Exercícios sobre Equação do 2º Grau (com questões resolvidas e explicadas)

Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Uma equação de segundo grau é toda a equação na forma ax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0. Para resolver uma equação deste tipo, pode-se utilizar diferentes métodos.

Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios abaixo para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de testar seus conhecimentos com as questões resolvidas de concursos.

Exercício 1

A idade da minha mãe multiplicada pela minha idade é igual a 525. Se quando nasci minha mãe tinha 20 anos, quantos anos eu tenho?

Solução

Considerando a minha idade igual a x, podemos então considerar que a idade da minha mãe é igual a x + 20. Como sabemos o valor do produto das nossas idades, então:

x . (x + 20) = 525

Aplicando a propriedades distributiva da multiplicação:

x2 + 20 x - 525 = 0

Chegamos então em uma equação do 2º grau completa, com a = 1, b = 20 e c = - 525.

Para calcular as raízes da equação, ou seja, os valores de x em que a equação é igual a zero, vamos usar a fórmula de Bhaskara.

Primeiro, devemos calcular o valor do ∆:

delta maiúsculo espaço igual a espaço b ao quadrado espaço menos espaço 4. a. c delta maiúsculo espaço igual a espaço parêntese esquerdo 20 parêntese direito ao quadrado espaço menos espaço 4.1. parêntese esquerdo menos espaço 525 parêntese direito delta maiúsculo espaço igual a espaço 400 espaço mais espaço 2100 espaço igual a espaço 2500

Para calcular as raízes, usamos:

x igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração

Substituindo os valores na fórmula acima, iremos encontrar as raízes da equação, assim:

x com 1 subscrito igual a numerador menos 20 mais raiz quadrada de 2500 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 20 mais 50 sobre denominador 2 fim da fração igual a 30 sobre 2 igual a 15 x com 2 subscrito igual a numerador menos 20 menos raiz quadrada de 2500 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 20 menos 50 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 70 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 35

Como a minha idade não pode ser negativa, desprezamos o valor -35. Assim, o resultado é 15 anos.

Exercício 2

Uma praça, representada da figura abaixo, apresenta um formato retangular e sua área é igual a 1 350 m2. Sabendo que sua largura corresponde a 3/2 da sua altura, determine as dimensões da praça.

Exercício 2 de equação do 2º grau

Solução

Considerando que sua altura é igual a x, a largura será então igual a 3/2x. A área de um retângulo é calculada multiplicando-se sua base pelo valor da altura. Neste caso, temos:

3 sobre 2 x. x espaço igual a espaço 1350 3 sobre 2 x ao quadrado igual a 1350 3 sobre 2 x ao quadrado menos 1350 igual a 0

Chegamos a uma equação incompleta do 2º grau, com a = 3/2, b = 0 e c = - 1350, podemos calcular esse tipo de equação, isolando o x e calculando o valor da raiz quadrada.

x ao quadrado igual a numerador 1350.2 sobre denominador 3 fim da fração igual a 900 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 900 igual a mais ou menos 30

Como o valor do x representa a medida da altura, iremos desconsiderar o - 30. Assim, a altura do retângulo é igual a 30 m. Para calcular a largura, vamos multiplicar esse valor por 3/2:

3 sobre 2.30 igual a 45

Portanto, a largura da praça é igual a 45 m e sua altura é igual a 30 m.

Exercício 3

Determine a soma e o produto das raízes da equação 3 reto x ao quadrado mais 15 reto x menos 18 igual a 0, depois, suas raízes.

Resposta: As raízes são 1 e -6.

Resolução

A soma é obtida por:

reto S igual a numerador menos reto b sobre denominador reto a fim da fração igual a numerador menos 15 sobre denominador 3 fim da fração igual a menos 5

O produto é obtido por:

reto P igual a reto c sobre reto a igual a numerador menos 18 sobre denominador 3 fim da fração igual a menos 6

Devemos encontrar dois números que somados sejam iguais a -5 e multiplicados, iguais a -6.

Pela multiplicação, podemos fazer: -6 . 1 = -6

Estes mesmos números somados, devem ser iguais a -5. Temos:

-6 + 1 = -5

Assim, as raízes são 1 e -6.

Exercício 4

Analise a seguinte equação do segundo grau: reto x ao quadrado mais 14 reto x mais 49 igual a 0.

Pode-se afirmar que ela possui:

a) Nenhuma raiz real.
b) Duas raízes reais diferentes.
c) Duas raízes reais iguais.
d) Não é possível concluir.

Resposta: c) Duas raízes reais iguais.

Resolução

Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Cálculo do Delta:

incremento igual a reto b ao quadrado menos 4. reto a. reto c incremento igual a 14 ao quadrado menos 4.1.49 incremento igual a 196 menos 196 incremento igual a 0

Como o delta é zero, a equação possui duas raízes reais iguais.

Ao substituir na fórmula de Bhaskara:

reto x com 1 subscrito igual a reto x com 2 subscrito igual a numerador menos reto b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto x com 1 subscrito igual a reto x com 2 subscrito igual a numerador menos 14 mais ou menos raiz quadrada de 0 sobre denominador 2.1 fim da fração reto x com 1 subscrito igual a reto x com 2 subscrito igual a menos 7

Exercício 5

Considerando a equação reto x ao quadrado menos 3 reto x mais 2 igual a 0, qual das seguintes opções representa sua forma fatorada?

a) (x-3)(x-2)
b) (x-2)(x-1)
c) 2(x+2)(x-1)
d) -3(x-2)(x-1)
e) (x-1)(x+3)

Resposta: b) (x-2)(x-1)

Resolução

Sendo a, b e c os coeficientes da equação e x1 e x2 suas raízes, a forma fatorada de uma equação do segundo grau é:

a(x-x1)(x-x2)

Vamos determinar as equações pela fórmula de Bhaskara.

incremento igual a reto b ao quadrado menos 4. reto a. reto c incremento igual a parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.2 incremento igual a 9 menos 8 igual a 1

reto x com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito mais raiz quadrada de 1 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 3 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2 reto x com 2 subscrito igual a numerador menos reto b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito menos raiz quadrada de 1 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 3 menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1

Como a = 1, sua forma fatorada é:

1 parêntese esquerdo x menos 2 parêntese direito parêntese esquerdo x menos 1 parêntese direito espaço igual a espaço negrito parêntese esquerdo bold italic x negrito menos negrito 2 negrito parêntese direito negrito parêntese esquerdo bold italic x negrito menos negrito 1 negrito parêntese direito

Exercício 6

Para que x = 1 seja raiz da equação 2ax2 + (2a2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, os valores de a deverão ser:

a) 3 e 2
b) - 1 e 1
c) 2 e - 3
d) 0 e 2
e) - 3 e - 2

Solução

Para encontrar o valor do a, primeiro vamos substituir o x por 1. Desta forma, a equação ficará assim:

2.a.12 + (2a2 - a - 4) . 1 - 2 - a2 = 0
2a + 2a2 - a - 4 - 2 - a2 = 0
a2 + a - 6 = 0

Agora, devemos calcular a raiz da equação completa da 2º grau, para isso vamos usar a fórmula de Bhaskara.

incremento espaço igual a espaço 1 ao quadrado espaço menos espaço 4.1. parêntese esquerdo menos espaço 6 parêntese direito incremento espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 24 espaço igual a espaço 25 a com 1 subscrito igual a numerador menos 1 mais raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 1 mais 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 a com 2 subscrito igual a numerador menos 1 menos raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 1 menos 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 3

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

Exercício 7

Um estudante de física está estudando o lançamento de projéteis em um laboratório. Ele observa que a altura h em metros do projétil, lançado a uma velocidade inicial v0 em metros por segundo, após t segundos, é dada pela equação do segundo grau:

reto h parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a menos 5 reto t ao quadrado mais reto v com 0 subscrito reto t mais 10

O estudante lança um projétil com uma velocidade inicial de 20 m/s. Considerando a equação, qual é a altura máxima atingida pelo projétil?

a) 15 metros
b) 20 metros
c) 25 metros
d) 30 metros
e) 35 metros

Resolução: d) 30 metros

O ponto mais alto obtido é o vértice da parábola. Podemos obtê-lo pela fórmula:

reto h com reto v subscrito igual a numerador menos incremento sobre denominador 4 reto a fim da fração igual a menos numerador abre parênteses reto b ao quadrado menos 4. reto a. reto c fecha parênteses sobre denominador 4 reto a fim da fração

Onde,

  • hv é a altura no vértice (ponto mais alto);
  • a, b e c são os coeficientes da função.

reto h com reto v subscrito igual a menos numerador abre parênteses reto b ao quadrado menos 4. reto a. reto c fecha parênteses sobre denominador 4 reto a fim da fração reto h com reto v subscrito igual a menos numerador abre parênteses 20 ao quadrado menos 4. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito.10 fecha parênteses sobre denominador 4. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito fim da fração reto h com reto v subscrito igual a menos numerador abre parênteses 400 mais 200 fecha parênteses sobre denominador menos 20 fim da fração reto h com reto v subscrito igual a menos numerador 600 sobre denominador menos 20 fim da fração reto h com reto v subscrito igual a 30

Exercício 8

Um agricultor está fazendo uma horta retangular tal que a largura deve ser dois metros menor que o comprimento e, a área total deve ser de oito metros quadrados. Sendo x a medida do comprimento da horta em metros, suas dimensões são

Resposta: Comprimento 4 e largura 2.

Resolução

Chamando o comprimento do retângulo de x, sua largura deverá ser x - 2.

A área de um retângulo é determinada pelo produto entre a base e a altura.

reto A igual a 8

Onde A é a área.

Substituindo A pelo produto x(x-2), multiplicando x pelos termos dentro do parenteses e passando o 8 para esquerda, temos:

reto A igual a 8 reto x parêntese esquerdo reto x menos 2 parêntese direito igual a 8 reto x ao quadrado menos 2 reto x menos 8 igual a 0

Para determinar o valor de x (que é a medida do comprimento), resolvemos a equação do segundo grau.

O delta da equação fica:

incremento igual a reto b ao quadrado menos 4. reto a. reto c incremento igual a parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado menos 4.1. abre parênteses menos 8 fecha parênteses incremento igual a 4 menos 4. abre parênteses menos 8 fecha parênteses incremento igual a 4 mais 32 incremento igual a 36

Pela fórmula resolutiva de Bhaskara:

reto x com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito mais raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 2 mais 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a 4 reto x com 2 subscrito igual a numerador menos reto b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito menos raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 2 menos 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2

Como se trata de um medida, consideramos x = 4 para o comprimento. Como a largura deve ser 2 metros menor, ela é igual a 2.

Comprimento 4 e largura 2.

Exercício 9

Um departamento de matrículas para a disciplina de cálculo em uma universidade inicia o período de inscrições no dia dois do mês. Eles observaram que o número de matrículas cresce desde a abertura, partindo de zero matrículas, atinge uma quantidade máxima em algum dia e começa a diminuir, até que todas as vagas sejam preenchidas. A quantidade de matrículas por dia segue a função reto m parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a menos reto x ao quadrado menos 15 reto x menos 26, em que x representa os dias trabalhados e m(x) a quantidade de matrículas.

Abaixo está o calendário do mês de matrículas.

calendário

Se x representa os dias trabalhados, ou seja, apenas os dias úteis, o departamento fechará as inscrições para a disciplina de cálculo no dia

a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17

Resposta: e) 17

Resolução

A função que representa o número de inscrições por dia é uma função polinomial do segundo grau.

Como o primeiro dia abre com zero inscrições e o último termina sem inscrições, com todas as vagas preenchidas, estes dias representam os zeros da função, o primeiro e o último.

Podemos calculá-los através do uso da fórmula resolutiva de Bhaskara, fazendo m(x) = 0.

Sendo a função reto m parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a menos reto x ao quadrado mais 15 reto x menos 26, com

a = -1
b = -15
c = -26

O delta da equação é:

incremento igual a reto b ao quadrado menos 4. reto a. reto c incremento igual a 15 ao quadrado menos 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 26 parêntese direito incremento igual a 225 espaço menos espaço 104 incremento igual a 121

As raízes da equação são:

reto x com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração igual a numerador menos 15 mais raiz quadrada de 121 sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos 15 mais 11 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a 2 reto x com 2 subscrito igual a numerador menos reto b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração igual a numerador menos 15 menos raiz quadrada de 121 sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos 15 menos 11 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a numerador menos 26 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a 13

Isto significa que houveram matrículas por 12 dias, mas apenas em dias úteis. Contando a partir do dia 2 do mês, sem considerar os sábados e domingos, o último dia de matrícula foi o dia 17.

Exercício 10

(Epcar - 2017)

Considere, em ℝ, a equação (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 na variável x, em que m é um número real diferente de - 2.

Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
( ) Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.

A sequência correta é

a) V – V – V
b) F – V – F
c) F – F – V
d) V – F – F

Vamos analisar cada uma das afirmações:

Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio

Como a equação é do segundo grau em ℝ, não terá solução quando o delta for menor que zero. Calculando esse valor, temos:

delta maiúsculo espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 2 m parêntese direito ao quadrado espaço menos espaço 4. parêntese esquerdo m espaço mais espaço 2 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo m espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço P a r a espaço delta maiúsculo espaço menor que espaço 0 vírgula espaço f i c a r á dois pontos espaço 4 m ao quadrado espaço menos espaço 4 parêntese esquerdo m ao quadrado menos espaço m espaço mais espaço 2 m espaço menos espaço 2 parêntese direito espaço menor que espaço 0 espaço 4 m ao quadrado espaço menos espaço 4 m ao quadrado espaço mais espaço 4 m espaço menos espaço 8 m espaço mais espaço 8 espaço menor que espaço 0 menos espaço 4 m espaço mais espaço 8 espaço menor que espaço 0 espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a n d o espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito espaço 4 m espaço maior que espaço 8 espaço m espaço maior que espaço 2

Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.

A equação terá raízes reais iguais quando Δ=0, ou seja:

- 4m + 8 =0
m=2

Portanto, a afirmação é falsa, pois existe apenas um valor de m em que as raízes são reais e iguais.

Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.

Para Δ>0, temos:

menos 4 m mais 8 maior que 0 espaço 4 m menor que 8 espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a n d o espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito espaço m menor que 2

Como existem no conjunto dos números reais infinitos números negativos menores que 2, a afirmação também é falsa.

Alternativa d: V-F-F

Exercício 11

(Coltec - UFMG - 2017)

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Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Rosimar Gouveia
Edição por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.