Função crescente e decrescente: como identificar (com exercícios)

Uma função é crescente quando os valores de y aumentam à medida que os valores de x aumentam, e é decrescente quando os valores de y diminuem à medida que x aumenta. Em outras palavras: na função crescente, avançar no eixo x significa subir; na decrescente, significa descer.

O preço de uma corrida de aplicativo é um exemplo de comportamento crescente: quanto maior a distância, maior o valor a pagar. Já a quantidade de bateria do celular ao longo de um dia de uso é decrescente: quanto mais tempo passa, menos carga resta. Esse par de ideias é o que a matemática chama de variação ou monotonicidade de uma função.

Neste conteúdo você encontra:

• A regra formal: comparando dois valores de x
• Como identificar pelo gráfico
• Como identificar pela lei da função
  • Na função afim
  • Na função exponencial e na logarítmica
• Intervalos de crescimento e decrescimento
• Quando a função não é crescente nem decrescente
• Perguntas frequentes
• Exercícios

A regra formal: comparando dois valores de x

A matemática não define crescimento olhando o desenho, e sim comparando dois pontos quaisquer. Considere uma função f definida em um intervalo I e dois valores x₁ e x₂ desse intervalo, com x₁ menor que x₂.

f é crescente em I quando f(x₁) < f(x₂). Ou seja: o x maior produz o y maior.
f é decrescente em I quando f(x₁) > f(x₂). Ou seja: o x maior produz o y menor.

Repare em duas palavras que fazem toda a diferença nessa definição. A primeira é quaisquer: a condição precisa valer para todos os pares de pontos do intervalo, e não apenas para os dois que você testou. A segunda é intervalo: o crescimento é sempre avaliado em um trecho do domínio, e não obrigatoriamente na função inteira. É por isso que uma mesma função pode crescer em uma região e decrescer em outra.

Como identificar pelo gráfico

A leitura do gráfico é sempre feita da esquerda para a direita, no sentido em que o x aumenta. Se a curva sobe nesse percurso, a função é crescente; se desce, é decrescente; se fica na horizontal, é constante.

Essa leitura parece simples, mas tem uma armadilha: o que importa é o sentido de subida ou descida, não a inclinação. Uma reta que sobe devagar e outra que sobe muito rápido são ambas crescentes. A rapidez com que a função sobe é a taxa de variação, que é outra pergunta — e uma função pode ter taxa de variação alta ou baixa sem que isso mude sua classificação.

Como identificar pela lei da função

Em prova, nem sempre o gráfico está disponível. A boa notícia é que, para os tipos de função mais cobrados, a resposta está escrita na própria lei de formação — basta olhar para o coeficiente ou para a base.

Na função afim

Na função afim f(x) = ax + b, quem decide é o sinal do coeficiente a, chamado coeficiente angular:

a > 0 — a função é crescente. Exemplo: f(x) = 2x − 1.
a < 0 — a função é decrescente. Exemplo: f(x) = −3x + 4.
a = 0 — a função é constante e não se classifica como crescente nem decrescente.

O valor de b não interfere nessa classificação: ele apenas desloca a reta para cima ou para baixo. Para ver como os dois coeficientes atuam em conjunto sobre o gráfico, vale acompanhar a construção completa da função afim.

Na função exponencial e na logarítmica

Nesses dois casos, o que decide é a base a, e não a variável x. Tanto na função exponencial f(x) = aˣ quanto na função logarítmica f(x) = logₐ x, com a positivo e diferente de 1.

A exponencial tem domínio ℝ; a logarítmica, domínio (0, +∞), e é nesse conjunto que ela cresce (a > 1) ou decresce (0 < a < 1)."

Vale a regra:

a > 1 — a função é crescente. Exemplos: f(x) = 2ˣ e f(x) = log₂ x.
0 < a < 1 — a função é decrescente. Exemplos: f(x) = (1/2)ˣ e f(x) = log_1/2 x.

O caso da base entre 0 e 1 é o que mais derruba aluno em prova, porque a intuição diz que "exponencial sempre explode para cima". Não é o caso: com base entre 0 a 1, a curva cai. Se essa parte ainda gera dúvida, o conteúdo sobre função exponencial mostra as duas curvas lado a lado, e o de função logarítmica faz o mesmo para os logaritmos.

Intervalos de crescimento e decrescimento

Nem toda função tem um comportamento único em todo o domínio. A função quadrática é o exemplo clássico: sua parábola desce até certo ponto e depois passa a subir, ou o contrário. Nesse caso, não faz sentido dizer que a função é crescente ou decrescente — é preciso dizer em qual intervalo.

A fronteira entre os dois comportamentos é o vértice da parábola. Na função f(x) = x² − 4x + 3, o vértice fica em x = 2, e por isso:

f é decrescente no intervalo (−∞, 2], à esquerda do vértice.
f é crescente no intervalo [2, +∞), à direita do vértice.

Quando o coeficiente a da função quadrática é negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo e a ordem se inverte: cresce até o vértice e decresce depois dele. Para localizar esse ponto de virada com segurança em qualquer parábola, o cálculo está detalhado no conteúdo sobre o vértice da parábola.

Quando a função não é crescente nem decrescente

Existem dois casos em que nenhuma das duas classificações se aplica, e os dois caem em prova.

Há dois casos em que a função não é crescente nem decrescente em todo o domínio: a função constante e a função que alterna os comportamentos (como a quadrática e as trigonométricas).

O primeiro é a função constante, do tipo f(x) = k. Como o valor de y não muda, ela não sobe nem desce, e sua taxa de variação é zero. O comportamento completo desse caso está no conteúdo sobre função constante.

No segundo caso, ela é crescente em alguns intervalos e decrescente em outros, e a classificação só vale com o intervalo indicado.

O segundo é a função que alterna os dois comportamentos ao longo do domínio, como a parábola vista acima ou as funções trigonométricas. Nesses casos, dizer simplesmente "é crescente" é uma resposta incorreta: a classificação só é válida quando acompanhada do intervalo. Nas funções trigonométricas essa alternância se repete de forma periódica, o que exige indicar o intervalo com ainda mais cuidado.

Perguntas frequentes

Como saber se uma função é crescente ou decrescente?

Basta verificar o que acontece com y quando x aumenta: se y aumenta, a função é crescente; se y diminui, é decrescente. No gráfico, isso corresponde a uma curva que sobe ou que desce quando lida da esquerda para a direita; na lei de formação, corresponde ao sinal do coeficiente a na função afim e ao valor da base na exponencial e na logarítmica.

Uma função pode ser crescente e decrescente ao mesmo tempo?

Ao mesmo tempo e no mesmo intervalo, não — mas em intervalos diferentes, sim. A função quadrática decresce de um lado do vértice e cresce do outro, e por isso sua classificação precisa sempre vir acompanhada do intervalo em que vale.

A função exponencial é sempre crescente?

Não. A função exponencial f(x) = aˣ é crescente quando a base a é maior que 1 e decrescente quando a base está entre 0 e 1. Uma função como f(x) = (0,5)ˣ é exponencial e decrescente.

O que significa taxa de variação?

A taxa de variação mede quanto y muda para cada unidade de aumento em x. Na função afim, ela é constante e igual ao coeficiente a: se a > 0, a função é crescente; se a < 0, é decrescente; se a = 0, é constante. Em outras funções, a taxa muda de um trecho para outro, então é preciso analisar cada intervalo.

Exercícios

Para treinar a identificação da variação em parábolas, com cálculo de vértice e leitura de intervalos, resolva a lista de exercícios de função quadrática.