Exercícios sobre cálculo da matriz inversa (com gabarito resolvido)

Sabemos que a matriz é invertível se, e somente se, .

Como a matriz é quadrada de ordem 2 podemos obter a inversa aplicando o seguinte teorema:

Resolvendo as duas primeiras equações temos:

e

Resolvendo as duas últimas equações obtemos:

e

Como queremos um elemento especifico da matriz não precisamos efetuar a inversão da matriz completa, para isso, usaremos o seguinte teorema da matriz adjunta.

Onde,

é a matriz adjunta, ou seja, , tal que, é a transposta da matriz dos cofatores de .

O enunciado pede o termo da matriz , mas este elemento está associado ao cofator da matriz original. E para calcular seu valor basta encontrar este cofator e calcular o determinante de .

Para encontrar o cofator eliminamos a 1ª linha, 3ª coluna e calculamos o determinante dos termos restantes.

Agora calculamos o determinante de .

Pelo teorema,

I – Verdadeira: para matrizes quadradas, a existência de inversa à direita implica inversa à esquerda.

II – Verdadeira: matriz inversível implica núcleo trivial.

III – Falsa: se o determinante é nulo, não há matriz inversa.

IV – Verdadeira: inversibilidade é equivalente à independência linear das colunas.

Vamos aplicar o método de Gauss-Jordan de matriz estendida efetuando combinações lineares entre as linhas.

Montamos a matriz aumentada :

Aplicamos operações elementares por linhas:

Obtemos:

Usando a equação dada temos:

(01) V - Condição fundamental para inversão de matrizes.

(02) F - Existem matrizes quadradas não inversíveis.

(04) V - Produto de matrizes inversíveis é inversível.

(08) F - A ordem correta é .

(16) V - Determinante é o produto da diagonal e se todos os elementos são diferentes de zero, o determinante também será diferente de zero.

Observe que temos uma matriz de Vandermonde e seu determinante é dado por:

Agora calculamos o cofator associado o termo da inversa de .

Resolvendo passo a passo:

I. Aplicamos a distributiva com atenção para não mudar a ordem das matrizes.