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Exercícios sobre Binômio de Newton

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
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Treine seus conhecimentos sobre o Binômio de Newton e aproveite para esclarecer suas dúvidas com os exercícios que preparamos, todos acompanhados de respostas comentadas.

Questão 1

Desenvolva a seguinte potência: abre parênteses reto a mais reto b fecha parênteses à potência de 5.

Resposta: negrito a à potência de negrito 5 negrito mais negrito 5 negrito a à potência de negrito 4 negrito b negrito mais negrito 10 negrito a à potência de negrito 3 negrito b à potência de negrito 2 negrito mais negrito 10 negrito a à potência de negrito 2 negrito b à potência de negrito 3 negrito mais negrito 5 negrito ab à potência de negrito 4 negrito mais negrito b à potência de negrito 5

Resolução:

Vamos utilizar o Binômio de Newton para desenvolver a potência.

Para isso, montamos os números binomiais e as potências.

O primeiro termo, a, terá expoentes decrescentes que vão de 5 até 0, em cada parcela. Já o segundo termo, b, terá expoentes crescentes, de 0 até 5.

abre parênteses tabela linha com 5 linha com 0 fim da tabela fecha parênteses. reto a à potência de 5. reto b à potência de 0 mais abre parênteses tabela linha com 5 linha com 1 fim da tabela fecha parênteses. reto a à potência de 4. reto b à potência de 1 mais abre parênteses tabela linha com 5 linha com 2 fim da tabela fecha parênteses. reto a ao cubo. reto b ao quadrado mais abre parênteses tabela linha com 5 linha com 3 fim da tabela fecha parênteses. reto a ao quadrado. reto b ao cubo mais abre parênteses tabela linha com 5 linha com 4 fim da tabela fecha parênteses. reto a à potência de 1. reto b à potência de 4 mais abre parênteses tabela linha com 5 linha com 5 fim da tabela fecha parênteses. reto a à potência de 0. reto b à potência de 5

Para determinar os números binomiais, utilizamos o Triângulo de Pascal.

tabela linha com célula com reto n igual a 0 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula blank blank blank blank blank linha com célula com reto n igual a 1 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula blank blank blank blank linha com célula com reto n igual a 2 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 2 espaço fim da célula 1 blank blank blank linha com célula com reto n igual a 3 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 3 espaço fim da célula 3 célula com 1 espaço fim da célula blank blank linha com célula com reto n igual a 4 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 4 espaço fim da célula 6 célula com 4 espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula blank linha com célula com reto n igual a 5 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 5 espaço fim da célula 10 célula com 10 espaço fim da célula célula com 5 espaço fim da célula 1 fim da tabela

Como o n da potência é o 5, utilizamos a sexta linha do triângulo (n=5). Repare que a primeira linha é n=0. Os coeficientes são: 1 5 10 10 5 1.

O próximo passo é substituir os números binomiais já calculados.

negrito 1. reto a à potência de 5. reto b à potência de 0 mais negrito 5. reto a à potência de 4. reto b à potência de 1 mais negrito 10. reto a ao cubo. reto b ao quadrado mais negrito 10. reto a ao quadrado. reto b ao cubo mais negrito 5. reto a à potência de 1. reto b à potência de 4 mais negrito 1. reto a à potência de 0. reto b à potência de 5

Para fazer um ajuste final, podemos omitir os coeficientes iguais a 1, assim como os expoentes. Também podemos omitir as potências com expoentes 0, por serem iguais a 1.

1. reto a à potência de 5.1 mais 5. reto a à potência de 4. reto b à potência de 1 mais 10. reto a ao cubo. reto b ao quadrado mais 10. reto a ao quadrado. reto b ao cubo mais 5. reto a à potência de 1. reto b à potência de 4 mais 1.1. reto b à potência de 5 igual a negrito a à potência de negrito 5 negrito mais negrito 5 negrito a à potência de negrito 4 negrito b negrito mais negrito 10 negrito a à potência de negrito 3 negrito b à potência de negrito 2 negrito mais negrito 10 negrito a à potência de negrito 2 negrito b à potência de negrito 3 negrito mais negrito 5 negrito ab à potência de negrito 4 negrito mais negrito b à potência de negrito 5

Questão 2

Utilizando o Binômio de Newton, expanda a potência abre parênteses 2 reto a menos reto b fecha parênteses à potência de 4.

Resposta: 16 reto a à potência de 4 menos 32 reto a ao cubo reto b mais 24 reto a ao quadrado reto b ao quadrado menos 8 ab ao cubo mais reto b à potência de 4

Escrevemos os números binomiais seguidos das potências de seus termos. O primeiro termo (2a), receberá expoentes decrescentes de 4 até 0. O segundo termo (-b), receberá expoentes crescentes de 0 até 4.

abre parênteses tabela linha com 4 linha com 0 fim da tabela fecha parênteses. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito à potência de 4. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito à potência de 0 mais abre parênteses tabela linha com 4 linha com 1 fim da tabela fecha parênteses. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito ao cubo. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito à potência de 1 mais abre parênteses tabela linha com 4 linha com 2 fim da tabela fecha parênteses. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito ao quadrado. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito ao quadrado mais abre parênteses tabela linha com 4 linha com 3 fim da tabela fecha parênteses. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito à potência de 1. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito ao cubo mais abre parênteses tabela linha com 4 linha com 4 fim da tabela fecha parênteses. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito à potência de 0. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito à potência de 4

Para determinar os números binomiais, utilizamos o Triângulo de Pascal.

tabela linha com célula com reto n igual a 0 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula blank blank blank blank linha com célula com reto n igual a 1 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula blank blank blank linha com célula com reto n igual a 2 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 2 espaço fim da célula 1 blank blank linha com célula com reto n igual a 3 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 3 espaço fim da célula 3 célula com 1 espaço fim da célula blank linha com célula com reto n igual a 4 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 4 espaço fim da célula 6 célula com 4 espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula fim da tabela

Como o expoente da potência abre parênteses 2 reto a menos reto b fecha parênteses à potência de 4 é 4, utilizamos os coeficientes da quinta linha, n=4.

Substituindo estes coeficientes na expansão, temos:

negrito 1. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito à potência de 4. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito à potência de 0 mais negrito 4. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito ao cubo. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito à potência de 1 mais negrito 6. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito ao quadrado. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito ao quadrado mais negrito 4. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito à potência de 1. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito ao cubo mais negrito 1. parêntese esquerdo 2 reto a parêntese direito à potência de 0. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito à potência de 4

O próximo passo é resolver as potências dos termos.

negrito 1.16. reto a à potência de 4.1 mais negrito 4.8. reto a ao cubo. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito mais negrito 6.4 reto a ao quadrado. reto b ao quadrado mais negrito 4.2 reto a. parêntese esquerdo menos reto b parêntese direito ao cubo mais negrito 1.1. reto b à potência de 4

Realizando os produtos em cada termo:

16 reto a à potência de 4 menos 32 reto a ao cubo reto b mais 24 reto a ao quadrado reto b ao quadrado menos 8 ab ao cubo mais reto b à potência de 4

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Questão 3

Escreva 1100 à potência de 4 como uma soma de notações científicas, utilizando o método do Binômio de Newton.

Resposta: 1.10 à potência de 12 mais 4.10 à potência de 11 mais 6.10 à potência de 10 mais 4.10 à potência de 9 mais 1.10 à potência de 8

1100 pode ser escrito como 1000 + 100. Assim, a potência fica:

parêntese esquerdo 1000 espaço mais espaço 100 parêntese direito à potência de 4

Temos:

a = 1000
b = 100
n = 4

Utilizando para os coeficientes binomiais a quinta linha (n=4) do triângulo de Pascal.

tabela linha com célula com Linha espaço 1 dois pontos espaço reto n igual a 0 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula blank blank blank blank linha com célula com Linha espaço 2 dois pontos espaço reto n igual a 1 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula blank blank blank linha com célula com Linha espaço 3 dois pontos espaço reto n igual a 2 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 2 espaço fim da célula 1 blank blank linha com célula com Linha espaço 4 dois pontos espaço reto n igual a 3 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 3 espaço fim da célula 3 célula com 1 espaço fim da célula blank linha com célula com Linha espaço 5 dois pontos espaço reto n igual a 4 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 4 espaço fim da célula 6 célula com 4 espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula fim da tabela

Vamos montar o binômio de Newton:

negrito 1.1000 à potência de 4.100 à potência de 0 mais negrito 4.1000 ao cubo.100 à potência de 1 mais negrito 6.1000 ao quadrado.100 ao quadrado mais negrito 4.1000 à potência de 1.100 ao cubo mais negrito 1.1000 à potência de 0.100 à potência de 4

Vamos escrever as potências com expoentes 10.

parêntese esquerdo 10 ao cubo parêntese direito à potência de 4 mais 4. parêntese esquerdo 10 ao cubo parêntese direito ao cubo.10 ao quadrado mais 6. abre parênteses 10 ao cubo fecha parênteses ao quadrado. abre parênteses 10 ao quadrado fecha parênteses ao quadrado mais 4. abre parênteses 10 ao cubo fecha parênteses. abre parênteses 10 ao quadrado fecha parênteses ao cubo mais 1. abre parênteses 10 ao cubo fecha parênteses à potência de 0. abre parênteses 10 ao quadrado fecha parênteses à potência de 4 igual a negrito 1 negrito. negrito 10 à potência de negrito 12 negrito mais negrito 4 negrito. negrito 10 à potência de negrito 11 negrito mais negrito 6 negrito. negrito 10 à potência de negrito 10 negrito mais negrito 4 negrito. negrito 10 à potência de negrito 9 negrito mais negrito 1 negrito. negrito 10 à potência de negrito 8

Questão 4

Na potência abre parênteses reto x ao quadrado mais reto y ao cubo fecha parênteses à potência de 6 determine o coeficiente do termo onde o expoente de x é 8.

Resposta: 15

Resolução

Para determinar um termo qualquer utilizamos a fórmula:

reto T igual a abre parênteses tabela linha com reto n linha com reto p fim da tabela fecha parênteses. reto a à potência de reto p. reto b à potência de reto n menos reto p fim do exponencial

Onde ,

T é o termo procurado,
a e b são os termos do binômio,
n é o expoente da potencia
p é o índice do termo.

Em nosso problema, temos que:

a = x²
b = y³
n = 6

Precisamos determinar o valor p. Para isso, vamos substituir a, b e n na fórmula do termo geral.

reto T igual a abre parênteses tabela linha com 6 linha com reto p fim da tabela fecha parênteses parêntese esquerdo reto x ao quadrado parêntese direito à potência de reto p parêntese esquerdo reto y ao cubo parêntese direito à potência de 6 menos reto p fim do exponencial reto T igual a abre parênteses tabela linha com 6 linha com reto p fim da tabela fecha parênteses reto x à potência de 2 reto p fim do exponencial reto y à potência de 18 menos 3 reto p fim do exponencial

Como queremos o coeficiente em que x à potência de 8, vamos igualar:

reto x à potência de 2 reto p fim do exponencial igual a reto x à potência de 8 reto p igual a 8 sobre 2 igual a 4

Substituindo p = 4 na equação do termo geral:

reto T igual a abre parênteses tabela linha com 6 linha com 4 fim da tabela fecha parênteses reto x à potência de 2.4 fim do exponencial reto y à potência de 18 menos 3.4 fim do exponencial reto T igual a abre parênteses tabela linha com 6 linha com 4 fim da tabela fecha parênteses reto x à potência de 8 reto y à potência de 18 menos 12 fim do exponencial reto T igual a abre parênteses tabela linha com 6 linha com 4 fim da tabela fecha parênteses reto x à potência de 8 reto y à potência de 6

Assim, o coeficiente do termo onde a potência de x tem expoente 8, é o resultado de abre parênteses tabela linha com 6 linha com 4 fim da tabela fecha parênteses.

abre parênteses tabela linha com 6 linha com 4 fim da tabela fecha parênteses igual a numerador 6 fatorial sobre denominador 4 fatorial espaço parêntese esquerdo 6 menos 4 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 6 fatorial sobre denominador 4 fatorial espaço 2 fatorial fim da fração igual a numerador 6 fatorial sobre denominador 4 fatorial espaço 2 fatorial fim da fração igual a numerador 6 espaço. espaço 5 espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 4 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 4 fatorial fim do riscado espaço. espaço 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a 30 sobre 2 igual a 15

Portanto, 15 é o coeficiente.

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Questão 5

No desenvolvimento da potência abre parênteses x mais 7 fecha parênteses à potência de 11, determine qual o oitavo termo, considerando as potências crescentes de x.

Resposta: reto T igual a 2 espaço 695 reto x à potência de 9

Temos:

n = 11
a = x
b = 7

Utilizando a fórmula do termo geral:

reto T igual a abre parênteses tabela linha com reto n linha com reto p fim da tabela fecha parênteses. reto a à potência de reto p. reto b à potência de reto n menos reto p fim do exponencial reto T igual a abre parênteses tabela linha com 11 linha com reto p fim da tabela fecha parênteses. reto x à potência de reto p.7 à potência de 11 menos reto p fim do exponencial

A questão pede o oitavo termo, por isso, faremos p = 9.

Lembre que o primeiro termo é p = 0.

Substituindo na equação anterior:

reto T igual a abre parênteses tabela linha com 11 linha com 9 fim da tabela fecha parênteses. reto x à potência de 9.7 à potência de 11 menos 9 fim do exponencial reto T igual a abre parênteses tabela linha com 11 linha com 9 fim da tabela fecha parênteses. reto x à potência de 9.7 ao quadrado reto T igual a abre parênteses tabela linha com 11 linha com 9 fim da tabela fecha parênteses.49 reto x à potência de 9

Resolvendo o número binomial:

abre parênteses tabela linha com 11 linha com 9 fim da tabela fecha parênteses igual a numerador 11 fatorial sobre denominador 9 fatorial espaço parêntese esquerdo 11 menos 9 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 11 fatorial sobre denominador 9 fatorial espaço 2 fatorial fim da fração igual a numerador 11 espaço. espaço 10 espaço. riscado diagonal para cima sobre espaço 9 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 9 fatorial fim do riscado espaço. espaço 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a 110 sobre 2 igual a 55

Substituindo na equação do termo geral:

reto T igual a 55.49 reto x à potência de 9 reto T igual a 2 espaço 695 reto x à potência de 9

Questão 6

Determine o termo central no desenvolvimento de parêntese esquerdo reto x espaço mais espaço 6 parêntese direito à potência de 4, segundo as potências crescentes de x.

Resposta: reto T igual a 216 reto x ao quadrado

Como n = 4, o desenvolvimento tem 5 termos. Conforme o triângulo de Pascal, o coeficiente central é 6.

tabela linha com célula com Linha espaço 1 dois pontos espaço reto n igual a 0 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula blank blank blank blank linha com célula com Linha espaço 2 dois pontos espaço reto n igual a 1 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula blank blank blank linha com célula com Linha espaço 3 dois pontos espaço reto n igual a 2 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 2 espaço fim da célula 1 blank blank linha com célula com Linha espaço 4 dois pontos espaço reto n igual a 3 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 3 espaço fim da célula 3 célula com 1 espaço fim da célula blank linha com célula com Linha espaço 5 dois pontos espaço reto n igual a 4 dois pontos fim da célula célula com 1 espaço espaço fim da célula célula com 4 espaço fim da célula 6 célula com 4 espaço fim da célula célula com 1 espaço fim da célula fim da tabela

Na linha 5, p0=1, p1=4, p2=6.

Temos:

n = 4
a = x
b = 6
p = 2

Usando a fórmula do termo geral:

reto T igual a abre parênteses tabela linha com reto n linha com reto p fim da tabela fecha parênteses. reto a à potência de reto p. reto b à potência de reto n menos reto p fim do exponencial reto T igual a 6. reto x ao quadrado.6 à potência de 4 menos 2 fim do exponencial reto T igual a 6. reto x ao quadrado.6 ao quadrado reto T igual a 6. reto x ao quadrado.36 negrito T negrito igual a negrito 216 negrito x à potência de negrito 2

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Questão 7

(SEDF 2022) Considerando o desenvolvimento de parêntese esquerdo reto a espaço mais espaço reto b parêntese direito à potência de reto n, em que a e b são reais e n é natural, julgue o item.

Se n = 10, então a soma de todos os coeficientes do desenvolvimento é igual a 1.024.

a) certo

b) errado

Gabarito explicado

Resolução

Como os termos do binômio são apenas algébricos, a e b, os coeficientes podem ser determinados por 2 à potência de reto n.

Sendo n=10, temos:

2 à potência de 10 igual a 1 espaço 024

Questão 8

(UECE 2013) O termo independente de x no desenvolvimento de abre parênteses reto x à potência de 4 menos 1 sobre reto x fecha parênteses à potência de 10é:

a) –45.

b) 45.

c) –54.

d) 54.

Gabarito explicado

Resolução

O termo independente de x possui 0 como expoente.

Temos:

n=10

a igual a x à potência de 4

b igual a menos 1 sobre x

Pela fórmula do termo geral:

reto T igual a abre parênteses tabela linha com reto n linha com reto p fim da tabela fecha parênteses reto a à potência de reto p. reto b à potência de reto n menos reto p fim do exponencialreto T igual a abre parênteses tabela linha com 10 linha com reto p fim da tabela fecha parênteses abre parênteses reto x à potência de 4 fecha parênteses à potência de reto p. abre parênteses menos 1 sobre reto x fecha parênteses à potência de 10 menos reto p fim do exponencial

Precisamos determinar p para calcular o número binomial abre parênteses tabela linha com 10 linha com p fim da tabela fecha parênteses.

Como o termo deve ser independente de x:

abre parênteses reto x à potência de 4 fecha parênteses à potência de reto p. abre parênteses menos 1 sobre reto x fecha parênteses à potência de 10 menos reto p fim do exponencial igual a reto x à potência de 0menos reto x à potência de 4 reto p fim do exponencial. reto x à potência de menos 1 fim do exponencial à potência de abre parênteses 10 menos reto p fecha parênteses fim do exponencial igual a reto x à potência de 0menos reto x à potência de 4 reto p fim do exponencial. reto x à potência de menos 10 mais reto p fim do exponencial igual a reto x à potência de 0menos reto x à potência de 4 reto p menos 10 mais reto p fim do exponencial igual a reto x à potência de 0menos reto x à potência de 5 reto p menos 10 fim do exponencial igual a reto x à potência de 0

Como reto x à potência de 0 igual a parêntese esquerdo menos reto x parêntese direito à potência de 0 igual a 1

menos reto x à potência de 5 reto p menos 10 fim do exponencial igual a parêntese esquerdo menos reto x parêntese direito à potência de 0

Cancelando as bases e igualando os expoentes:

5 reto p menos 10 igual a 05 reto p igual a 10reto p igual a 10 sobre 5 igual a 2

Com o valor de p, pode calcular o número binomial abre parênteses tabela linha com 10 linha com p fim da tabela fecha parênteses.

abre parênteses tabela linha com 10 linha com p fim da tabela fecha parênteses igual a abre parênteses tabela linha com 10 linha com 2 fim da tabela fecha parênteses igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço parêntese esquerdo 10 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço 8 fatorial fim da fração igual a numerador 10 espaço. espaço 9 espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado sobre denominador 2 espaço. espaço 1 espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado fim da fração igual a 90 sobre 2 igual a 45

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Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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