Função constante: gráfico, propriedades e exercícios

Função constante é toda função que associa o mesmo valor de saída a qualquer valor de entrada. Sua lei de formação é f(x) = k, em que k é um número real fixo. Não importa qual x você escolha: o resultado é sempre k.

Pense na mensalidade de uma academia que custa R$ 90,00 por mês, independentemente de você treinar 2 ou 25 dias. Se x é o número de dias treinados e f(x) é o valor pago, então f(2) = 90, f(25) = 90 e f(x) = 90 para qualquer x que seja um número natural, de 1 ao número que representa o último dia do mês. A variável de entrada muda, a saída não.

Esse comportamento faz da função constante um caso particular da função afim, quando o coeficiente de x é igual a zero. — e também o que mais gera dúvida, porque muitos alunos acham que "algo que não varia" não pode ser função. Pode: a definição de função exige apenas que cada x tenha uma única imagem, e não que imagens diferentes existam.

Neste conteúdo você encontra:

• Gráfico da função constante
• Propriedades da função constante
• Função constante, linear e afim: como distinguir
• Erros mais comuns com a função constante
• Função constante em situações do dia a dia
• Perguntas frequentes
• Exercícios

Gráfico da função constante

Para construir o gráfico, basta montar uma tabela de valores. Tomando f(x) = 3, temos f(−2) = 3, f(0) = 3, f(1) = 3 e f(4) = 3. Todos os pontos ficam na mesma altura, e ao ligá-los aparece uma reta horizontal, paralela ao eixo x.

Desse desenho saem três leituras importantes. A reta corta o eixo y no ponto (0, k) — no exemplo, em (0, 3). Quando k é diferente de zero, a reta nunca cruza o eixo x, ou seja, a função não tem raiz. E quando k = 0, a função f(x) = 0 tem como gráfico o próprio eixo x.

Propriedades da função constante

Considerando f: ℝ → ℝ definida por f(x) = k, valem as seguintes propriedades:

Domínio — todos os números reais, porque qualquer x pode entrar na função, uma vez que definimos f: ℝ → ℝ.

Imagem — o conjunto {k}, com um único elemento. Esta é a marca registrada da função constante.

Injetora — não é. Valores diferentes de x levam à mesma imagem, e isso é exatamente o que uma função injetora não pode ter.

Sobrejetora — só é sobrejetora se o contradomínio for o próprio conjunto {k}. De ℝ em ℝ, não é.

Paridade — é uma função par, já que f(−x) = k = f(x) para qualquer x (desde que o domínio seja simétrico à origem).

Variação — No estudo escolar das funções afins, quando a taxa de variação é zero, a função é classificada como constante, e não como crescente ou decrescente.

A propriedade da variação é a que mais aparece em prova. Como a função não sobe nem desce, ela não se encaixa em nenhuma das duas categorias. Para entender por que isso a separa de todas as outras retas, vale ver como funciona a função crescente e decrescente e o que o sinal do coeficiente indica em cada caso.

Função constante, linear e afim: como distinguir

As três são retas, e é por isso que se confundem. O que muda é a posição da reta no plano, e essa posição é decidida pelos coeficientes da lei de formação.

Função constante — f(x) = k. A reta é horizontal e cruza o eixo y na altura k. Exemplo: f(x) = 3.

Função linear — f(x) = ax, com a ≠ 0. A reta é inclinada e passa pela origem, porque f(0) = 0. Exemplo: f(x) = 2x.

Função afim — f(x) = ax + b, com a ≠ 0. A reta é inclinada e cruza o eixo y em b. Exemplo: f(x) = 2x + 1.

Repare que a função constante é o caso particular da função afim em que a = 0: sem o termo em x, sobra apenas o termo independente. Para ver o caso geral, com a reta inclinada, o coeficiente angular e a taxa de variação, leia o conteúdo completo sobre função afim.

Há ainda um caso de fronteira que costuma cair em questão de interpretação: f(x) = 0. Ela é constante, porque a saída é sempre a mesma. Como definido, a função linear deve ter a ≠ 0. Se quiser aprofundar essa família, o conteúdo sobre função linear trata do caso com a ≠ 0 em detalhe.

Erros mais comuns com a função constante

Achar que não é função. É função sim. A definição exige que cada elemento do domínio tenha uma única imagem — e na função constante cada x tem exatamente uma imagem, que por acaso é sempre a mesma.

Confundir com a reta vertical. A equação x = 3 também desenha uma reta, mas vertical, e essa não é função: para x = 3 existiriam infinitos valores de y. Já f(x) = 3 é a reta horizontal, e é função. Uma letra no lugar errado muda tudo.

Dizer que é crescente. Como a reta é desenhada da esquerda para a direita, muita gente conclui que "vai avançando" e portanto cresce. Crescer significa aumentar o valor de y quando x aumenta, e isso não acontece aqui.

Procurar a raiz. Resolver f(x) = 0 em f(x) = 5 leva a 5 = 0, o que é falso. A função não tem raiz — e isso é uma resposta completa, não um sinal de que a conta deu errado.

Função constante em situações do dia a dia

A função constante modela toda cobrança de valor fixo: a mensalidade de um plano de streaming, a taxa de entrega que não depende do tamanho do pedido, o estacionamento que cobra o mesmo valor por qualquer permanência dentro de um período.

Ela também aparece como trecho de gráficos maiores. Quando um gráfico de temperatura ao longo do dia fica plano por algumas horas, aquele patamar é um trecho constante, mesmo que a função inteira não seja.

Em problemas contextualizados (como os que aparecem no ENEM) uma função constante pode aparecer associada à interpretação de um trecho horizontal de um gráfico, indicando que uma grandeza permanece inalterada enquanto a outra varia. Para reconhecer os outros formatos que também caem nessa leitura, veja o panorama dos tipos de funções e seus gráficos.

Perguntas frequentes

O que é uma função constante?

Função constante é a função que dá sempre o mesmo resultado, qualquer que seja o valor de entrada, e é escrita na forma f(x) = k, com k real fixo. Seu gráfico é uma reta horizontal, e sua imagem tem um único elemento.

A função constante é crescente ou decrescente?

Nem uma coisa nem outra: a função constante não é crescente nem decrescente. Para ser crescente, y teria de aumentar quando x aumenta, e para ser decrescente teria de diminuir — mas y não se altera. Por isso a taxa de variação é zero.

Qual é o domínio e a imagem da função constante?

O domínio da função constante f(x) = k é o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto {k}. Ou seja, todo número real pode entrar, mas só um número sai.

A função constante tem raiz?

Só tem raiz quando k = 0. Se k for diferente de zero, resolver f(x) = 0 leva a uma igualdade falsa, o que significa que a reta horizontal nunca cruza o eixo x e a função não tem raiz real.

Exercícios

Para treinar a leitura de gráficos e a identificação de cada tipo de reta em questões de prova, resolva também a lista de exercícios de função quadrática e compare o comportamento das duas famílias.