A está contido em B e B está contido em A dizemos que A é igual a B.

Exemplo 3

Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, é correto afirmar que um subconjunto próprio de A é:

a) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) {1, 2, 3}

c) {6, 7, 8}

d) {7, 8}

Solução!

a) {1, 2, 3, 4, 5} como este é o mesmo conjunto A, este conjunto é um subconjunto impróprio de A.

b) {1, 2, 3} como todos os elementos deste conjunto pertencem também ao conjunto A e diferente de de A temos que este é um subconjunto próprio A.

c) {6, 7, 8} como 7 e 8 não pertencem ao conjunto A, este não é um subconjunto de A.

d) {{1}} o elemento {1} neste conjunto apesar de ser um conjunto ele não não é um elemento do conjunto A, logo não é subconjunto de A.

Agora é com você!

Resolva as questões propostas abaixo e confira a sua resolução.

Exercícios para praticar

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Veja também: Exercícios sobre operações com conjuntos (com respostas explicadas)