Propriedades da multiplicação

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática

As 5 propriedades da multiplicação são: comutativa, distributiva, associativa, elemento neutro e elemento inverso.

Usamos essas propriedades para facilitar os cálculos. Regra geral, podem ser usadas com números reais e complexos. Ou seja: naturais, inteiros, cálculo algébrico (quando aparecem letras), racionais e irracionais.

Propriedade comutativa

A propriedade comutativa define que não importa a ordem dos valores que você está multiplicando. Pode trocar a ordem que o resultado é o mesmo.

3 espaço x espaço 4 espaço igual a espaço 12 espaço e 4 espaço x espaço 3 espaço igual a espaço 12

Sendo a e b números reais quaisquer, a comutativa garante que

a espaço x espaço b espaço igual a espaço b espaço x espaço a

Propriedade distributiva

A propriedade distributiva é utilizada quando um número está multiplicando uma adição ou subtração. Basta multiplicar separado cada termo e, somar ou subtrair o resultado.

2 espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo 8 espaço mais espaço 3 parêntese direito

Podemos escrever, assim

2 espaço sinal de multiplicação espaço 8 espaço mais espaço 2 espaço sinal de multiplicação espaço 3

Nós distribuímos a multiplicação do 2, para o 8 e para o 3.

Com letras é a mesma coisa

a espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo espaço b espaço mais espaço c espaço parêntese direito espaço

a espaço sinal de multiplicação espaço b espaço mais espaço a espaço sinal de multiplicação espaço c

Uma dica importante é colocar em evidência.

Esse é um procedimento, uma ferramenta matemática muito importante. É o caminho inverso da distribuição. Quando você distribui, é o caminho de ida e quando você coloca em evidência, faz o caminho de volta. Realmente, você volta ao ponto em que estava e isso pode parecer desnecessário, mas, não é. Na verdade, é fundamental.

Acompanhe o exemplo:

A letra a aparece duas vezes, antes e depois da adição, multiplicando o b e o.c

a espaço sinal de multiplicação espaço b espaço mais espaço a espaço sinal de multiplicação espaço c espaço igual a

Nesse caso, você pode colocar o a sozinho do lado de fora de um parêntese e, dentro, somar ou subtrair os termos que sobraram.

a espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo b espaço mais espaço c parêntese direito

Propriedade associativa

A propriedade associativa nos diz que se você está multiplicando três ou mais números, é possível associar os fatores de maneiras diferentes e mais convenientes.

Exemplo

12 espaço sinal de multiplicação espaço 4 espaço sinal de multiplicação espaço 5

Nós podemos fazer

parêntese esquerdo 12 espaço sinal de multiplicação espaço 4 parêntese direito espaço sinal de multiplicação espaço 5 igual a 48 espaço sinal de multiplicação espaço 5 igual a 240

Ou, assim

12 espaço sinal de multiplicação parêntese esquerdo 4 espaço sinal de multiplicação 5 parêntese direito igual a 12 espaço sinal de multiplicação espaço 20 igual a 240

Elemento neutro

O número 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação não é à toa. Veja os seguintes exemplos:

23 espaço x espaço 1 espaço igual a espaço 23

a espaço x espaço 1 espaço igual a espaço a

Em uma multiplicação, o número 1 não altera o resultado, ele é neutro.

É importante notar que o -1 não é o elemento neutro. Um número multiplicado por -1 é igual ao seu oposto.

45 espaço x espaço menos 1 espaço igual a espaço menos espaço 45

Elemento inverso

O inverso de um número a qualquer, é o valor que multiplicado a ele, resulta em 1.

a espaço sinal de multiplicação espaço 1 sobre a espaço igual a espaço a sobre a espaço igual a espaço 1

Para encontrar o inverso de um número, você vai usar uma fração. Basta colocar o 1 no numerador e o número que está invertendo no denominador.

O inverso de 9 é 1 sobre 9

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Exercícios

Questão 1

O produto de dois números naturais a e b é igual a 345.

a espaço sinal de multiplicação espaço b espaço igual a espaço 345

Qual o valor do produto b x a?

Qual o nome da propriedade da multiplicação utilizada?

O resultado é o mesmo, 345. A propriedade utilizada foi a comutativa, uma vez que alterando a ordem dos fatores o produto é o mesmo.

Questão 2

Cálculo mental

Use uma propriedade que lhe ajude a realizar mentalmente estas expressões.

a) 3 espaço x espaço 12 espaço x espaço 30 espaço igual a

b) 125 espaço sinal de multiplicação espaço 3 espaço sinal de multiplicação espaço 4 espaço sinal de multiplicação espaço 7 igual a

Veja a explicação de uma possível estratégia.

a) Seria interessante associar 3 x 30. Depois, fazemos 90 x 12.

Veja que o 12 pode ser escrito como 10 + 2. Agora você pode usar a distributiva,

90 sinal de multiplicação abre parênteses 10 mais 2 fecha parênteses = Repare que neste caso, o 90 está em evidência.

90 sinal de multiplicação 10 mais 90 sinal de multiplicação 2 igual a 900 mais 180 igual a 1080

b) Vamos associar 125 x 4 e 3 x 7, resultando em

500 espaço sinal de multiplicação espaço 21 igual a 500 sinal de multiplicação parêntese esquerdo 20 mais 1 parêntese direito igual a espaço u s a n d o espaço a espaço d i s t r i b u t i v a 500 sinal de multiplicação 20 espaço mais espaço 500 sinal de multiplicação 1 igual a 10000 espaço mais espaço 500 igual a 10500

Questão 3

(Unicamp - SP) Na expressão,m espaço igual a espaço a espaço mais espaço 3 b espaço menos espaço 2 c as letras a, b e c só podem assumir os valores 0, 1 e 2.

a) Qual é o valor de m para a = 1, b = 1 e c = 2?

b) Qual é o maior valor possível para m?

c) Determine a, b e c de modo que m = -4.

a) Basta substituir os valores na fórmula.

m espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 3 sinal de multiplicação 1 espaço menos espaço 2 sinal de multiplicação 2 m espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 3 espaço menos espaço 4 m espaço igual a espaço 0

b) O c deve assumir o menor valor, pois, está sendo multiplicado por -2. Assim, "sobra" mais para o m.

m espaço igual a espaço 2 espaço mais espaço 3 sinal de multiplicação 2 espaço menos espaço 2 sinal de multiplicação 0 m espaço igual a espaço 2 espaço mais espaço 6 m espaço igual a espaço 8

c)

m espaço igual a espaço 0 espaço mais espaço 3 sinal de multiplicação 0 espaço menos espaço 2 sinal de multiplicação 4 espaço m espaço igual a espaço menos 4

Questão 4

Nas seguintes equações, identifique qual propriedade foi utilizada.

a) parêntese esquerdo menos espaço 7 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo mais 8 parêntese direito espaço espaço igual a espaço espaço parêntese esquerdo mais 8 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito

b) 1 espaço. espaço parêntese esquerdo espaço menos 34 espaço parêntese direito espaço igual a espaço menos 34

c) 9 espaço X espaço 27 espaço menos espaço 9 espaço x espaço 33 espaço igual a espaço 9 espaço parêntese esquerdo espaço 27 espaço menos espaço 33 espaço parêntese direito

d) 25 espaço x espaço parêntese esquerdo espaço 9 espaço x espaço 4 espaço parêntese direito espaço igual a espaço parêntese esquerdo espaço 25 espaço x espaço 9 espaço parêntese direito espaço x espaço 4

a) comutativa

b) elemento neutro

c) distributiva (colocando em evidência)

d) associativa

Rafael Asth
Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.