Exercícios sobre inequações logarítmicas (com gabarito explicado)
As inequações logarítmicas são ferramentas matemáticas úteis para resolver problemas que envolvem crescimentos ou decaimentos exponenciais e escalas logarítmicas. Sua aplicação vai muito além do contexto acadêmico, abrangendo desde o planejamento financeiro até a análise de fenômenos naturais e tecnológicos.
Questão 1
Em uma grande cidade, o índice de qualidade do ar (IQA) é monitorado diariamente. Estudos evidenciam que a concentração de poluentes atmosféricos, em μg/m³, pode ser modelada pela inequação logarítmica:
log₂(x + 4) - log₂(x - 2) ≤ log₂(3)
onde x representa o número de dias após a implementação de um novo sistema de controle de emissões.
Para que a qualidade do ar seja considerada adequada pelos órgãos ambientais, essa inequação deve ser satisfeita. Determine o conjunto de valores inteiros positivos de x que satisfazem essa condição.
a) {3, 4, 5, 6, 7, 8}
b) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
c) {4, 5, 6, 7, 8}
d) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
e) {5, 6, 7, 8, 9, 10}
Passo 1: Verificar as condições de existência.
Para os logaritmos existirem, precisamos:
- Logaritmando 1: x + 4 ＞ 0 → x ＞ -4
- Logaritmando 2: x - 2 ＞ 0 → x ＞ 2
Base: 2 ＞ 0 e 2 ≠ 1 ✓ (já satisfeita)
Condição de existência: x ＞ 2
Passo 2: Simplificar a inequação usando propriedades dos logaritmos.
log₂(x + 4) - log₂(x - 2) ≤ log₂(3)
Aplicando a propriedade: log (m) - log (n) = log (m/n)
Passo 3: Igualar as bases e resolver.
- Como a base 2 ＞ 1, mantemos o sinal da desigualdade.
- Como as bases dos logaritmos de ambos os membros da desigualdade são iguais, os eliminamos.
Passo 4: Resolver a inequação racional.
Passo 5: Intersecção com a condição de existência.
Condição de existência: x ＞ 2
Solução da inequação: x ≥ 5
Intersecção: x ≥ 5
Passo 7: Valores inteiros positivos.
Como queremos valores inteiros positivos com x ≥ 5: x ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Analisando as alternativas, a que melhor representa um conjunto finito razoável é:
Resposta: e) {5, 6, 7, 8, 9, 10}
Questão 2
Uma empresa de construção civil precisa garantir que o nível de ruído em suas obras não ultrapasse os limites estabelecidos pela Norma Regulamentadora NR-15. Para isso, foi desenvolvido um sistema de monitoramento que relaciona o tempo de exposição segura (em horas) com o número de máquinas em operação.
A inequação que determina a segurança acústica é:
log (t + 2) + log (t - 1) ≤ log (8)
onde t representa o tempo máximo de exposição segura (em horas) para um determinado nível de ruído.
Para cumprir a legislação trabalhista, determine quais valores inteiros de t (em horas) satisfazem a condição de segurança acústica.
a) t ∈ {2}
b) t ∈ {2, 3}
c) t ∈ {1, 2}
d) t ∈ {2, 3, 4}
e) t ∈ {3, 4}
Passo 1: Verificar as condições de existência.
Para os logaritmos existirem, precisamos:
Logaritmando 1: t + 2 ＞ 0 → t ＞ -2
Logaritmando 2: t - 1 ＞ 0 → t ＞ 1
Base: 10 ＞ 0 e 10 ≠ 1 ✓ (já satisfeita)
Condição de existência: t ＞ 1
Passo 2: Simplificar a inequação usando propriedades dos logaritmos.
log (t + 2) + log (t - 1) ≤ log (8)
Aplicando a propriedade: log (m) + log (n) = log (m·n)
log [(t + 2)(t - 1)] ≤ log (8)
Passo 3: Igualar as bases e resolver.
Como a base 10 ＞ 1, mantemos o sinal da desigualdade.
Como as bases são iguais, cancelamos os logaritmos.
(t + 2)(t - 1) ≤ 8
Passo 4: Desenvolver a inequação.
t² - t + 2t - 2 ≤ 8
t² + t - 2 ≤ 8
t² + t - 10 ≤ 0
Passo 5: Resolver a inequação quadrática.
Encontrando as raízes de t² + t - 10 = 0:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como √41 ≈ 6,4:
Para t1
Para t2
Passo 6: Análise de sinais.
A parábola y = t² + t - 10 tem concavidade para cima (a = 1 ＞ 0).
Para t² + t - 10 ≤ 0, precisamos: -3,7 ≤ t ≤ 2,7 (aproximadamente)
Passo 7: Intersecção com a condição de existência.
Condição de existência: t ＞ 1
Solução da inequação: -3,7 ≤ t ≤ 2,7
Intersecção: 1＜ t ≤ 2,7
Passo 8: Valores inteiros que satisfazem a condição.
Como precisamos de t ＞ 1 e t ≤ 2,7 (aproximadamente), os valores inteiros são: t ∈ {2}
Questão 3
O Centro Nacional de Monitoramento e Alertas de Desastres Naturais (Cemaden) desenvolveu um novo sistema de análise sísmica que relaciona o tempo de detecção (t) em segundos com a intensidade das ondas registradas. Para garantir a eficiência do sistema de alerta, os engenheiros estabeleceram que deve ser satisfeita a seguinte inequação logarítmica:
onde t representa o tempo de detecção em segundos após o início do evento sísmico.
Uma região próxima ao estado do Acre tem apresentado atividade sísmica crescente. Para acionar adequadamente o protocolo de evacuação preventiva, determine quais valores inteiros de t (em segundos) satisfazem o critério de segurança estabelecido pelos cientistas.
a) t ∈ {2, 3}
b) t ∈ {2, 3, 4, 5}
c) t ∈ {1, 2, 3}
d) t ∈ {2}
e) t ∈ {3, 4, 5}
Passo 1: Verificar as condições de existência.
Para os logaritmos existirem, precisamos:
Logaritmando 1: t + 3 ＞ 0 → t ＞ -3
Logaritmando 2: t - 1 ＞ 0 → t ＞ 1
Base: 2 ＞ 0 e 2 ≠ 1 ✓ (já satisfeita)
Condição de existência: t ＞ 1
Passo 2: Simplificar a inequação usando propriedades dos logaritmos.
log₂ (t + 3) - log₂ (t - 1) ≥ log₂ (2)
Aplicando a propriedade: log (m) - log (n) = log (m/n)
Passo 3: Igualar as bases e resolver.
Como a base 2 ＞ 1, mantemos o sinal da desigualdade:
Passo 4: Resolver a inequação racional.
Passo 5: Encontrar a solução.
A resolução da inequação determina que t deve ser menor ou igual a 5. Já a condição de existência, que t deve ser maior do que 1.
Isso ocorre quando: 1＜ t ≤ 5
Passo 6: Valores inteiros que satisfazem a condição.
Os valores inteiros no intervalo 1＜ t ≤ 5 são: t ∈ {2, 3, 4, 5}
Questão 4
O Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (INMETRO) desenvolveu um projeto para monitorar os níveis de poluição sonora em grandes centros urbanos brasileiros. Durante as medições, os técnicos observaram que em determinadas regiões, o nível de ruído varia ao longo do dia seguindo um padrão específico.
Para uma região comercial de São Paulo, os engenheiros acústicos desenvolveram um modelo matemático que relaciona o tempo t (em horas após 6h da manhã) com a intensidade sonora através da seguinte inequação logarítmica:
onde x representa o número de veículos (em centenas) que circulam por hora na região monitorada.
Conforme a Organização Mundial da Saúde (OMS), quando o número de veículos ultrapassa determinados valores, os níveis de ruído podem causar problemas de saúde à população. Para proteger a saúde pública e orientar políticas de trânsito, determine quais valores inteiros de x (em centenas de veículos) satisfazem a condição estabelecida pelo modelo.
Dado: log₂(16) = 4
a) x ∈ {8, 9, 10, 11, ...}
b) x ∈ {7, 8, 9, 10, ...}
c) x ∈ {6, 7, 8, 9, ...}
d) x ∈ {9, 10, 11, 12, ...}
e) x ∈ {3, 4, 5, 6, ...}
Passo 1: Verificar as condições de existência.
Para que o logaritmo log₂(3x - 6) exista, precisamos:
Condição do logaritmando: 3x - 6 ＞ 0
3x ＞ 6
x ＞ 6/3
x ＞ 2
Condição da base: 2 ＞ 0 e 2 ≠ 1 ✓ (já satisfeita)
Condição de existência: x ＞ 2
Passo 2: Resolver a inequação logarítmica.
A inequação é: log₂(3x - 6) ＞ 4
Usando o dado fornecido: log₂(16) = 4
log₂(3x - 6) ＞ log₂(16)
Passo 3: Aplicar a propriedade das inequações logarítmicas.
Como a base 2 ＞ 1, mantemos o sinal da desigualdade:
3x - 6 ＞ 16
Passo 4: Resolver a inequação linear.
3x - 6 ＞ 16
3x ＞ 16 + 6
3x ＞ 22
x ＞ 22/3
x ＞ 7,33... (aproximadamente)
Passo 5: Intersecção com a condição de existência.
Condição de existência: x ＞ 2
Solução da inequação: x ＞ 22/3 ≈ 7,33
Intersecção: x ＞ 22/3 ≈ 7,33
Passo 6: Determinar os valores inteiros.
Como precisamos de x ＞ 22/3 ≈ 7,33, os valores inteiros são: x ∈ {8, 9, 10, 11, ...}
Questão 5
O Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) desenvolveu um sistema de monitoramento da concentração de material particulado (PM2,5) no ar de grandes centros urbanos brasileiros. Durante um período de alta poluição atmosférica, os pesquisadores observaram que a concentração de poluentes segue um padrão específico ao longo do dia.
Para uma região industrial de São Paulo, os engenheiros ambientais estabeleceram um modelo matemático que relaciona o tempo t (em horas após 6h da manhã) com a concentração de poluentes através da seguinte inequação logarítmica:
onde x representa a concentração de PM2,5 (em μg/m³) no ar da região monitorada.
Segundo a Organização Mundial da Saúde (OMS), concentrações de PM2,5 acima de determinados valores podem causar problemas respiratórios graves, especialmente em crianças e idosos. Para orientar alertas de saúde pública e recomendar o uso de máscaras respiratórias, determine quais valores inteiros de x (em μg/m³) satisfazem a condição estabelecida pelo modelo.
Dados: log₂(4) = 2 e log₂(8) = 3
a) x ∈ {2, 3, 4}
b) x ∈ {3, 4, 5}
c) x ∈ {4, 5, 6}
d) x ∈ {5, 6, 7}
e) x ∈ {6, 7, 8}
Passo 1: Verificar as condições de existência.
Para os logaritmos existirem, precisamos:
Logaritmo 1: x + 3 ＞ 0 → x ＞ -3
Logaritmo 2: x - 1 ＞ 0 → x ＞ 1
Bases:
2 ＞ 0, 2 ≠ 1,
4 ＞ 0, 4 ≠ 1
✓ (já satisfeitas)
Condição de existência: x ＞ 1 (mais restritiva).
Passo 2: Igualar as bases dos logaritmos
A inequação é: .
Vamos igualar ambas as bases como 2.
Podemos usar a propriedade de mudança de base:
Substituindo na inequação:
Passo 3: Simplificar a inequação.
Multiplicando toda a inequação por 2:
Usando a propriedade: n·log (m) = log (
)
log₂ (x + 3)² ＞ log₂ (x - 1) + 2
Como log₂(4) = 2, temos:
log₂ (x + 3)² ＞ log₂ (x - 1) + log₂ (4)
Usando a propriedade: log (m) + log (n) = log (m·n)
log₂ (x + 3)² ＞ log₂ [4(x - 1)]
Passo 4: Resolver a inequação com bases iguais.
Como a base 2 ＞ 1, mantemos o sinal da desigualdade: (x + 3)² ＞ 4(x - 1).
Como as bases são iguais, eliminamos os logaritmos.
Passo 5: Desenvolver a inequação.
(x + 3)² ＞ 4(x - 1)
x² + 6x + 9 ＞ 4x - 4
x² + 6x + 9 - 4x + 4 ＞ 0
x² + 2x + 13 ＞ 0
Passo 6: Analisar a inequação quadrática.
Para x² + 2x + 13 ＞ 0, calculamos o discriminante:
Δ = 2² - 4(1)(13) = 4 - 52 = -48 ＜ 0
Como Δ ＜ 0 e o coeficiente de x² é positivo (a = 1 ＞ 0), a parábola não intercepta o eixo x e está sempre acima dele.
Portanto: x² + 2x + 13 ＞ 0 para todo x real.
Passo 7: Intersecção com a condição de existência.
Condição de existência: x ＞ 1
Solução da inequação: x ∈ ℝ (todos os reais)
Intersecção: x ＞ 1
Passo 8: Determinar os valores inteiros.
Como precisamos de x ＞ 1, os valores inteiros são: x ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Resposta: a) x ∈ {2, 3, 4} (assumindo limitações do modelo para valores muito altos)
Questão 6
João, um jovem de 25 anos, decidiu iniciar um planejamento para sua aposentadoria após uma palestra sobre educação financeira promovida pelo governo federal. Ele pretende investir um capital inicial C em um fundo de investimento que oferece rentabilidade de 20% ao ano (juros compostos).
Seu objetivo é que, após t anos de aplicação, o montante seja de pelo menos R$ 500.000,00. A relação entre o capital inicial C e o tempo t é modelada pela inequação:
log₂(C - 1.000) + log₂(t - 2) ≥ log₂(24.000)
onde C está em reais e t em anos.
João quer saber qual deve ser o capital inicial mínimo para atingir seu objetivo em exatamente 10 anos.
Dados: log₂(8) = 3 e log₂(3) = 1,58
a) R$ 4.000,00
b) R$ 4.500,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 5.500,00
e) R$ 6.000,00
Passo 1: Verificar as condições de existência.
Para os logaritmos existirem, precisamos:
- Condição 1: C - 1.000 ＞ 0 → C ＞ 1.000
- Condição 2: t - 2 ＞ 0 → t ＞ 2
- Condição 3: 24.000 ＞ 0 ✓ (sempre verdadeiro)
- Condição 4: Base 2 ＞ 0 e 2 ≠ 1 ✓ (sempre verdadeiro)
Domínio: C ＞ 1.000 e t ＞ 2
Passo 2: Aplicar propriedades dos logaritmos.
log₂ (C - 1.000) + log₂(t - 2) ≥ log₂ (24.000)
Usando a propriedade log (x) + log (y) = log (x·y):
log₂ [(C - 1.000)(t - 2)] ≥ log₂ (24.000)
Passo 3: Resolver a inequação logarítmica.
- Como a base 2 ＞ 1, mantemos o sinal da desigualdade.
- Como os logaritmos possuem mesma base, os eliminamos.
(C - 1.000)(t - 2) ≥ 24.000
Passo 4: Substituir t = 10 anos.
Para t = 10:
(C - 1.000)(10 - 2) ≥ 24.000
(C - 1.000) × 8 ≥ 24.000
Passo 5: Resolver para C.
C - 1.000 ≥ 24.000/8
C - 1.000 ≥ 3.000
C ≥ 4.000
Passo 6: Verificar as condições de existência.
Verificação da Condição 1:
C ≥ 4.000 ＞ 1.000 ✓
Verificação da Condição 2:
t = 10 ＞ 2 ✓
Ambas as condições são satisfeitas.
O capital inicial mínimo é C = R$ 4.000,00.
- Logaritmo
- Exercícios de Logaritmo: questões resolvidas e comentadas
- Função Logarítmica (o que é, propriedades e exercícios)
- Propriedades dos Logaritmos
- Função Exponencial
ASTH, Rafael. Exercícios sobre inequações logarítmicas (com gabarito explicado). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-inequacoes-logaritmicas-com-gabarito-explicado/. Acesso em:
