Dízima Periódica: o que é e seus tipos (com exemplos e exercícios)

As dízimas periódicas são números decimais com representação infinita que apresentam um período, ou seja, possui um ou mais algarismos que se repetem na mesma ordem infinitamente. Os algarismos que se repetem formam o que chamamos de período.

As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais (), pois podem ser escritas na forma de fração. Por exemplo, o número 0,444… também pode ser escrito como

Outra forma de representar as dízimas periódicas é utilizando uma barra sobre os algarismos que formam o período, por exemplo, o número 0,444 ... pode ser escrito como .

Importante!

Período e padrão são duas coisas distintas observe os números abaixo:

é uma dízima periódica de período .

é uma dízima não periódica, apesar de encontrarmos um padrão na sequência dos algarismos.

Quando um número é decimal infinito, mas não apresenta algarismos que se repetem periodicamente, ele não será uma dízima periódica e sim um número irracional.

Neste conteúdo você encontra:

• Dízimas periódicas simples e compostas
• Fração geratriz de dízimas periódicas
• Exercícios sobre dízimas periódicas

Dízimas periódicas simples e compostas

As dízimas periódicas são chamadas de simples quando imediatamente após a vírgula já temos os algarismos que formam o período.

São exemplos de dízimas periódicas simples:

• 0,34343434… → parte inteira igual a 0 e período igual a 34;
• 1,222222… → parte inteira igual a 1 e período igual a 2;
• 234,193193193… → parte inteira igual a 234 e período igual a 193.

Já as dízimas periódicas compostas possuem alguns algarismos depois da vírgula que não fazem parte do período (são chamados de antiperíodo) e em seguida algarismos que formam o período.

São exemplos de dízimas compostas:

• 3,125555… → parte inteira igual a 3, parte não periódica igual a 12 e período igual a 5.
• 1,7863333… → parte inteira igual a 1, parte não periódica igual a 786 e período igual a 3.
• 11,2350505050… → parte inteira igual a 11, parte não periódica igual a 23 e período igual a 50.

Fração geratriz de dízimas periódicas

As dízimas podem ser escritas na forma de fração ou na forma de número decimal.

A fração geratriz é a fração que gera uma dízima ao dividir o numerador pelo denominador.

Como vimos, as dízimas periódicas são números racionais e para encontrar a fração geratriz de uma dízima podemos aplicar um método prático.

Dízima periódica simples

Exemplo: Queremos obter a fração geratriz da dízima .

Seja o problema é que temos uma infinidade de algarismos e portanto só podemos efetuar operações que válidas. Neste caso por exemplo podemos multiplicar por 100 para obter observe que o número original e o que multiplicamos por 100 tem a mesma parte decimal infinita e dessa forma podemos subtrair um do outro para "sumir" com essa parte decimal.

Mas, não precisamos recorrer sempre a este método algébrico, se você fizer mais alguns exemplos como esse irá perceber que o denominador é sempre formado por tantos algarismos 9 como são os algarismos que formam o período e o numerador será formado pelos algarismos da parte inteira seguidos do período, menos a parte inteira, sem a vírgula.

Se a dízima periódica tema forma:

onde,

é a parte inteira

é o período

então,

A quantidade de "9" dependerá do número de algarismos que compõem o período da dízima. Por exemplo, na dízima 3,1717…, o período possui 2 algarismos (17), então o denominador será 99.

Dízima periódica composta

Exemplo: Queremos obter a fração geratriz da dízima .

Podemos transformar essa dízima periódica composta em simples e proceder de forma semelhante ao que fizemos com a dízima periódica simples.

Seja inicialmente multiplicamos por 100 para transformar em dízima periódica simples agora como o período tem apenas um algarismo (5) podemos multiplicar por 10 e obter repare que estes dois últimos resultados tem a mesma parte decimal então podemos subtrair sem problemas.

Mas, como falamos anteriormente sobre as dízimas periódicas simples, não precisamos recorrer sempre a este método algébrico, se você fizer mais alguns exemplos como esse irá perceber que o denominador é sempre formado por tantos algarismos 9 como são os algarismos que formam o período, tantos algarismos 0 como são os algarismos que formam o antiperíodo e o numerador será formado pelos algarismos da parte inteira seguidos do antiperíodo e do período, menos a parte inteira seguida do antiperíodo, sem a vírgula.

Se a dízima periódica tema forma:

onde,

é a parte inteira

é o antiperíodo

é o período

então,

No caso de uma dízima composta, o numerador é obtido subtraindo o número formado pela parte inteira, os algarismos do antiperíodo e o período (sem a vírgula), pelo número formado pela parte inteira e pelos algarismos do antiperíodo, também sem a vírgula.

No denominador, também colocamos tantos noves quanto forem os algarismos do período, entretanto, temos que adicionar zeros conforme o número de algarismos que não se repetem na parte decimal. Como por exemplo em .

Exemplos:

Encontre a fração geratriz das dízimas indicadas abaixo:

a) 4,5555…
b) 7,38282…

Resolução

a) O número 4,555… é uma dízima periódica simples. Neste caso, no denominador teremos apenas um algarismo nove, pois o seu período apresenta um único algarismo (5). Assim, fração será igual a:

b) Como 7,38282… é uma dízima periódica composta, teremos no denominador o número 990, pois o período é formado por 2 algarismos (82) e temos apenas 1 algarismo que não se repete na parte decimal (3).

Exercícios sobre dízimas periódicas

Exercício 1

(Enem PPL — 2014) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212...

O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são

a) 103 em cada 330.
b) 104 em cada 333.
c) 104 em cada 3 333.
d) 139 em cada 330.
e) 1 039 em cada 3 330.

Exercício 2

(PUC/RJ - 2003) A soma 1,3333... + 0,16666... é igual a:

Exercício 3

Calcule o valor de .

Veja também: Fração geratriz

Para praticar mais: Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica