Exercícios sobre critérios de divisibilidade (com gabarito explicado)
Dominar os critérios de divisibilidade é essencial para construir um raciocínio lógico rápido e seguro. Pratique com esta lista de exercícios resolvidos passo a passo e garanta a base aritmética necessária para dominar desde a fatoração até os problemas mais complexos dos principais concursos.
Questão 1
Sobre o número 7.517.531 é correto afirmar que ele é divisível por:
a) 17
b) 13
c) 9
d) 7
Podemos aplicar o critério de divisibilidade por 7 que diz:
"Um número é divisível por 7 quando, ao separar o último algarismo, dobrar esse algarismo e subtrair o resultado do número formado pelos demais algarismos, o valor obtido for divisível por 7".
Esse processo pode ser repetido até chegar a um número fácil de verificar.
751753 1
751753-2=751751
75175 1
75175-2=75173
7517 3
7517-6=7511
751 1
751-2=749
74 9
74-18=56
Como 56 é divisível por 7, então 7517531 também é divisível por 7.
Questão 2
o número 
onde 
e 
são algarismos, é divisível por 
qual o valor de 
?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Para que o número seja divisível por 99 ele deve ser divisível por 9 e por 11.
1º Caso: Divisível por 9 - Quando a soma dos algarismos é múltiplo de 9.
1+4+8+7+9+5+7+8+a+b+9+2 = 60+a+b = Múltiplo de 9
2º Caso: Divisível por 11 - Quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarisms de ordem par é múltiplo de 11.
(1+8+9+7+a+9)−(4+7+5+8+b+2) = 8+a-b = Múltiplo de 11
A única solução que satisfaz a ambas as condições são a=3 e b=0, ou ainda, a+b=3.
Questão 3
Um número de quatro algarismos 
é tal que 
. Então, podemos afirmar que 
é sempre divisível por:
a) 5
b) 7
c) 11
d) 13
Podemos decompor da seguinte forma:
E como
Substituindo em .
Isto é, é sempre múltiplo de 11.
Questão 4
O número 2.203.591 é sempre divisível por:
a) 3
b) 7
c) 11
d) 13
De acordo com o crtitério de divisibilidade por 13 temos:
“Retira-se o último algarismo, multiplica-se esse algarismo por 444 e soma-se ao número restante.”
220359 1
220359+4=220363
22036 3
22036+12=22048
2204 8
2204+32=2236
223 6
223+24=247
24 7
24+28=52
Como 52 é divisível de 13, então 2203591 também é divisível de 13.
Questão 5
O número 
, onde e são algarismos e 
. Sabendo que é divisível por 
.
Então, o valor da soma de todos os possíveis valores de 
é:
a) 1
b) 1024
c) 1025
d) 1033
Para ser divisível por 45 o número deve ser divisível por 5 e por 9.
Critério por 5
"A unidade é 0 ou 5."
Logo b=0 ou b=5.
Critério por 9
"A soma dos algarismos do número é múltiplo de 9."
Questão 6
Considere o número
O resto da divisão de 
por 
é:
a) 0
b) 1
c) 7
d) 10
Observe que o número é formado por 2025 algarismos 7 seguido de 1 algarismo 8.
Usando o critério de divisibilidade por 11 temos 1013 algarismos 7 na ordem ímpar e 1012 algarismos 7 + 8 na ordem par.
Questão 7
O número 
é formado pela repetição do bloco "123" exatamente 675 vezes.
O resto da divisão de 
por 7 é:
a) 4
b) 3
c) 1
d) 0
Observe que
Podemos conjecturar que 
.
E de fato é, pois,
Como dentro do parêntese temos uma quantidade ímpar de termos com mais expoentes pares que ímpares:
Assim o resto da dvisão de por 7 é o mesmo que de 123 por 7, logo temos resto 4.
Questão 8
Considere o número 
. Podemos afirmar que o resto da divisão de por 13 é:
a) 6
b) 4
c) 3
d) 1
Podemos reescrever o número da seguinte forma:
Observe que:
E este restos se repetem de três em três, portanto,
O resto da soma entre parênteses será 1 se o oexpoente for divisível por 3, 10 se deixar resto 2 na divisão por 3 ou 0 se deixar resto 1 na divisão por 3, como o maior expoente é 2024 e este deixa resto 2 na divisão por 3, a soma das potências de 10 terá resto 10 na divisão por 13.
Por outro lado, 16 deixa resto 3 na divisão por 3, logo
Saiba mais sobre critérios de divisibilidade.
Referências Bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática: 6º ano. 4. ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.
DANTE, Luiz Roberto. Teláris Matemática: 6º ano. 3. ed. São Paulo: Ática, 2018.
GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática: 6º ano. 4. ed. São Paulo: FTD, 2018.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade: 6º ano. 9. ed. São Paulo: Atual, 2018.
CANELLAS, William. Exercícios sobre critérios de divisibilidade (com gabarito explicado). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-criterios-de-divisibilidade-com-gabarito-explicado/. Acesso em:
