Teorema de D’Alembert: enunciado, exemplos e exercícios
O Teorema de D'Alembert afirma que um polinômio P(x) é divisível por (x − a) se, e somente se, a é raiz de P, isto é, P(a) = 0. Na prática, para saber se a divisão de P(x) por (x − a) é exata, basta substituir x por a: se o resultado for zero, o resto é zero e (x − a) divide P(x); se for diferente de zero, não divide.
P(x) é divisível por (x − a) ⇔ P(a) = 0
O teorema é uma consequência do teorema do resto, segundo o qual o resto da divisão de P(x) por (x − a) é P(a). Ele permite testar candidatos a raiz sem fazer a divisão completa e, depois, fatorar o polinômio a partir de uma raiz confirmada.
Resumo do Teorema de D'Alembert
| Ideia | Em símbolos ou em poucas palavras |
|---|---|
| Raiz | a é raiz de P ⇔ P(a) = 0 |
| Teorema do resto | O resto da divisão de P(x) por (x − a) é P(a) |
| Teorema de D'Alembert | (x − a) divide P(x) ⇔ P(a) = 0 |
| Fatoração | Se P(a) = 0, então P(x) = (x − a) · Q(x), com grau de Q uma unidade menor |
| Divisor (x + a) | Teste P(−a), porque x + a = x − (−a) |
| Divisor x | x divide P(x) ⇔ o termo independente é zero |
Neste conteúdo você encontra:
- Raiz de um polinômio
- Enunciado e demonstração do teorema
- Exemplos do Teorema de D'Alembert
- O teorema como teste de candidatos
- Fatoração a partir de uma raiz
- Casos especiais: divisor x, (x + a) e "quase zero"
- Por que o nome muda em outros idiomas
- Exercícios sobre o Teorema de D'Alembert
- Perguntas frequentes
Raiz de um polinômio
Um número a é raiz de um polinômio P quando a substituição de x por a resulta em zero:
a é raiz de P ⇔ P(a) = 0
Ser raiz não depende de o número aparecer na escrita do polinômio: é uma propriedade verificada pela substituição. Considere o polinômio que será usado ao longo deste conteúdo:
P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6
Testando a = 1:
P(1) = 1³ − 2 · 1² − 5 · 1 + 6
P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0
Logo, 1 é raiz de P. Já para a = 2:
P(2) = 2³ − 2 · 2² − 5 · 2 + 6
P(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4
Como P(2) = −4 ≠ 0, o número 2 não é raiz de P.
Um erro comum é concluir que 6 é raiz só porque aparece como termo independente. A substituição mostra que não é:
P(6) = 216 − 72 − 30 + 6 = 120
No gráfico da função polinomial y = P(x), cada raiz corresponde a um ponto (a, 0), em que a curva cruza o eixo horizontal. Esse polinômio tem raízes −2, 1 e 3. Já o ponto (0, 6) fica acima do eixo, porque P(0) = 6.
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Enunciado e demonstração do teorema
Teorema de D'Alembert: um polinômio P(x) é divisível por (x − a) se, e somente se, a é raiz de P(x).
P(x) é divisível por (x − a) ⇔ P(a) = 0
O teorema vale para todo polinômio P(x) e todo número a, quando o divisor está escrito exatamente na forma (x − a), com coeficiente de x igual a 1.
Demonstração
Na divisão de P(x) por (x − a), obtém-se um quociente Q(x) e um resto r:
P(x) = (x − a) · Q(x) + r
Substituindo x por a, o primeiro termo se anula, porque a − a = 0. Assim, r = P(a): esse é o teorema do resto. A partir dele:
- Ida: se P(x) é divisível por (x − a), o resto é zero; como o resto é P(a), temos P(a) = 0.
- Volta: se P(a) = 0, o resto da divisão é zero; logo, a divisão é exata e (x − a) divide P(x).
Por isso, "a é raiz de P" e "(x − a) divide P(x)" são duas maneiras de descrever a mesma situação.
Exemplos do Teorema de D'Alembert
Imagine um laboratório que testa um revestimento para peças metálicas. A variação de espessura em relação a um valor de referência é x, em décimos de milímetro, e a tensão residual do material é modelada, de forma fictícia, por P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6. A peça fica equilibrada quando a tensão é zero. Qual dos protótipos com x = −1, 2, 4 ou 3 está equilibrado?
| Candidato a | Cálculo de P(a) | Resultado | (x − a) divide P(x)? |
|---|---|---|---|
| −1 | −1 − 2 + 5 + 6 | 8 | Não |
| 2 | 8 − 8 − 10 + 6 | −4 | Não |
| 4 | 64 − 32 − 20 + 6 | 18 | Não |
| 3 | 27 − 18 − 15 + 6 | 0 | Sim |
Só o protótipo com x = 3 está equilibrado. Pelo Teorema de D'Alembert, (x − 3) divide P(x). O dispositivo de Briot-Ruffini confirma: com os coeficientes 1, −2, −5 e 6, obtém-se o quociente x² + x − 2 e resto zero.
| a | 1 | −2 | −5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 1 · 3 + (−2) = 1 | 1 · 3 + (−5) = −2 | −2 · 3 + 6 = 0 |
P(x) = (x − 3) · (x² + x − 2)
Atenção ao sinal: para verificar se (x − 3) divide P(x), o número a testar é 3. Calcular P(−3) = −27 − 18 + 15 + 6 = −24 responde a outra pergunta, sobre o divisor (x + 3).
O teorema como teste de candidatos
O teorema funciona como um teste de candidatos: dado um número a, calcula-se P(a). Não há terceira possibilidade:
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Veja o teste aplicado a N(x) = x³ − 4x² + x + 6:
| Candidato | N(a) | Conclusão |
|---|---|---|
| 3 | 27 − 36 + 3 + 6 = 0 | É raiz; (x − 3) divide N(x) |
| −1 | −1 − 4 − 1 + 6 = 0 | É raiz; (x + 1) divide N(x) |
| 1 | 1 − 4 + 1 + 6 = 4 | Não é raiz |
| 0 | 6 | Não é raiz |
Cada teste exigiu só uma substituição, o que é mais rápido do que fazer quatro divisões completas.
Testes negativos não provam que não há raiz
O teorema avalia candidatos já escolhidos, mas não indica quais números testar. Considere Q(x) = x³ + 2x − 4:
Q(1) = −1 Q(−1) = −7 Q(2) = 8 Q(−2) = −16
Nenhum dos quatro candidatos é raiz. Mesmo assim, Q tem uma raiz real: como Q(1) é negativo e Q(2) é positivo, o gráfico cruza o eixo horizontal entre x = 1 e x = 2.
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Fatoração a partir de uma raiz
Quando a é raiz de P(x), a divisão por (x − a) é exata e pode ser escrita como um produto. Essa é uma forma de fatoração:
P(x) = (x − a) · Q(x), sempre que P(a) = 0
Se P(a) ≠ 0, a igualdade correta é P(x) = (x − a) · Q(x) + P(a), e não há fatoração exata. O grau de Q(x) é sempre uma unidade menor que o grau de P(x).
| Raiz usada | Quociente | Fatoração |
|---|---|---|
| 1 (em P) | x² − x − 6 | P(x) = (x − 1)(x² − x − 6) |
| 3 (em P) | x² + x − 2 | P(x) = (x − 3)(x² + x − 2) |
| 3 (em N) | x² − x − 2 | N(x) = (x − 3)(x² − x − 2) |
As duas fatorações de P estão corretas, porque partem de raízes diferentes. Em todas, o polinômio de grau 3 vira o produto de um fator de grau 1 por um de grau 2 (3 = 1 + 2).
Seria errado escrever P(x) = (x − 1)(x³ − x − 6): o produto teria grau 1 + 3 = 4. De fato, (x − 1)(x³ − x − 6) = x⁴ − x³ − x² − 5x + 6, que não é P(x).
O quociente de grau 2 pode ser fatorado de novo, com a equação do segundo grau: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2). Assim, P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2), o que confirma as três raízes −2, 1 e 3.
Casos especiais: divisor x, (x + a) e "quase zero"
| Caso | O que testar | Por quê |
|---|---|---|
| Divisor x | O termo independente | x = x − 0, e P(0) é o termo independente |
| Divisor (x + a) | P(−a), nunca P(a) | x + a = x − (−a) |
| P(a) muito próximo de zero | O valor exato de P(a) | Só P(a) = 0 garante a divisão exata |
| Quociente que também se anula em a | Q(a), depois da primeira divisão | Pode acontecer quando a raiz se repete |
- Divisor x: W(x) = 2x³ − 5x² + 3x tem termo independente 0, então W(0) = 0 e x divide W(x). Já V(x) = 2x³ − 5x² + 3x − 9 tem V(0) = −9, então x não divide V(x).
- Divisor (x + 2): para P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, testa-se −2: P(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0. Logo, (x + 2) divide P(x). Testar P(2) = −4 responderia sobre (x − 2).
- "Quase zero": em U(x) = x³ − 2x² − 5x + 6,01, U(1) = 0,01. O valor é pequeno, mas não é zero: 1 não é raiz, e (x − 1) não divide U(x). Não existe "quase divisível".
- Raiz repetida: em x³ − 3x² + 3x − 1, o 1 é raiz, e o quociente da divisão por (x − 1), x² − 2x + 1, também se anula em 1. Isso indica que a raiz 1 se repete.
Por que o nome muda em outros idiomas
No Brasil, "Teorema de D'Alembert" é o nome dado ao critério de divisibilidade por (x − a). Em inglês e em francês, porém, o nome do matemático Jean le Rond d'Alembert costuma designar outro resultado: o Teorema Fundamental da Álgebra, segundo o qual todo polinômio não constante tem pelo menos uma raiz complexa. Na França, ele é chamado também de teorema de d'Alembert-Gauss.
Uma explicação histórica provável: em 1746, d'Alembert fez a primeira tentativa séria de demonstrar esse teorema fundamental. A prova dependia de um lema que ele não demonstrou e que só foi provado por Victor Puiseux em 1851. Por isso, ao pesquisar "d'Alembert's theorem" em uma fonte estrangeira, é preciso ler o enunciado para saber de qual resultado se trata.
Exercícios sobre o Teorema de D'Alembert
Resolva as questões e confira o gabarito explicado de cada alternativa.
Questão 1
Dado P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, qual dos números a seguir é raiz de P?
a) 6
b) 2
c) −1
d) 0
e) 3
A alternativa correta é a e: P(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0.
A alternativa a falha porque P(6) = 120; aparecer como termo independente não torna o número raiz. A alternativa b falha porque P(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4. A alternativa c falha porque P(−1) = −1 − 2 + 5 + 6 = 8. A alternativa d falha porque P(0) = 6, o termo independente.
Questão 2
Para decidir se P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 é divisível por (x + 2), qual cálculo deve ser feito?
a) Calcular P(2).
b) Calcular P(−2), porque x + 2 = x − (−2).
c) Verificar se 2 aparece como coeficiente.
d) Calcular P(0).
e) Somar os coeficientes do polinômio.
A alternativa correta é a b: P(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0, então (x + 2) divide P(x).
A alternativa a falha porque P(2) responde sobre o divisor (x − 2). A alternativa c falha porque a posição de um número na escrita não decide a divisibilidade. A alternativa d falha porque P(0) responde sobre o divisor x. A alternativa e falha porque a soma dos coeficientes é P(1), que responde sobre (x − 1).
Questão 3
O polinômio P(x) = x³ + kx² − 5x + 6 tem 2 como raiz. Qual é o valor de k?
a) k = 1
b) k = 4
c) k = −4
d) k = −1
e) k = 0
A alternativa correta é a d: P(2) = 8 + 4k − 10 + 6 = 4 + 4k; como P(2) = 0, 4k = −4 e k = −1.
A alternativa a falha porque com k = 1, P(2) = 8 + 4 − 10 + 6 = 8. A alternativa b falha porque com k = 4, P(2) = 8 + 16 − 10 + 6 = 20. A alternativa c falha porque com k = −4, P(2) = 8 − 16 − 10 + 6 = −12. A alternativa e falha porque com k = 0, P(2) = 8 − 10 + 6 = 4.
Questão 4
Testando um candidato a em um polinômio P, um estudante obtém P(a) = 0,03. O que ele deve concluir?
a) a não é raiz de P, e (x − a) não divide P(x), porque o resto é 0,03.
b) a é raiz, porque 0,03 é praticamente zero.
c) (x − a) divide P(x), com resto desprezível.
d) P não tem nenhuma raiz.
e) −a é raiz de P.
A alternativa correta é a a: só P(a) = 0 exatamente garante a divisão exata; um valor próximo de zero não basta.
A alternativa b falha porque não existe "quase raiz": o resto é 0,03. A alternativa c falha porque uma divisão com resto 0,03 não é exata. A alternativa d falha porque um único teste negativo exclui apenas aquele candidato. A alternativa e falha porque o resultado de P(a) não informa nada sobre P(−a).
Questão 5
Sabe-se que 4 é raiz de um polinômio P(x) de grau 3 e que a divisão de P(x) por (x − 4) tem quociente Q(x) = x² + 2x − 3. Qual é a fatoração correta de P(x)?
a) P(x) = (x + 4)(x² + 2x − 3)
b) P(x) = (x − 4)(x² + 2x − 3) + 4
c) P(x) = (x − 4)(x² + 2x − 3)
d) P(x) = (x − 4) + (x² + 2x − 3)
e) P(x) = (x − 4)(x³ + 2x − 3)
A alternativa correta é a c: como 4 é raiz, a divisão é exata e P(x) = (x − 4) · Q(x).
A alternativa a falha porque o fator associado à raiz 4 é (x − 4), e não (x + 4). A alternativa b falha porque como 4 é raiz, o resto é zero, sem termo adicional. A alternativa d falha porque a fatoração é um produto, e não uma soma. A alternativa e falha porque o produto teria grau 4, e P tem grau 3.
Perguntas frequentes
O que diz o Teorema de D'Alembert?
Que um polinômio P(x) é divisível por (x − a) se, e somente se, P(a) = 0, isto é, se a é raiz de P.
Qual a diferença entre o teorema do resto e o Teorema de D'Alembert?
O teorema do resto diz que o resto da divisão de P(x) por (x − a) é P(a). O Teorema de D'Alembert é o caso em que esse resto é zero: a divisão é exata exatamente quando P(a) = 0.
Como saber se um polinômio é divisível por (x + a)?
Calcule P(−a). Se P(−a) = 0, o polinômio é divisível por (x + a), porque x + a = x − (−a).
Como usar o Teorema de D'Alembert para fatorar?
Encontre uma raiz a, divida P(x) por (x − a), por exemplo com Briot-Ruffini, e escreva P(x) = (x − a) · Q(x).
O Teorema de D'Alembert serve para encontrar todas as raízes?
Não sozinho. Ele testa candidatos escolhidos; testes negativos não provam que o polinômio não tenha outras raízes.
Por que "d'Alembert's theorem" é outro teorema em inglês?
Em inglês e francês, o nome costuma designar o Teorema Fundamental da Álgebra, que d'Alembert tentou demonstrar em 1746.
Referências Bibliográficas
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: complexos, polinômios, equações. 8. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 6.
LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v. 3.
O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. The fundamental theorem of algebra. MacTutor History of Mathematics. St Andrews: University of St Andrews. Disponível em: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra/. Acesso em: 11 nov. 2026.
CANELLAS, William. Teorema de D’Alembert: enunciado, exemplos e exercícios. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/teorema-de-d-alembert-enunciado-exemplos-e-exercicios/. Acesso em:
